實數(shù)壓軸題（10大題型）

題型歸納

題型一：立方根的性質(zhì)

題型二：算術(shù)平方根、立方根小數(shù)點移動問題

題型三：算術(shù)平方根規(guī)律題

題型四：反證法證明無理數(shù)

題型五：程序框圖題

題型六：無理數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分

題型七：實數(shù)與數(shù)軸

題型八：正方形的裁剪拼接與無理數(shù)的表示（中考新方向思想培養(yǎng)）

題型九：新定義題

題型十：材料閱讀題

題型一：立方根的性質(zhì)

1.已知必+1-2x-1=0,plljx=.

【答案】?；?1或-g

【分析】將原方程變形得到瘍石=2x+l,根據(jù)?個數(shù)的立方根等于它本身得到這個數(shù)是?；?或-1,由

此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.

【詳解】???出+1-2x-1=0,

二#2x+1=2x+l,

???2x+l=l或2x+l=-1或2x+l=0,

解得x=0或x=-1或x=-g.

故答案為：0或-1或-￡.

【點睛】此題考查立方根的性質(zhì)，解一元一次方程，由立方根的性質(zhì)得到方程是解題的關(guān)鍵.

2.有這樣一道題目：“已知瘧T=x-1，求x的值.〃甲、乙二人的說法如下，則下列判斷正確的是（）

甲：x的值是1：

乙：甲考慮的不全面，X還有另一個值

A.甲說的對，x的值就是1B.乙說的對，x的另一個值是2

C.乙說的對，x的另一個值是-1D.兩人都不對，x應(yīng)有3個不同值

【答案】D

【分析】根據(jù)立方根的性質(zhì)進行計算即可.

【詳解】解：???夜二？二"1,

二工-1=±1或*-1=0,

當(dāng)戈一1=1時，x=2；

當(dāng)x-l=-l時，x=0：

當(dāng)％—1=0時，x=l；

即工有3個不同的值，故兩人說法都不對；

故選：D.

【點睛】本題考查了立方根的性質(zhì)，熟練掌握立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.已知加[5+2=X,且兩口與歸五互為相反數(shù)，求-y的值.

24

【答案】X=3,y=2,或者x=l,y=-,或者x=2,y=-

【分析】將等式用i+2=》變型為瘧1='-2,再兩邊同時立方，得至Ux-2=(x-2):再采用因式分

解法求出x的值，再根據(jù)相反數(shù)的定義求出y的值，問題隨之解得.

【詳解】GI+2=X,

y/x-2=x-2-

x-2=(x-2)',

(X-2)3-(X-2)=0,

[(A-2)2-1](X-2)=0,

(x-2-l)(x-2+l)(x-2)=0

(x-3)(x-l)(x-2)=0,

.,?x-3=0,或者x-l=O,或者x-2=0,

..x=3,或者x=l,或者x=2,

河3y-1與#l-2x,

:.小y-l+>jl-2x=0,

:聞3y7,

3y-l=2x-l,

當(dāng)i=3時，y=2,

2

當(dāng)x=i時，y-->

J

4

當(dāng)工=2時，y=§，

24

即i=3,y=2,或者工=1,y=-,或者工=2,y=-.

【點睛】本題主要考查了采用因式分解法解方程，相反數(shù)的定義，江方根的性質(zhì)等知識，求出x=3,或者

x=l,或者x=2,是解答本題的關(guān)健.

題型二：算術(shù)平方根、立方根小數(shù)點移動問題

4.完善下面表格，發(fā)現(xiàn)平方根和立方根的規(guī)律，并運用規(guī)律解;夬問題.

X???0.0640.6464640064000???

???0.252980.88m252.98???

…0.40.8618n18.56640???

⑴表格中的〃，二

（2）已知而=3.873,疝b1.22474,估計折布和疝療的值；（結(jié)果保留四位小數(shù)）

⑶若右。14/421,師估i"+力的值.（參考數(shù)據(jù)：

V2?1.41421,V20?4.4721,V7?1.9129,\/0?0.88790）.（結(jié)果保留四位小數(shù)）

【答案】⑴80,4

⑵12.2474,0.3873

（3）208.8790

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，立方根的計算，及其規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，熟練掌握計算方法和規(guī)律是解題的關(guān)

鍵.

（1）根據(jù)算術(shù)平方根的意義計算，根據(jù)立方根的規(guī)律求解.

（2）根據(jù)表格得出算術(shù)平方根的規(guī)律，即可求解.

（3）根據(jù)（2）中規(guī)律求出m根據(jù)表格得出立方根的規(guī)律，然后求出6,即可求解.

【詳解】（1）解:q洋=6400,

???76400=80，

:.m=80,

??-4-=64,

.??癇=4,

二〃二4,

故答案為：80,4；

（2）解：從表格數(shù)字中可以發(fā)現(xiàn)：開算術(shù)平方根時，被開方數(shù)的小數(shù)點每向左（或向右）移動兩位，它的

故答案為:故25；0,3873；

（3）小=1，71000=10.V1000000=100,.

小數(shù)點的變化規(guī)律是：被開方數(shù)的小數(shù)點向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點向右（左）移動一位;

（4）?.?廂a2.154,盯方-0.21乂，

a0.2154,

?-0.2154.

.*.y=-U.Ul.

【點睛】此題考查了立方根，以及算術(shù)平方根，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

題型三：算術(shù)平方根規(guī)律題

6.觀察下列各式：

后=/=再=2,即R=2.

￡=舟牌*舟即yp^二3舟那么念=一?

【答案】〃二.

【分析】根據(jù)已知等式，可以得出規(guī)律，猜想出第n個等式，寫出推導(dǎo)過程即可.

【詳解】解：

V/??+1+1

故答案為：〃石弓.

【點睛】此題主要考查了平方根的性質(zhì)，利用已知得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

7.請先在草稿紙上計算下列四個式子的值：①"；②彳百；③1萬萬：④?+2、33+43，

觀察你計算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面式子的值Jr+23+33+…+26，=.

【答案】351

【分析】先計算題干中四個簡單式子，算出結(jié)果，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出最后式子的值.

【詳解】#=1

V13+2S+33=6

>/13+23+33+43=10

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：J1'+2、+3、+…+n>=1+2+3++n

?.J]+23+33+...+263=1+2+3-■-4-26=351

故答案為；351

【點睛】本題考查找規(guī)律，解題關(guān)健是先計算題干中的4個簡單算式，得出規(guī)律后再進行復(fù)雜算式的求解.

題型四：反證法證明無理數(shù)

8.【閱讀理解】公元前5世紀(jì)，畢達哥拉斯學(xué)派中的一名成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)應(yīng)，導(dǎo)致了第一次數(shù)

學(xué)危機.

定義：可以表示為兩個互素整數(shù)的商的形式的數(shù)稱為有理數(shù)，整數(shù)可以看做分母為1的有理數(shù)；反之為無

理數(shù).如0不能表示為兩個互素的整數(shù)的商，所以無是無理數(shù).可以這樣證明：

設(shè)及。與〃是互素的兩個整數(shù)，.且人工（），

b

貝1」2=/，即〃2=①.

因為人是整數(shù)且不為0,

所以4是不為0的偶數(shù).

設(shè)。=2〃（〃是整數(shù)，且〃工0）,則/=4/.

所以萬=②.

所以b也是偶數(shù)，與〃是互素的整數(shù)矛盾.

所以及是無理數(shù).

【解決問題】

⑴寫出①，②表示的代數(shù)式，使證明過程完整；

⑵證明：正是無理數(shù).

【答案】（1）①2〃；②2/

⑵見解析

【分析】本題主要考查了無理數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給事例模仿去做，做到舉一反三.

（1）根據(jù)等式性質(zhì)得出結(jié)論即可；

（2）類比四是無理數(shù)的證明進行證明即可.

【詳解】⑴解：設(shè)&=g。與人是互素的兩個整數(shù)，且30，

b

則2=%

即/=2b2.

因為〃是整數(shù)且不為0,

所以。是不為0的偶數(shù).

設(shè)0=2〃（〃是整數(shù)，且〃工0）,

則a2=4/72.

所以h1=2/?2.

所以人也是偶數(shù)，與a,b是互素的整數(shù)矛盾.

所以血是無理數(shù).

（2）設(shè)布=：,a與〃是互素的兩個整數(shù)，且〃/0,則6=^，

bb-

所以a。凡

.:a，方是整數(shù)且不為0,

“為6的倍數(shù).

設(shè)a=6〃（〃是整數(shù)），

?*-a,=216〃'，

?3=36/,

M也是6的倍數(shù)，與。與。是互素的整數(shù)矛盾?，

荽是無理數(shù).

9.【閱讀理解】

定義：可以表示為兩個互素整數(shù)的商的形式的數(shù)稱為有理數(shù)，整數(shù)可以看作分母為1的有理數(shù)；反之為無

理數(shù).如拒不能表示為兩個互索?（沒有相同的因數(shù)）的整數(shù)的司，所以正是無理數(shù).可以這樣證明：

解：設(shè)&=：，〃與〃是互素的兩個整數(shù)，且

b

“是整數(shù)且不為0,

是2的倍數(shù).

設(shè)a=2〃（〃是整數(shù)，且〃工0）,

則a~=4/72.

；?〃=②，

???6也是2的倍數(shù)，與〃，是互素的整數(shù)矛盾.

.?.正是無理數(shù).

【解決問題】

⑴寫出①，②表示的代數(shù)式，使證明過程完整；

①：②

⑵證明：石是無理數(shù).

【答案】⑴①2〃；②2/

（2）證明見解析

【分析】考查了無理數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給事例模仿去做，做到舉一反三.

（1）根據(jù)等式性質(zhì)得出結(jié)論即可；

（2）類比血是無理數(shù)的證明進行證明即可.

【詳解】（1）解：設(shè)&=f，。與b是互素的兩個整數(shù)，且人工0,

即”~=2h2.

因為b是整數(shù)且不為0,

所以。是不為0的偶數(shù).

設(shè)a=2〃（〃是整數(shù)，且〃WO）,

貝=4/.

所以〃=2〃~.

所以匕也是偶數(shù)，與。，人是互索的整數(shù)矛盾.

所以正是無理數(shù).

故答案為：2b：In2.

（2）設(shè)=f,〃與力是互素的兩個整數(shù)，且力八），則3=」.

bb~

所以a2=3b2f

???a，匕是整數(shù)且不為0,

?”為3的倍數(shù).

設(shè)a=3〃（〃是整數(shù)），

??b2—3〃~，

??力也是3的倍數(shù)，與。與b是互索的整數(shù)矛盾,

「?豆是無理數(shù).

10.【閱讀理解】

定義：可以表示為兩個互素整數(shù)的商的形式的數(shù)稱為有理數(shù)，整數(shù)可以看做分母為1的有理數(shù)；反之為無

理數(shù).如正不能表示為兩個互素的整數(shù)的商，所以正是無理教.可以這樣證明：

設(shè)拉=*,。與方是互素的兩個整數(shù)，且6=0,

b

則2=:

b-

即/一①

因為〃是整數(shù)且不為0,

所以4是不為0的偶數(shù).

設(shè)。=2〃（〃是整數(shù)，且〃=0）,

則a2=4/?2.

所以/?②—

所以/）也是偶數(shù)，與a,b是互素的整數(shù)矛盾.

所以正是無理數(shù).

【解決問題】

⑴寫出①，②表示的代數(shù)式，使證明過程完整；

⑵證明：正是無理數(shù)，

【答案】（1）①表示的代數(shù)式2〃；②表示的代數(shù)式2/

⑵證明見解析

【分析1考查了無理數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給事例模仿去做，做到舉一反三.

（1）根據(jù)等式性質(zhì)得出結(jié)論即可；

（2）類比正是無理數(shù)的證明進行證明即可.

【詳解】（1）解：設(shè)拒=：，。與8是互素的兩個整數(shù)，目/工0，

b

則4

即『=2乩

因為人是整數(shù)且不為0,

所以。是不為。的偶數(shù).

設(shè)。=2〃（〃是整數(shù)，且"0）,

則a1=4/?2.

所以〃=2".

所以〃也是偶數(shù)，與。，6是互素的整數(shù)矛盾.

所以正是無理數(shù).

（2）設(shè)幣=：,。與6是互素的兩個整數(shù)，且人工0,則7=與，

bb~

所以/=7/，

?:a,〃是整數(shù)且不為0,

為7的倍數(shù).

設(shè)a=7〃（〃是整數(shù)），

-,-b:=7/r,

此也是7的倍數(shù)，與。與人是互素的整數(shù)矛盾，

正是無理數(shù).

11.在數(shù)學(xué)課本中，運用反證法說明"正是一個無理數(shù)”，請模仿這種方法，說明血+6是無理數(shù).

閱讀材料：

“無理數(shù)〃的由來

為什么應(yīng)不可能是一個有理數(shù)？現(xiàn)在我們用代數(shù)方法來解答這個問題.

假設(shè)及是一個有理數(shù)，那么可以得到&二:，其中。、〃是整數(shù)且。、力互素且8H0,這時，就有:

b

于是。2=2萬,則。是2的倍數(shù).

再設(shè)a=2〃?，其中〃?是整數(shù)，就有：（2〃。2=2〃，

也就是：b2=2m\

所以/）也是2的倍數(shù)，可見〃、6不是互素數(shù)，與前面所假設(shè)的。與方互素相矛盾，因此&不可能是一個

有理數(shù).

解：假設(shè)加+石是一個有理數(shù).

則拉+6=￡（。、力是整數(shù)且〃、力互素且力40）,

b

則、石=972,

b

兩邊同時平方得：,

所以：2V2-=f-f-l,可得：2>/2=~--,

所以：V2=，

因為：，

所以：近+6是一個無理數(shù).

【答案】3=仕1-2&且+2；為有理數(shù)，:一2必為有理數(shù)，而&為無理數(shù)，與前面所

設(shè)矛盾

【分析】仿照題干方法進行證明即可.

【詳解】假設(shè)五+G是一個有理數(shù).

則拉+6=￡（0、方是整數(shù)且小?；ニ厍?工0）,

b

則后=;一伉

b

兩邊同時平方得：3=⑶二2加巴+2,

\b）b

所以：2&g=（@］一1,可得：272=^--,

b{bJba

因為：為有理數(shù)，必為有理數(shù)，而正為無理數(shù)，與前面所設(shè)矛盾，

baba

所以：及+百是一個無理數(shù).

【點睛】本題考查了無理數(shù)的證明，能夠理解并運用題干的反證法是解題的關(guān)鍵.

題型五：程序框圖題

⑴當(dāng)輸入的x為36時，輸出的），的值是；

⑵若輸入x值后，始終輸不出y的值，則滿足題意的x值是；

⑶若輸出的》>2,則X的最小整數(shù)值是.

【答案】（1）6

（2）0和1

（3）5

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的計算和無理數(shù)的判斷，

（1）根據(jù)運算規(guī)則即可求解；

<2）根據(jù)。的算術(shù)平方根是0,1的算術(shù)平方根是1即可判斷；

（3）先得出輸入的x>4,,再根據(jù)運算法則，進行逆運算即可求解.

【詳解】（1）解?：當(dāng)x=36時，取算術(shù)平方根病=6,不是無理數(shù)，

繼續(xù)取6算術(shù)平方根指,是無理數(shù)，

所以輸出的》值為逐；

故答案為：巫;

（2）解：當(dāng)x=0,1時，始終輸入出）值.因為。的算術(shù)平方根是0,1的算術(shù)平方根是1,?定是有理數(shù);

故答案為：0,1；

⑶???輸出的y>2,

>4,

二輸入的x>4,

當(dāng)工=5時，5的算術(shù)平方根是”.是無理數(shù)，

所以輸出的p值為6，

???x的最小整數(shù)值是5.

13.如圖所示的是一個無理數(shù)篩選器的工作流程圖，根據(jù)下面敘述回答相關(guān)問題.

（1）當(dāng)x為8時，歹的值為.

（2）當(dāng)輸出的），值是正時，輸入的x值唯一嗎？若不唯一，請寫出其中兩個輸入的x值.

⑶是否存在輸入某個x值后，卻妗終輸不出），值？如果存在，寫出所有滿足要求的x值；如果不存在，請

說明理由.

【答案】（1）蚯

（2）工的值不唯?,x=3或x=27

⑶存在，1,0,或-1

【分析】（1）根據(jù)運算的定義即可直接求解；

（2）立方根逆運算即可.

（3）始終輸不出y值，則x的任何次方根都是有理數(shù)，則只有1,0,或-L

【詳解】（1）圾=2,

則「=次;

（2）答案不唯一.

X=（#）3=3或x=（（抬）3）3=27.

故答案是3或27.

（3）當(dāng)輸入的x=-l、。和1時，取它們的立方根始終是-1、。和1,是有理數(shù)，

???輸入的產(chǎn)」、。和1時，始終輸不出y值

【點睛】本題考查立方根以及無理數(shù)，正確理解題目中規(guī)定的運算是解題的關(guān)鍵.

題型六：無理數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分

14.閱讀下而的文字，解答問題：

我們規(guī)定：用國表示實數(shù)x的整數(shù)部分，用（x）表示實數(shù)x的小數(shù)部分，例如[3.14]=3,（3.14）=0.14,[&]=1,

大家知道正是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此近的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，但是

由于所以收的整數(shù)部分為1，將④減去其整數(shù)部分1，所得的基就是共小數(shù)部分近-1，即

（0）=&-1根據(jù)以上的內(nèi)容，解答下面的問題：

(1)|V5+1]=,(V5+l)=：

(2)如果(百)=a,[d]=8,求a+人-6的平方根.

【答案】⑴3；45-2

(2)±2

【分析】(1)分別根據(jù)無理數(shù)的大小寫出整數(shù)部分和小數(shù)部分即可；

(2)根據(jù)無理數(shù)的大小得出結(jié)論即可.

【詳解】(1)解：即2＜6＜3，

???&的整數(shù)部分為2,后的小數(shù)部分為宕-2,

[y[s+1]=3,(逐+1)=布-2；

(2)解：2VA3,

.-.(75)=75-2,

a=＞/5-2,

乂??6＜歷＜7，

二[7?1]=6,b=6,

?'-a+6-石=6-2+6-后=4,

???4的平方根是±2,

：.a+b-冊的平方根是±2.

【點睛】本題主要考查無理數(shù)大小的估算，熟練掌握無理數(shù)大小的估算方法及平方根的計算是解題的關(guān)鍵.

15.閱讀下面文字，然后回答問題.大家知道&是無理數(shù)，而無埋數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以&的小數(shù)

部分不可能全部寫出來，由于近的整數(shù)部分是1,將近減去它的整數(shù)部分，差就是它的小數(shù)部分，因此拒

的小數(shù)部分可用a-1表示，由此我們得到一個真命題：如果&=x+y,其中x是整數(shù)，且那

么x=l,y=1.請解答下歹響題：

(1)如果而=。+5，其中。是整數(shù)，月.0〈人＜1,那么。=_,b=_.

⑵如果-癡=c+d，其中。是整數(shù)，且那么c=_,d=_.

(3)已知2-=十〃，其中〃7是整數(shù)，且求M-〃|的值.

【答案】⑴2,V6-2;

⑵-3,3-瓜;

(3)4-76

【分析】(1)估算出2＜逐＜3,據(jù)此即可確定出a、b的值；

(2)估算出-3(-指＜-2,據(jù)此即可確定出。、人的值；

(3)先估算出-172-&＜0,確定〃?、〃的值，代入計算即可得到答案.

【詳解】（1）解：?.?#"+b，其中。是整數(shù)，且0<b<l,

又?「2<木<3,

「.4=2,b—y/b—2?

故答案為：2,瓜—2:

⑵解：其中C是整數(shù)，且0<dvl,

又門〈木<3,

/.-3<—Jb<_2>

c=-3?d=3-V6，

故答案為：-3,3-5/6：

(3)解：,,,—3<—\/6<—2>

—1<2—y/6<0,

<2-瓜=m+n,其中m是整數(shù)，且Ov〃vl,

二.1"=-1,11=3—>/6，

-1-3+甸=|-4+囤=4-6

|桁-〃|的值為4-C.

【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解題關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題.

題型七：實數(shù)與數(shù)軸

16.如圖，己知正方形44co的邊長為后.

⑴有4x4的網(wǎng)格，每個方格的邊長為1,把正方形川氣?。畫在網(wǎng)格中，要求頂點在格點上.

（2）如圖，把正方形力8co放到數(shù)軸上，使得點/I與數(shù)-1重合，邊力。在數(shù)軸上，那么點。數(shù)軸上表示的數(shù)

為.

⑶在（2）的條件下，如果“和力分別表示點。對應(yīng)的無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求以-〃的值.

【答案】（1）圖見詳解

⑵-1-底

⑶-5+6

【分析】（1）根據(jù)勾股定理4^=石，即可找到相應(yīng)的格點.，即可得到答案;

（2）根據(jù)數(shù)軸上點表示的數(shù)字及點到原點距離關(guān)系直接求解，即可得到答案;

（3）根據(jù)夾逼法得到點。表示數(shù)字的范圍得到。和瓦即可得到答案.

【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理可得,

亞丁:5

二正方形"CD在網(wǎng)格中的圖如卜圖，

心A：

31II

（2）解：???點力與數(shù)-1重合，邊40在數(shù)軸上，邊長為。，

.?.點。表示的數(shù)為：一1一下;

故答案為：-1-A/5;

（3）解：???4<6<折

-3<-y/s<-2,

—4<—1-,y/s<-3,

”和b分別表示點D對應(yīng)的無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，

a=-3,b=-1—5/5—（—3）=2—\5,

:.a-b=-2-（3—V5j=-5+5/5.

【點睛】本題考查勾股定理，數(shù)軸卜.數(shù)的表示，無理數(shù)小數(shù)部分及整數(shù)部分計算，解題的關(guān)鍵是找到點。

代表的數(shù)字.

17.如圖①，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，所得的4個直角三角形拼成一個面積為2的大正方

形.由此得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對應(yīng)點的方法.

圖④

（1）圖②中A、8兩點表示的數(shù)分別為,

（2）請你參照上面的方法:

把圖③中5x1的長方形進行剪裁，并拼成一個大正方形.在圖③中畫出裁剪線，并在圖④的正方形網(wǎng)格中

畫出拼成的大正方形，該正方形的邊長。=.（注：小正方形邊長都為1,拼接不重疊也無空隙）

【答案】（1）-V2,V2,（2）圖見解析，V5.

【分析】（1）根據(jù)圖①得出小正方形對角線長即可；

（2）根據(jù)長方形面積即可得出正方形面積，從而求出正方形邊長；

【詳解】解：（1）設(shè)邊長為1的小正方形沿對角線長為x,由圖①得：X2=2,

二對角線為工=也，

二圖②中A、H兩點表示的數(shù)分別-0,0,

故答案為：-夜,加，

（2）???長方形面積為5,

正方形邊長為石，如圖所示：

、、、

、*、

、、、

圖③

故答案為：石.

【點睛】本題考查無理數(shù)的表示方法，解題的關(guān)鍵是理解題意，模仿題目中給出的解題方法進行求解.

18.下面是小敏寫的數(shù)學(xué)日記的一部分，請你認真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

2023年9月22日天氣：晴

無理數(shù)與線段長.

今天我們借助勾股定理，在數(shù)軸上找到了一些特殊的無理數(shù)對應(yīng)的點，認識了“數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)”

這一事實.

【叫頃梳理：要在數(shù)軸上找到表示士拉的點，關(guān)鍵是在數(shù)軸上構(gòu)造線段。1=OW=0.如圖1,正方形的邊

長為1個單位長度，以原點。為圓心，對角線長為半徑畫弧與數(shù)軸上分別交于點4H,則點力對應(yīng)的數(shù)

為拉，點H對應(yīng)的數(shù)為-JI.

類似地，我們可以在數(shù)軸上找到表示±退，土癡，...的點.

拓展思考：如圖2,改變圖1中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上構(gòu)造出線段08與。"，其

中。仍在原點，點從9分別在原點的右側(cè)、左側(cè)，可由線段。8與。*的長得到點兒"所表示的無理數(shù)!

按照這樣的思路，只要構(gòu)造出特定長度的線段，就能在數(shù)釉上找到無理數(shù)對應(yīng)的點！

圖1圖2

任務(wù):

⑴在圖3中畫圖確定表示布的點M.

-5-4-3-2-1012345

圖3

(2)把5個小正方形按圖中位置擺放，并將其進行裁剪，拼成一個大正方形.請在圖中畫出裁剪線，并在圖4

中畫出所拼得的大正方形的示意圖.

圖4

⑶小麗想用一塊面枳為36cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面枳為20cm2的長方形紙片如圖5,使

它的長是寬的2倍.小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請你通過計算說明理由.

><8

⑷在圖6中的數(shù)軸上分別標(biāo)出表示數(shù)-0.5以及—3+班的點，并比較它們的大小.

-5-4-3-2-1012345

圖6

【答案】⑴見解析

(2)見解析

⑶不能，理由見解析

⑷數(shù)軸見解析，-3+石<-0.5

【分析】(1)由10=9+1,可作出單位長度以3和1為長和寬的矩形，其對角線即是而，然后以原點為圓

心，以J而為半徑畫弧，即可解答；

(2)設(shè)1個小正方形的面積為1,則5個小正方形的面積為5,即所拼成的大正方形的邊長為石，進而即

可畫出裁剪線和所拼得的大正方形；

（3）由題意可求出正方形紙片的邊長為6cm.設(shè)長方形紙片的寬為xcm,則長為2xcm,則可列出關(guān)于x

的〃程，再利用平方根解方程，即得出長方形紙片的長為2而cm,最后比較即可；

⑷由5=4+1,可作出單位長度以2和1為長和寬的矩形，其對角線即是有，然后以表示-3的點為圓心,

以石為半徑畫弧，與數(shù)軸右側(cè)的交點即為-3+6.再畫出表示-0.5的點，根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)比較即可.

理由：由題意可知這個面積為36cm2的正方形紙片的邊長為6cm,

設(shè)面積為20cn?的長方形紙片的寬為疣m,則長為2xcm,

???x-2x=20,

解得：x=（舍去負值），

???長方形紙片的長為2限m.

???2布＞6,

二小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片；

（4）解：在數(shù)軸上表示數(shù)-0.5和—3+6的點如圖，

【點睛】本題主要考查勾股定理，數(shù)軸和利用平方根解方程.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

19.教材中，如圖1,把兩個邊長為1的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起,

就可以得到一個面積為2的大正方形，它的邊長是無理數(shù)近.由此啟發(fā)，我們可以嘗試川兩個同樣大小的

長方形拼出一個正方形的方式找出其他無理數(shù)的大小.

-4-3-2-101234

圖3

如圖2,將兩個長和寬分別為3和2的長方形沿對角線剪開，將所得到的4個直角三角形拼出了一個中間有

一個鏤空小正方形的大正方形.

⑴所得到的小正方形的邊長為；大正方形/4C、。的邊長為.

⑵把圖2中的正方形力8。放在數(shù)軸上，如圖3,點C表示的數(shù)為1,若正方形48co從當(dāng)前狀態(tài)沿數(shù)軸正

方問翻滾，我們把點8翻滾到數(shù)軸上的點P時，記為第一次翻滾，點力翻滾到數(shù)軸上時，記為第二次翻滾,

以此類推.是否存在正整數(shù)〃.使得該正方形經(jīng)過〃次翻滾后，其頂點4B,C,。中的某個點與數(shù)軸上的

2025重合？

【答案】（1）1;歷

（2）不存在

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，掌握等面積法是掌握算術(shù)平方根和無理數(shù)的意義.

（1）根據(jù)圖形可求出小正方形EFG〃的邊長；根據(jù)大正方形的面積=4個直角三角形的面積+小正方形的面

積求出大正方形的面積，進而可求出大正方形45CO的邊長：

（2）判斷2025-1是否是正方形邊長的整數(shù)倍，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）由題意得：所得到的小正方形EFG”的邊長為：3-2=1；

大正方形力3CQ的面積為：4xlx3x2+l2=13,邊長為歷；

故答案為：1：J13:

（2）解：不存在.

理由：假設(shè)存在正整數(shù)〃，則〃x7i5+l=2025，

713/?=2024.

亞二些，

n

???〃為正整數(shù),

???竺絲為有理數(shù)，而為無理數(shù)，

n

..?上式等號不成立.即不存在正整數(shù)〃.

題型八：正方形的裁剪拼接與無理數(shù)的表示（中考新方向思想培養(yǎng)）

20.（1）如圖①，由五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開，拼成一個正方形?這個正

方形的面積為，邊長為.

（2）如圖②，你能把由十個邊長為1的正方形組成的圖形紙剪開，并拼成正方形嗎？請仿照二題用虛線在

圖②中畫出拼成的正方形，并求得它的邊長為.

（3）請仿照上題，在圖③中畫出邊長為用的正方形.

可翻用林B

圖①圖②圖③

【答案】（1）5,75;（2）見解析，V10;（3）見解析

【分析】本題考查了更雜作圖，掌握勾股定理及正方形的面枳公式是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)拼圖面積不變及正方形的面積公式求解；

（2）仿照（1）先作邊長線段，再作正方形；

（3）仿照（2）作圖.

【詳解】解；（1）由五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，

???這個正方形的面積為5,邊長為石，

故答案為：5,加；

⑵由正壽=而

圖②

由十個邊長為1的正方形組成的圖形紙

??.這個正方形的面積為10,它的邊長為加，

故答案為：Vio：

（3）---722+52=>/29

二如圖③所示，正方形48CZ）即為所求.

圖③

21.閱讀材料,并完成下列問題：

尋找無理數(shù)：小明把兩個面積為1的小正方形（圖1①）分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼

成一個面積為2的大正方形（圖1②），從而找到無理數(shù)行.問題再發(fā)現(xiàn)：

⑴小剛受到小明的啟發(fā),把圖2①剪拼成圖2②后，找到無理數(shù)逐，請你在圖2①中畫出裁剪線（用實

線）;

（2）參考小明、小剛的作法，請你將圖3中長為5,寬為2的長方形裁剪成若干塊，拼成一?個正方形;

①求該正方形的邊長；

②請在圖3中畫出一種滿足條件的裁剪線（用實線）.

【答案】（1）見解析

⑵①標(biāo)；②見解析

【分析】本題考查無理數(shù)的表示方法，勾股定理和無理數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解題意，模仿題目中給出的解

題方法進行求解.

（1）根據(jù)『+22=（不/求解即可：

（2）①首先根據(jù)題意得到拼成的正方形的面積為10,進而求解即可:

②根據(jù)尸+32=（布『求解即可.

【洋解】（1）如圖所示，

（2）①?.?長為5,寬為2的長方形的面積為5x2=10

.?.拼成的正方形的面積為10

二該正方形的邊長為布；

②如圖所示.

22.【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,把兩個邊長為1的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼

在一起，就可以得到一個大正方形，所得到的大正方形的面積為，大正方形的邊長為.

【知識遷移】（2）愛鉆研的小思同學(xué)受到啟發(fā)，嘗試用兩個同樣大小的長方形拼出一個正方形.如圖2,將

兩個長和寬分別為3和2的長方形沿對角線剪開，將所得到的4個直角三角形拼出了一個中間有一個鏤空

小正方形的大正方形，所得到的小正方形〃的邊長為;大正方形力8。。的面積為；

邊長為.

【拓展延伸】（3）小明想用一塊面積為900cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為740cm2的長

方形紙片，使它的長與寬之比為5：4.請通過計算說明是否可行.

【答案】（1）2,V2:（2）1,13,J萬；（3）不可行，理由見詳解

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握正方形和長方形的面積計算方法以及算術(shù)平方

根.

（1）根據(jù)大正方形的面積=2個小正方形的面積和，即可得解；

（2）根據(jù)大正方形的面積=4個直角三角形的面積+小正方形的面積即可解答；

（3）設(shè)截出的長方形紙片的長為5比小，寬為4xcm,根據(jù)題意列出方程，計算即可解答.

【詳解】解：（1）由題意得：所得到的大正方形面積為1+1=2,邊長為應(yīng)；

（2）由題意得:所得到的小正方形EFG”的邊長為：3-2=1；大正方形488的面積為：4xgx3x2+F=i3：

邊長為JF：

（3）不可行，理由如下：

設(shè)截出的長方形紙片的長為5xcm，寬為4xcm,

則5x-4x=740,

??x=V37（負值舍去）,

???截出的長方形紙片的長為5y/y7citi=J925cm>30cm，

???不能用?塊面積為900cm?的正方形紙片，沿著邊的方向裁出?塊面積為740c/的長方形紙片，使它的長

與究之比為5:4.

23.數(shù)學(xué)活動課上，數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)探究用〃個面積為l（dm?）的小正方形紙片剪拼成一個面積為

的大正方形.下面是他們探究的部分結(jié)果：

⑴如圖1,當(dāng)〃=2時，拼成的大正方形48CO的邊長為

如圖2,當(dāng)〃=5時，拼成的大正方形481GA的邊長為

如圖3,當(dāng)〃=10時,拼成的大正方形462GA的邊長為

（2）小李想沿著正方形紙片44G"邊的方向能否裁出一塊面積為2.42?m2）的長方形紙片，使它的長寬之比

為2:1?他能裁出嗎？請說明理由.

⑶小周想沿著正方形紙片4&G2邊的方向能否裁出一塊面積為4.86（dm?）的長方形紙片，使它的長寬之

比為3：2,且要求長方形的四周至少留出0.3疝?的邊框？若能，請給出一種合適的裁剪方案；若不能，請說

明理由.

【答案】⑴&dm;石dm；Vwdm

⑵能，見解析

⑶不能，見解析

【分析】（1）①先得出〃=2時圖形的面枳，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得邊長；②先得出〃=5時圖形的

面積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得邊長；③先得出〃=10時圖形的面積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得

邊長；

（2）假設(shè)可行，設(shè)長方形的長寬分別為2%和4,則根據(jù)面積可求得》的值，發(fā)現(xiàn)2%的值比正方形的邊長

小，故可能；

（3）假設(shè)可行，設(shè)長方形的長寬分別為3x和2x,則根據(jù)面積可求得x的值，3x=2.7,發(fā)現(xiàn)加邊框后的長

至少要2.7+2x0.3=3.3（dm）,33加比正方形的邊長大，故不可能.

【詳解】（1）解：當(dāng)〃=2時，則王方形的面積為2dm，邊長為&dm;

當(dāng)〃=5時，則正方形的面枳為5dm工邊長為迅dm：

當(dāng)八=10時，則正方形的面積為10dm'邊長為

（2）能裁出這樣的長方形，理由如下：

設(shè)長方形的長為2xdm,則寬為％dm

??.27=2.42

解得：x=1.1

.--2x=2.2=V4^4<V5

.?.能裁出這樣的長方形.

(3)不能裁出這樣的長方形，理由如下：

設(shè)長方形的長為3xdm,則寬為2xdm

3x-2x=4.86

解得：x=0.9

??.3x=2.7

又?.要求長方形的四周至少留出0.3dm的邊框

因此加邊框后的長至少要2.7+2x0.3=3.3(而)

,?33=6?=J10.89

，不能裁出這樣的長方形.

【點睛】本題考查圖形的探究，利用長寬比設(shè)未知數(shù)是解題的技巧，根據(jù)題意列方程是解題的關(guān)鍵.

題型九：新定義題

24.規(guī)定[內(nèi)取。的整數(shù)部分，例如：[3刈=3,]5.21=5,網(wǎng)=8,則[Jf]-[及]++…-[聞]+[聞]

的值等于()

A.4B.-4C.5D.-5

【答案】A

【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，有理數(shù)的加減混合運算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.根據(jù)口]的定義,

分別求出[廊]的值，再代入計算即可.

【詳解】v[VT]=l,[4]=2,[百]=3,[>/16]=4,[岳]=5,[序]=6,[749]=7,

.?.[6]至[G]的值均為1,["]至[網(wǎng)的值均為2,[囪]至[厲]的值均為3,[Vl6]^[V24]的值均為4,[V25]

至[后]的值均為5,[病]至R%]的值均為6,

.?.[7i]-[V2]+[V3]-[V4]+..-[V48]+[V49]

=(|VT]+[V3]+[V5]+...+[V49])-([V2]+[V4]+[V6]4----+[V48])

=(1X2+2X2+3X4+4X4+5X6+6X6+7)-(1+2x3+3x3+4x54-5x5+6x7)

=107-103

=4.

故選：A.

25.閱讀理解題：定義：如果一個數(shù)的平方等于-1,記為尸=一1，這個數(shù)，?叫做虛數(shù)單位，把形如6

(。，b為實數(shù))的數(shù)叫做好數(shù)，其中。叫這個復(fù)數(shù)的實部，6叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運

算與整式的加I,減，乘法運算類似.

例如計算：(2-/)+(5+3/)=(2+5)+(-l+3)Z=7+2Z；

(14-f)x(2-f)=lx2-/+2x/-/2=2+(-l+2)/4-l=3+z；

根據(jù)以上信息，完成下列問題：

(1)填空：，/二.

(2)計算：(l+，)x(3—4i)；

⑶計算：，+產(chǎn)+/+產(chǎn).

【答案】(1)T,1

(2)7-/

⑶7

【分析】本題考杳了整式的混合運算，復(fù)數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的混合運算順序和運算法

則，以及正確理解題目所給的復(fù)數(shù)的定義.

(1)把『=-1代入即可求解；

(2)根據(jù)多項式乘以多項式的運算法則，將括號展開，再根據(jù)j2=-l計算即可；

(3)先歸納出每4個數(shù)為一組，每組按照。7,T,1的順序排列，即可進行計算.

【詳解】(1)解：?.?尸二一1,

???/3=72?/=—/,/=(『)=(—

故答案為：T,1；

(2)解：(l+/)x(3-4f)

=1X3-1X4/+ZX3-/X4/

=3-i-4/，

=3-/-4x(-l)

=7-，：

(3)解：根據(jù)題意可得：

?：i，/2=-1>F=-i，/4=1>『=，，i('--1?J=T,廣=1..

???每4個數(shù)為一組，每組按照的順序排列：

2023+4=505…3,

，”『+/+???+產(chǎn)°”

=(;-l-Z+l)x505+(/-l-z)

=—1.

26.喜歡探索數(shù)學(xué)知識的小明遇到一個新的定義：對于三個互不相等的正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的

算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為"老根數(shù)"，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根"，最大的整數(shù)

稱為“最大算術(shù)平方根〃.例如：1,4,9這三個數(shù)，71^4=2.斤=3,74^9=6,其結(jié)果分別為2,

3,6,都是整數(shù)，所以1,4,9這三個數(shù)稱為“老根數(shù)〃，其中“最小算術(shù)平方根”是2,“最大算術(shù)平方根"

是6.

⑴試說明：2,8,50這三個數(shù)是“老根數(shù)”，并求出它們的最小算術(shù)平方根與最大算術(shù)平方根；

⑵已知16,36,這三個數(shù)是“老根數(shù)"，且它們的最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的2倍，求。的值.

【答案】⑴理由見解析，最小算術(shù)平方根是4,最大算術(shù)平方根是20

(2)9或64

【分析】本題考查算術(shù)平方根，理解“老根數(shù)〃、“最小算術(shù)平方根〃、"最大算術(shù)平方根〃的意義是正確解答的

前提，求出“任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根〃是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“老根數(shù)”"最小算術(shù)平方根〃“最大算術(shù)平方根”的意義求解即可：

(2)分三種情況進行解答即可，即“V16,16<。<36,。>36,分別列方程求解即可.

【詳解】(1)解：,?,亞彘=4，72x50=10,78x50=20,

??.2,8,50這三個數(shù)是"老根數(shù)";其中最小算術(shù)平方根是4,最大算術(shù)平方根是20；

(2)當(dāng)。<16時，

vl6,。，36,這三個數(shù)是“老根數(shù)”，且它們的最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的2倍，

?*-=Vl6x36，

=24，

解得：a=9：

當(dāng)16<a<36時，

依題意，得：=

8>/a=6>fa，

*'?I'fa—0，

解得：。=0,不合題意舍去；

當(dāng)a>36時，

依趣意，得：2jl6x36=J36a,

6-/a=2x4x6，

解得：a=64,

綜上所述，。的值為9或64.

題型十：材料閱讀題

27.閱讀材料：我們知道，任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不為零的有理數(shù)與一個無理

數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零，由此可得，如果〃?x+〃=0,其中加、〃為有理數(shù)，x為無理數(shù),

那么〃?=0,n=0.運用上述知識解決下列問題：

(1)若小、〃均為有理數(shù)，且(〃7+l)G+〃-2=(),求用+〃的立方根；

(2)若〃7、〃均為有理數(shù)，且(/〃+1)&+加-17=2夜一/,求加和〃的值.

【答案】(1)1

（2））7i=］,n=±4

【分析】（1）根據(jù)題干提供的方法列出機和〃的方程求解即可；

（2）先整理成〃？x+〃=0,其中也〃為有理數(shù)，%為無理數(shù)，再按題干提供的方法求解.

本題考查了立方根，無理數(shù)的定義：理解題意是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：???（m+l）6+〃-2=0,其中〃?，〃均為有理數(shù)，

二.機+1=0,72-2=0.

解得〃？=—1,n=2,

則〃?+〃=一1+2=1,1的立方根為1,

...加+〃的立方根為1.

（2）解：將原式整理，得（〃?+1-2）啦+加+/-17=0,即（根-1）返+〃?+〃2-17=0,

???〃?、〃均為有理數(shù)，

:.m—1=0,ffi+n~-17=0?

解得〃?=1,n=±4.

28.我們知道：任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不為零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無

理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零，由此可得，如果辦+方=0,其中。、6為有理數(shù)，x為無理數(shù)，那么。=0,

且6=0,運用上述知識解決下列問題：

⑴如果&（。+2）-33=0,其中。、力為有理數(shù)，那么。=,b=；

（2）如果%—。―6（。+6—4）=5,其中。、b為有理數(shù)，求a+86的算術(shù)平方根；

（3）若。、人都是有理數(shù)，且/+2力+近（〃+4）=17,試求。+6的立方根.

【答案】（1）。=-2b=3

（2）”+汕的算術(shù)平方根為5

（3）a+b的立方根為1或舛

【分析1本題考查了立方根，實數(shù)的運算，算術(shù)平方根，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)已知可得。+2=0,-6+3=0,然后進行計算即可解答；

（2）根據(jù)已知可得26-a-G（〃-6-4）=5,從而可得［，進而可得：'：］，然后把a,6的

值代入式子中進行計算，即可解答；

（3）根據(jù)已知可得/+26-17+近0+4）=0,從而可得/+2b-17=0,6+4=0,進而可得分=-4,

a=±5,然后分兩種情況進行計算，即可解答.

【詳解】（1）解：?.?收（4+2）-6-3=0,其中八方為有理數(shù)，

.,.（7+2=0.一力+3=0,

/.a=-2,b=3,

故答案為：-2：3；

(2)解:2b-a-y/3(a+b-4)=5,

:.2b-a-5-(a+b-4)y/3=0,

?:a、b為有理數(shù)，

26-?-5=0

?V

a+b-4=0

a-I

解得：L、，

???a+86=1+3x8=25,

???其算術(shù)平方根為5；

(3)解:/+2b+/(b+4)=17,

fl2+2Z>-17+V7(Z>+4)=0,

<?2+2Z>-17=0

Ab+4=0'

a=5fa=-5

解得：4或，Af

b=-4[ZJ=-4

,.當(dāng)a=5,8=-4時，a+力=5+(—4)=1,4+b的土方根為1；

3fl=-5,6=-4時，a+b=-5+(-4)=-9,a+力的立方極為一強.

29.【閱讀材料】

數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方

根.華羅庚脫口而出：“39〃.鄰座的乘客十分驚奇，忙間其中計算的奧妙.

你知道怎樣迅速準(zhǔn)確的計算出結(jié)果嗎？請你按下面的步驟試一試：

第一步：vVi()00=10,%000