2024-2025學(xué)年上學(xué)期山東省煙臺(tái)市萊山區(qū)九年級(jí)期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）

一、選擇題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分）每小題都給出標(biāo)號(hào)為A,B,C,D四個(gè)備選

答案，其中有且只有一個(gè)是正確的

1.（3分）某廠家生產(chǎn)的海上浮漂的形狀是中間穿孔的球體，如圖1所示.該浮漂的俯視圖是圖2,那么

它的主視圖是（）

圖1圖2

2.（3分）二次函數(shù)y=-+2的頂點(diǎn)是（

A.(0,2)B.(2,0)C.(1,3)D.(-1,3)

3.（3分）2024年5月29日16時(shí)12分，“長春凈月一號(hào)''衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射.當(dāng)

火箭.上升到點(diǎn)4時(shí)，位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)火到點(diǎn)力的距離為。千米，仰角為0,則此時(shí)火箭距

海平面的高度力￡為（）

%8

A.osinB千米B.千米C.QCOS。千米D.—千米

sin?cos9

4.（3分）某幾何體是由完全相同的小正方體組合而成，如圖是這個(gè)幾何體的三視圖，那么構(gòu)成這個(gè)幾何

體的小正方體的個(gè)數(shù)是（）

主視圖左視圖俯視圖

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

5.（3分）如圖，在扇形力08中，408=90。，點(diǎn)。是力。的中點(diǎn).過點(diǎn)C作交A3于點(diǎn)E,過

點(diǎn)、E作EDLOB,垂足為點(diǎn)。.在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P,則點(diǎn)尸落在陰影部分的概率是（）

0DB

A.1B.1C.1D.2

4323

6.（3分）函數(shù)y1=ax2+bx+c與y2nx的圖象如圖所示.若",”均隨著x的增大而減小，則x的取值

X

范圍是（）

A.-1<A<0B.x<-1C.0<x<2D.x>l

7.（3分）如圖，△8C。內(nèi)接于點(diǎn)8是面的中點(diǎn)，是。。的直徑，若N44C=30。，JC=3,則

4C的長為（）

A.4B.472C.3近D.3V3

8.（3分）如圖，在矩形48co中，E,F是邊BC上兩點(diǎn)、，且BE=EF=FC,連接。E,AF,DE與力/相

交于點(diǎn)G,連接8G,若48=8,BC7=12,則cosNGB廠的值為（）

二

BEFC

CD.2

A嚕B?嚕43

9.（3分）如圖，拋物線jwaF+M+e（"0）的對(duì)稱軸為直線x=-2.下列說法：①M(fèi)cVO；②c-3〃>0；

③當(dāng)x>-1時(shí)，y隨x的增大而減??；④4a2-2“桓〃2戶+。4（/為任意實(shí)數(shù)）.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.（3分）如圖，半徑為5的OM圓心M的坐標(biāo)為（9,12）,點(diǎn)尸是O區(qū)上任意一點(diǎn)，%,P4與x軸分

別交于4B兩點(diǎn),且融1PB,若點(diǎn)力，點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則48的最大值為（）

A.60B.40C.34D.20

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分）

11.（3分）將-（-2）,&■,TT,0,圾,3.14這6個(gè)數(shù)分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機(jī)抽取1張,

7

卡片上的數(shù)為無理數(shù)的概率是.

12.（3分）如圖，在OO中，若筋=麗，N1=40。，則N2的度數(shù)為.

13.（3分）如圖，在邊長為1的菱形網(wǎng)格中，每個(gè)菱形的一個(gè)內(nèi)角為60。，點(diǎn)兒B,C均在格點(diǎn)上，連接

AB,BC,則tan/46c的值為

（1）尺規(guī)作圖：

①作NC/14的平分線AD交BC于點(diǎn)Q；

②以點(diǎn)。為圓心，。。長為半徑作O。.（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用證明：

在（1）的條件下，求證：與相切.

19.（8分）為做好青少年安全教育工作，某校開展了主題為“珍愛生命，牢記安全”的知識(shí)競賽（每題5分,

滿分100分）.該校從學(xué)生成績都不低于80分的八年級(jí)（1）班和（3）班中，各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生

成績進(jìn)行整理，繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖及分析表.

【收集數(shù)據(jù)】

八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績：85,95,100,90,90,80,85,90,80,100,80,85,95,90,95,

95,95,95,100,95.

八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績:90,80,100,95,90,85,85,100,85,95,85,90,90,95,90,

90,95,90,95,95.

【描述數(shù)據(jù)】

八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)表

分?jǐn)?shù)80859095100

人數(shù)33ab3

【分析數(shù)據(jù)】

八年級(jí)（1）班和（3）班20名學(xué)生成績分析表

統(tǒng)計(jì)量班級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

八年級(jí)（1）班mn9541.5

八年級(jí)（3）班9190P26.5

【應(yīng)用數(shù)據(jù)】

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）填空：m=,n=,P=

（3）請(qǐng)通過數(shù)據(jù)說明哪個(gè)班級(jí)的成績更好?些;

（4）從上面5名得1（）0分的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市級(jí)知識(shí)競賽.請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法

求所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的概率.

20.（9分）某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖中半圓的半徑為2.請(qǐng)求出該幾何體的體積和表面積.

主視圖左視圖

21.（9分）圖，圖1為《天工開物》記載的用于舂（chong）搗谷物的工具——“碓（dui）”的結(jié)構(gòu)簡圖，

圖2為其平面示意圖，己知力BJ_C。于點(diǎn)從與水平線/相交于點(diǎn)O,O￡_L/.若4c=4分米，OB

=12分米，ZBOE=60°,求點(diǎn)C到水平線/的距離。戶的長.

22.（II分）【閱讀定義】

由兩條與X軸有相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線

【理解概念】

（1）拋物線yi=2（X-1）（X-2）與拋物線丫2=乂2-3乂+2是否可以圍成'‘月牙線”？請(qǐng)說明理由；

【嘗試應(yīng)用】

（2）拋物線y=l（x-l）2-2與拋物線y/axZ+bx+c（a>工）組成一個(gè)如圖所示的“月牙線”，與x

1222

軸有相同的交點(diǎn)M,N（點(diǎn)時(shí)在點(diǎn)N的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為4B.

①求a：b：c的值；

②已知點(diǎn)尸（xo,m）和點(diǎn)0（xo，〃）在“月牙線”上，且陽>〃，若〃l〃的最大值為2,求〃？?〃取得

最大值時(shí)力〃的長.

23.（11分）如圖，力8與。。相切于點(diǎn)兒半徑。。〃力8,8C與。。相交于點(diǎn)O,連接力。.

（1）求證：ZOCA=ZADC；

（2）若4）=4,tanB=—?求OC的長.

3

24.（13分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線》=以2小m4（“0）經(jīng)過點(diǎn)（-1,6）,與y地交于點(diǎn)C,

與x軸交于4，B兩點(diǎn)、（月在8的左側(cè)），連接力C,BC,OC=4OB.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是射線C4上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為交力。于點(diǎn)。，點(diǎn)M是

線段。E上一動(dòng)點(diǎn)，MN_L），軸，垂足為N,點(diǎn)尸為線段8c的中點(diǎn)，連接40，NF,當(dāng)線段P。長度取

得最大值時(shí)，求力M+MN+N/的最小值；

（3）將該拋物線沿刖線CZ方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段尸。長度取得最人值時(shí)的點(diǎn)

且與直線力。相交于另一點(diǎn)K，點(diǎn)。為新拋物線上的一?個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NQZ)K=N/1C8時(shí)，直接寫出新拋

物線表達(dá)式及所有符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

備用圖

2024-2025學(xué)年上學(xué)期山東省煙臺(tái)市萊山區(qū)九年級(jí)期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案DAAABDCBCB

一、選擇題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分）每小題都給出標(biāo)號(hào)為A,B,C,D四個(gè)備選

答案，其中有且只有一個(gè)是正確的

1.（3分）某廠家生產(chǎn)的海上浮漂的形狀是中間穿孔的球體，如圖1所示.該浮漂的俯視圖是圖2,那么

它的主視圖是（）

【分析】根據(jù)物體及其俯視圖即可求解.

【解答】解：由圖形可得，它的主視圖如圖所示:

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖判斷幾何體，簡單幾何體的三視圖，掌握三視圖的畫法是解題的關(guān)鍵.

2.（3分）二次函數(shù)y=f+2的頂點(diǎn)是（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（1,3）D.（-1,3）

【分析】依據(jù)題意，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可判斷得解.

【解答】解：由題意，???二次函數(shù)為7=/+2,

???其頂點(diǎn)為（0,2）.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

3.（3分）2024年5月29口16時(shí)12分，“長春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射.當(dāng)

火箭上升到點(diǎn)力時(shí)，位于海平面H處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)力的距離為。千米，仰角為。，則此時(shí)火箭距

海平面的高度力乙為（

%e

A.osinB千米B..。千米C.QCOSB千米D.—生丁千米

sin9cos9

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：在中，AR=a,NARL=。,

.*.sin0=-^-,

AR

AL=i47?*sin0=tzsinB（千米）.

答：火箭距海平面的高度AL為“sin。千米，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

4.（3分）某幾何體是由完全相同的小正方體組合而成，如圖是這個(gè)幾何體的三視圖，那么構(gòu)成這個(gè)幾何

體的小正方體的個(gè)數(shù)是（）

主視圖左視圖俯視圖

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

【分析】根據(jù)三視圖，該幾何體的主視圖以及俯視圖可確定該幾何體共有2層3歹U，故可得出該幾何體

的小正方體的個(gè)數(shù).

【解答】解：綜合三視圖，我們可得出，這個(gè)幾何體的底層應(yīng)該有3個(gè)小正方體，第二層應(yīng)該有2個(gè)小

正方體，

因此搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)為3+2=5.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖判斷幾何體，掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左觀圖拆違章''

是關(guān)鍵.

5.（3分）如圖，在扇形力08中，N/10B=90。，點(diǎn)C是40的中點(diǎn).過點(diǎn)C作CEJUO交代于點(diǎn)E,過

點(diǎn)E作ED上0B,垂足為點(diǎn)D在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P,則點(diǎn)夕落在陰影部分的概率是（）

A.1B.1C.1D.2

4323

【分析】設(shè)。。的半徑為尸，先利用余弦的定義求出NCOE=60。，則/80￡=30。，再證明四邊形OCEO

為矩形得到1℃￡=￡^力良所以陰影部分的面積=S助形8OE=3°X>XJ一,然后根據(jù)幾何概率的求

360

法得到點(diǎn)P落在陰影部分的概率照■.

S扇形A0B

【解答】解：設(shè)。。的半徑為八

VCE1AO,

：.ZOCE=900,

?.?點(diǎn)。是40的中點(diǎn)，

：.OC=^OA=^OE,

22

在RtZXOCE中，VcosZC（9E=-22.=-i-,

0E2

：.ZCOE=600,

：.NBOE=NAOB-NCOE=30。，

'：EDLOB,

：?N0DE=9。。,

?；NCOD=NOCE=90。,

???四邊形OCEO為矩形，

:?SM）CE=SAODE，

2

???陰影部分的面積=s均形8?！?盟2s工遼一

360

2

3QXITXr

S扇形BOE360_￡

???點(diǎn)P落在陰影部分的概率二

S扇形AOB90X兀X/y

360

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概率：某事件的概率=該事件所占有的面積與總面積之比.利用面積和差用扇

形的面積衣示陰影部分的面積是解決問題的關(guān)鍵.

6.（3分）函數(shù)y,=ax2+bx+c與上的圖象如圖所示.若V，戶均隨著x的增大而減小，則x的取值

12X

范圍是（）

C.0<x<2D.x>\

【分析】利用圖象法即可求解.

【解答】解：觀察圖象可知，當(dāng)巾，戶均隨著x的增大而減小時(shí)，自變量x的取值范圍是x>l.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圖象法解

決問題.

7.（3分）如圖，/XBCO內(nèi)接于0。，點(diǎn)8是圓的中點(diǎn)，CO是。。的直徑，若48c=30。，AC=3,則

C.3V2D.3V3

【分析】連接力。，則/力力C=N/8C=30。，由CO是。。的直徑，得NC4O=NC方力=9。。，而力。=

3,則CO=24C=6,由點(diǎn)E是方的中點(diǎn)，得防=而，則〃C=8。，由CQ=而正癡^=&4C=6,

求得8c=3血，于是得到問題的答案.

【解答】解：連接X。，則4。。=/45。=30。，

???。。是。。的直徑，AC=3,

：?NC4D=NCBD=90。,

：，CD=2AC=6,

丁點(diǎn)8是面的中點(diǎn)，

?,?麗=麗，

:.BC=BD,

,-CD=VBC2+BD2=?BC=6,

:,BC=3圾,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、直角三角形中30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知

識(shí)，正確地添加軸助線是解題的關(guān)鍵.

8.（3分）如圖，在矩形48CQ中，E,F是邊BC上兩點(diǎn)、，且BE=EF=FC,連接。￡,AF,0E與力廣相

交于點(diǎn)G,連接8G,若48=8,BC=12,則cos/G8尸的值為（）

匚

BEFC

A.叵B.迎C.1D.2

101033

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可證△EFGS/\￡UG,過點(diǎn)G作GHJL8C于點(diǎn)“，可證△EHGs/\ECD,得

出比例式，進(jìn)而解答即可.

【解答】解：由題意可得：AB=CD=S,AD=BC=\2,AD//BC,

?*-EF=~BC4-X12=4,

:AEFGs叢DAG,

?.?—E—F=EG=4=—1,

ADDG123

.EG1

ED4

過點(diǎn)G作GHLBC于點(diǎn)H,

:?/\EHGs2ECD,

???EG=GH=EH——1，

EDDCEC4

?*-GH=4<D=2,EH=4EC=2，

44

:?BH=BE+EH=4+2=6,且NEHG=900,

???BGWBH2+HG2=Ve2+22=2^10，

BH6_3V10

?*-cosZGBF==

前—27!5io

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和

性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)犍.

9.（3分）如圖，拋物線^=&，+必+（?（分0）的對(duì)稱軸為直線X=-2.下列說法：①M(fèi)cVO；②c-3a>0；

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】①分別判斷。、氏c的符號(hào)，再判斷的符號(hào)：

②由對(duì)稱軸為直線X=-2,可知。與人的數(shù)量關(guān)系，消去力可得僅含4、C的解析式，找特定點(diǎn)可判斷

c-3a的符號(hào)；

③利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；

④用。與，，的數(shù)量關(guān)系，可將原式化簡得到關(guān)于/的不等式，再用函數(shù)的性質(zhì)。為全體實(shí)數(shù)）判斷.

【解答】解：①因圖象開口向下，可知：47<0；

又???對(duì)稱軸為直線x=-2,

???-互=-2,整理得：力=而，即。、b同號(hào).

2a

由圖象可知，當(dāng)x=4時(shí)，pVO,

又「對(duì)稱軸為直線x=-2,可知：當(dāng)x=O時(shí)，yVO；

即c<0：

abc故①正確.

②由①得：b=4a.

代入原解析式得：y=ax2+4ax-c；

a*（-1）2+4a*（-1）+c>0?

???c-3a>0,故②正確.

③???拋物線開口向下，對(duì)稱軸是直線x=-2,

???當(dāng)x>?2時(shí)，y隨x的增大而減小.

???當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故③正確.

④設(shè)4片-2ab>crt1+abt=atCat+b）,貝ljat*t-bf>4a-2b,

,兩邊+c得至lj4。-2b+c<fit*t-bt+cf

???左側(cè)為x=-2時(shí)的函數(shù)值為最大值，右側(cè)為x=Z時(shí)的函數(shù)值，則不成立，故④錯(cuò)誤.

綜上，①②③正確，共3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)字母系數(shù)與圖象的關(guān)系、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識(shí).需

綜合利用二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)解題.

10.（3分）如圖，半徑為5的。股圓心M的坐標(biāo)為（9,12）,點(diǎn)尸是OM上任意一點(diǎn)，刈，P8與x軸分

別交于4B兩點(diǎn),且以J_尸氏若點(diǎn)力，點(diǎn)9關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則力〃的最大值為（）

【分析】連接OP，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出/4=2P。，當(dāng)戶在的延長線時(shí)，PO最大,

此時(shí)力4最大，由勾股定理求出。W=15,得到PO=OM+PM=20,即可求出力8的最大值.

【解答】解：連接OP,

*：AO=BO,N4PB=90。,

：,AB=2PO,

???當(dāng)0O取最大值時(shí)，48的值最大，當(dāng)。在OM的延長線時(shí)，尸。最大，

:時(shí)的坐標(biāo)是(9,12),

()M=^92+122=5

???圓的半徑是5,

：.PM=5,

：.PO=OM+PM=\5+5=20,

：.AB=2PO=40,

???48的最大值是40.

【點(diǎn)評(píng)】本題考直點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直角三角形斜邊的中線，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得

至Ij/8=2PO.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分)

11.（3分）將-（-2）,紇n,0,近,3.14這6個(gè)數(shù)分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機(jī)抽取1張,

7

卡片上的數(shù)為無理數(shù)的概率是_1_.

3

【分析】根據(jù)概率公式列式計(jì)算即可.

【解答】解：在-（-2）,白m0,近,3.14這6個(gè)數(shù)中，無理數(shù)有n和逅兩個(gè)，

7

???抽到每個(gè)數(shù)的可能性相同，

???從中隨機(jī)抽取1張，卡片上的數(shù)為無理數(shù)的概率是2=工；

63

故答案為：1.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解概率的意義.

12.（3分）如圖，在OO中，若筋=訪，Zl=40°,則N2的度數(shù)為4在.

【分析】圓心角、弧、弦的關(guān)系定理推出N2=N1=4O。.

【解答】解：???葭=訪，

AAB=CD.

.\Z2=Zl=40o.

故答案為：40°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角相等，那么它

們所對(duì)的圓心角也相等.

13.（3分）如圖，在邊長為1的菱形網(wǎng)格中，每個(gè)菱形的一個(gè)內(nèi)角為60。，點(diǎn)4B,C均在格點(diǎn)上，連接

AB,BC,則tan/IBC的值為.

B

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)分別求出彳凡8b的長，即可求解.

【解答】解：如圖，連接/*，交BC于F,

???每個(gè)菱形的一個(gè)內(nèi)角為60。，AD=DE,

是等邊三角形，

:.AE=AD=DE=3,NAED=60。,

BE=EC,ZAEB=ZAEC=60°,

：.AE±BC,NEBC=300,

：,EF=^-BE=\,RF=gEF=M，

2

：.AF=2,

鰻》=

tanZABC=2=2V

BF7T-

故答案為：2叵.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線

構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

14.（3分）如圖，有一長為4,寬為3的長方形木板在桌面上做無滑動(dòng)的翻滾（順時(shí)針方向），木板上的

頂點(diǎn)力的位置變化為力一小一42,其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使/小。2=60。，則點(diǎn)力

翻滾到a位置時(shí)，共走過的路徑長為_工匚.

【分析】分別根據(jù)第一次是以8為旋轉(zhuǎn)中心，氏4長5為半徑旋轉(zhuǎn)90。；第二次是以C為旋轉(zhuǎn)中心，3

為半徑旋轉(zhuǎn)60。；求出共走過的路徑即可.

【解答】解：第一次是以8為旋轉(zhuǎn)中心，長5為半徑旋轉(zhuǎn)90。，

此次點(diǎn)A走過的路徑是上口?5=1.

42

第二次是以C為旋轉(zhuǎn)中心，3為半徑旋轉(zhuǎn)60。,

此次走過的路徑是工＜2口?3=7T，

6

故點(diǎn)A兩次共走過的路徑是工n.

2

故答案為：工TE

2

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，根據(jù)已知得出4點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線是解題關(guān)鍵.

15.（3分）如圖，小明用無人機(jī)測(cè)量教學(xué)樓的高度，將無人機(jī)垂直上升距地面30,〃的點(diǎn)P處，測(cè)得教學(xué)

樓底端點(diǎn)4的俯角為37。，再將無人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行283〃至點(diǎn)。處.測(cè)得教學(xué)樓頂端點(diǎn)8

的俯角為45。,則教學(xué)樓48的高度約為18〃].（精確到1加，參考數(shù)據(jù)：sin37^0.60,cos37°?0.80,

tan370^0.75）

【分析】先在RtM中利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出8W，再利用線段的和差關(guān)系得結(jié)論.

【解答】解：由題意可知，BM1PM.

???無人機(jī)垂直上升距地面30m的點(diǎn)P處，

：.AM=30m.

在中，

???NM04=45。，

???"40=45。.

:.MQ=MB.

在RtA/^.W中，

???tanN〃/M=&L,

PM

，4%0.75?PM,即30=0.75(28.3+4M).

：,AB=AM-11.7=18,3=18(〃]).

故答案為：18.

QM

、'

、、、：B

［上A

77777777777777777777777^77777777

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系及線段的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

16.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-4與x軸、)，軸分別交于點(diǎn)4、C,半徑為2的。。的

圓心P從點(diǎn)力(8,加)(點(diǎn)力在直線y=x-4上)出發(fā)以每秒a個(gè)單位長度的速度沿射線,4。運(yùn)動(dòng)，設(shè)

點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒，則當(dāng)尸2或6或10時(shí),0Q與坐標(biāo)軸相切.

【分析】設(shè)。尸與坐標(biāo)軸的切點(diǎn)為。，根據(jù)已知條件得到力(8,4),B(4,0),C(0,-4),推出△O8C

是等腰直角三角形，NO4C=45。，①當(dāng)。夕與x軸相切時(shí)，②如圖，。0與x軸和y軸都相切時(shí)，③當(dāng)

點(diǎn)P只與y軸相切時(shí)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)。尸與坐標(biāo)軸的切點(diǎn)為。，

???直線y=x-4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)8、C,點(diǎn)4(8,m),

.??x=0時(shí)，y=-4,y=0時(shí)，x=4,x=8時(shí)，y=4,

?"(8,4),B(4,0),C(D,-4),

:"B=4&,AC=8?OB=OC=4,

???△O8C是等腰直角三角形，NO4C=45。，

丁點(diǎn)。是切點(diǎn)，OP的半徑是2,

???PO_Lx軸，PD=2,

:ZDP是等腰直角三角形，

:,BD=PD=2,PB=2啦,

:.AP=AB-PB=2近,

???點(diǎn)P的速度為每秒迎個(gè)單位長度,

."2；

②如圖，OP與x軸和y軸都用切時(shí),

?：PB=ZM，

:?AP=AB+PB=6近,

V點(diǎn)P的速度為每秒迎個(gè)單位長度,

**?z=6：

③當(dāng)點(diǎn)尸只與J,軸相切時(shí)，

，:PC=2近,

AJP=JC+PC=10V2?

???點(diǎn)P的速度為每秒迎個(gè)單位長度,

1=10.

綜上所述，則當(dāng)f=2或6或10秒時(shí)，0P與坐標(biāo)軸相切,

故答案為：2或6或10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解

題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分72分）

17.（5分）計(jì)算：-2?cos45°+（兀-3.14）°+|1-V2|+（*~）-

【分析】先將各項(xiàng)化簡，再算乘法，最后從左往右計(jì)算即可得

【解答】解：原式=-2X返/-1+4

2

=-V2+1W2-1+4

=4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)寤，絕對(duì)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕.熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是

關(guān)鍵.

18.（6分）如圖，在△48C中，ZC=90°.

（1）尺規(guī)作圖：

①作NC"的平分線AD交BC于點(diǎn)D；

②以點(diǎn)。為圓心，。。長為半徑作0。.（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用證明：

在（1）的條件下，求證：力8與相切.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可;

（2）過點(diǎn)。作于點(diǎn)足證明。半徑即可.

【解答】（1）解；圖形如圖所示：

（2）證明：過點(diǎn)D作DEL4B于點(diǎn)E.

DC.LAC,DEA.AB,

???QE=QC=半徑，

???//與相切.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，切線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)解決問

題.

19.（8分）為做好青少年安全教育工作，某校開展了主題為“珍愛生命，牢記安全”的知識(shí)競賽（每題5分,

滿分100分）.該校從學(xué)生成績都不低于80分的八年級(jí)（1）班和（3）班中，各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生

成績進(jìn)行整理，繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖及分析表.

【收集數(shù)據(jù)】

八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績：85,95,100,90,90,80,85,90,80,100,80,85,95,90,95,

95,95,95,100,95.

八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績：90,80,100,95,90,85,85,100,85,95,85,90,90,95,90,

90,95,90,95,95.

【描述數(shù)據(jù)】

八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)表

分?jǐn)?shù)80859095100

人數(shù)33ab3

【分析數(shù)據(jù)】

八年級(jí)（1）班和（3）班20名學(xué)生成績分析表

統(tǒng)計(jì)量班級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

八年級(jí)（1）班m119541.5

八年級(jí)（3）班9190P26.5

【應(yīng)用數(shù)據(jù)】

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）填空：m=91,n=92,5,P=90；

（3）請(qǐng)通過數(shù)據(jù)說明哪個(gè)班級(jí)的成績更好一些；

（4）從上面5名得100分的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市級(jí)知識(shí)競賽.請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法

求所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的概率.

八年級(jí)（3）前2（）名學(xué)生成績條形統(tǒng)計(jì)圖

【分析】（1）由八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)可得90分學(xué)生有7人，95分學(xué)生有6人，補(bǔ)全條形

統(tǒng)即可;

（2）由八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)可得。=4,b=7,根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可:

（3）從平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)綜合分析得八年級(jí)（1）班成績較好;

（4）設(shè)八年級(jí)（1）班的三名10（）分的學(xué)生用力、B、C表示，八年級(jí)（3）班的兩名1（）0分的學(xué)生用K

y表示，用列表法表示出所有可能結(jié)果，再從中找出2名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率

的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】W-：（1）由八年級(jí)（3）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)可得：90分學(xué)生有7人，95分學(xué)生有6人,

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖印為所求;

八年級(jí)（3）前2（）名學(xué)生成績條形統(tǒng)計(jì)圖

（2）由八年級(jí)（1）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)可得a=4,b=7,

80X3+85X3+90X4+95X7+100X3

,,m=二91，

20

一共20名學(xué)生，中位數(shù)應(yīng)該為第10名與第11名的平均數(shù),

95+90ccr-

n=---=92.5,

乙

???90分的人數(shù)最多，

???P=90,

故答案為：91,92.5,90：

（3）八年級(jí)（1）班和八年級(jí)13）班的平均成績相同，但八年級(jí)（1）班的中位數(shù)和眾數(shù)都比八年級(jí)（3）

班高，即八年級(jí)（1）班高分段人數(shù)較多.因此八年級(jí)（1）班成績較好；

（4）設(shè)八年級(jí)（1）班的三名100分的學(xué)生用小8、C表示.八年級(jí)（3）班的兩名100分的學(xué)生用X、

丫表示，從5名得100分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市級(jí)知識(shí)競賽，列表如下：

(1)班ABCXY

(3)班

A-ABACAXAY

BBA-BCBXBY

CCACB-CXCY

XXAXBxc-XY

YYAYBYCYX-

一共有20種情況.其中兩名同學(xué)在同一個(gè)班級(jí)的有48、AC.BA、BC、CA、CB、AT、ET共8種，

???所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個(gè)班級(jí)的概率為：旦=2.

205

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了列表法與樹狀圖法，條形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)，眾數(shù)，方差，概率公式，解答本題

的關(guān)鍵是熟練掌握概率的求法.

20.（9分）某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖中半圓的半徑為2.請(qǐng)求出該幾何體的體積和表面積.

俯視圖

【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)長、寬、高分別為6、8、4的長方體在上底面中間挖去一個(gè)直

徑為4的半圓柱，據(jù)此可計(jì)算出其表面積與體積.

【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)長、寬、高分別為6、8、4的長方體在上底面中間挖去一

個(gè)直徑為4的半圓柱,

S表面枳=6'4乂2+6乂8+6*2乂2+（8*4--nx22）X2+TTX4XXX6=48+48+24+64-4TT+12K=184+8n,

22

K=8x6x4-XJTX22X6=192-12TT.

2

【點(diǎn)評(píng)】此題考查由三視圖判斷幾何體和幾何體的表面積及體積，由三視圖判斷幾何體的形狀是解題的

關(guān)鍵.

21.（9分）圖，圖1為《天工開物》記載的用于舂（ch6ng）搗谷物的工具——“碓（dui）”的結(jié)構(gòu)簡圖，

圖2為其平面示意圖，已知力6"LCQ于點(diǎn)心力4與水平線/相交于點(diǎn)O,OEA.I.若4c=4分米，OB

=12分米，N〃OE=60。，求點(diǎn)C到水平線/的距離6的長.

K

工

開

物

圖1圖2

【分析】延長。C交/于點(diǎn)，，連接OC,根據(jù)題意及解三角形確定BH=4氏，0H=8際，再由等面積

法即可求解.

【解答】解：延長。。交/于點(diǎn)“，連接0C,

在中，N8O〃=900?60。=30。，OB=\2dm,

ABH=12Xtan300=W3（而），0H=8V3（dm）,

,?*SAOBILS△€）（：滸SM）BC，

二夕）H?CF+》）B?BC，

X473X12=yX873XCF+yX12X4,

乙乙乙

，CF=（6-W§）（dm）,

答：點(diǎn)C到水平線/的距離CF的長為（6-）dm.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面枳法求解，作山輔助線是解題關(guān)鍵.

22.（11分）【閱讀定義】

由兩條與x軸有相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線

【理解概念】

（1）拋物線產(chǎn)=2G-1）Cv-2）與拋物線丫2=乂2-3乂+2是否可以圍成“月牙線”？請(qǐng)說明理由；

【嘗試應(yīng)用】

（2）拋物線y=l（x-l）2.盧拋物線y=ax2+bx+c（a>工）組成一個(gè)如圖所示的“月牙線”，與x

1222

軸有相同的交點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），與），軸的交點(diǎn)分別為4B.

①求a：b：c的值：

②已知點(diǎn)P（xo?”?）和點(diǎn)。（xo>n）在“月牙線”上，且ni>n,若m-n的最大值為2,求〃?-〃取得

最大值時(shí)川？的長.

【分析】（1）求出拋物線y=2（x-l）（x-2）與x軸的交點(diǎn)為（1,0）和（2,0）；拋物線y2二乂2.3乂+2

與x軸交點(diǎn)為（1，0）和（2,0）,又拋物線yi=2（x-1）（x-2）與拋物線開口方向相

同，即可知拋物線yi=2（x-1）（x-2）與拋物線丫2=乂2-3乂+2圍成“月牙線”；

（2）①求出拋物線y=1（『1）2一2與工軸交點(diǎn)為（3,0）和（7,0）,代入y廣ax2+bx+c得：

122

償+付+吁解得(b=-2a,故外岳c=at(-2a)：(-3a)=1：(-2)：(-3)；

la-b+c=Olc=-3a

②由①知，丫2:ax2-2ax-3a=a(x-l)2-4a，可得拋物線々=ax?-2ax-3a的頂點(diǎn)為(1，Ya),而

拋物線yi=l(x-l)2-2的頂點(diǎn)為(I，-2),a〉l，可知拋物線yi」*(x-l)2-2在拋物線

222

2

y2=ax-2ax-3a上方；即可得

XQ+(2a-l)Xo+3a-~|?，結(jié)合-〃的最大值為2,

從而計(jì)算可以得解.

【解答】解：(1)拋物線產(chǎn)=2G-1)(x-2)與拋物線了2=乂2-3乂+2圍成“月牙線”;

理由如下：在yi=2(x-1)(x-2)中，令y=0得x=l或x=2,

???拋物線yi=2(x-1)(x-2)與x軸的交點(diǎn)為(1,0)和(2,0)；

在丫2=乂2-3乂+2中,令y=0得、=］或x=2,

???拋物線丫2=乂2-3乂+2與x軸交點(diǎn)為(匕0)和(2,。)，

???拋物線/=2(A--1)(x-2)與拋物線丫2=乂2.3乂+2與x軸有相同的交點(diǎn),

又拋物線尸=2(x-1)(x-2與拋物線丫2=乂2-3乂+2開口方向相同，

，拋物線yi=2(x-1)(x-2)與拋物線丫2=乂2-3乂+2圍成“月牙線”：

(2)①在y］=1?(xT)2-2中，令歹=0得x=3或x=-1,

2

???拋物線丫］」(5￡—1)2—2與戈軸交點(diǎn)為(3,0)和(-1，0),

2

把(3,0)和(-I,0)代入y0=ax2+bx+c得：(9a+3b+c=0,

2la-b+c=0

.fb=-2a

lc=-3a

?*?<7：b：c=a；(-2a)：(3a)=1；(-2)；(■3).

Aa：b：c的值為1：(-2)：(-3).

22T

②由①知，y2=ax-2ax-3a=a(x-1)-4a

.,?拋物線y?二ax2-2ax-3a的頂點(diǎn)為⑷-布),

???拋物線丫］=工(乂一1)2-2的頂點(diǎn)為(1，?2),a>X

22

-4a<-2,

???拋物線y[=~(x-l)2-2在拋物線y2二ax"-2ax-3a上方，

,,m=--(x°T)2-2,XQ~2axo-3a,

乙

2

(x0-1)-2-(aXQ-2axo-3a)=(y-a)XQ+'2a-l)x0+3a---

??”?-〃的最大值為2,

4乂(y-a)?(3a-^-)-(2a-l)2

?,?------------------1----------------=2.

4X(y-a)

2a2?3。+1=0.

=62=1.

2

??〃=1?

."(o,V).

在丫2;ax2-2ax-3a中，令％=°得產(chǎn)

(0,-3a).

?**AB=-(-3a)=3a-y=y-

乙乙乙

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂

題意，理解“月牙線”的概念.

23.(11分)如圖，44與。。相切于點(diǎn)兒半徑OC〃44,8c與。。相交于點(diǎn)。，連接力Q.

(1)求證：ZOCA=ZADCi

(2)才；力。=4,tanB="7"?求。。的長.

3

【分析】(1)連接。力，則O4=OC,由切線的性質(zhì)得力A1OL因?yàn)?c〃4B,所以月

=90°,則NOO=NQ1C=45°,由圓周角定理得/力力。=工//OC=45。，則NOC4=