專題25.125.2隨機(jī)事件與用列舉法求概率

典例體系(本專題共64題32頁(yè))

一、知識(shí)點(diǎn)

1.概率及公式

定義：表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù).

概率公式P(A)=-(m表示試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，n表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果的次數(shù)).

2.事件的類型及其概率

定義表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù).

P(A)="(.表示試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，〃表示所有等可能出現(xiàn)的

概率公式n

結(jié)果的次數(shù)).

一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率”會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)〃附近，那

n

么事件A發(fā)生的概率P(A)=p=-.

n

事件類型概率

確定性事件1或0

必然事件1

不可能事件0

不確定性事件(隨機(jī)事件)O<P(A)<1

3.幾何概率的計(jì)算方法

求出陰影區(qū)域面積與總面積之比即為該事件發(fā)生的概率.

4.古典概型

(1)古典概型的定義

某個(gè)試驗(yàn)若具有：①在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)有有限多個(gè)；②在一次試驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能

性相等。我們把具有這兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為古典概型。

(2)古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m中

結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=-

n

5.列表法求概率

⑴列表法

用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

(2)列表法的應(yīng)用場(chǎng)合

當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常

采用列表法。

6.樹狀圖法求概率

(1)樹狀圖法

就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。

⑵運(yùn)用樹狀圖法求概率的條件

當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通

常采用樹狀圖法求概率。

二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練

考點(diǎn)1：隨機(jī)事件與必然事件

(2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí))下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機(jī)事件？

(1)太陽(yáng)從西邊落山；

(2)某人的體溫是100℃；

(3)屏+〃=0；

(4)某個(gè)等腰三角形中任意兩個(gè)角都不相等；

(5)經(jīng)過有信號(hào)燈的十字路口，遇見紅燈.

【答案】(1)“太陽(yáng)從西邊落山”是必然事件:(2)“某人的體溫是100℃”是不可能事件;(3)“*+1=0，，是隨

機(jī)事件；(4)“某個(gè)等腰三角形中任意兩個(gè)角都不相等”是不可能事件；(5)“經(jīng)過有信號(hào)燈的十字路口，遇見

紅燈”是隨機(jī)事件.

【解析】

(1)根據(jù)生活常識(shí)，可知太陽(yáng)一定從西邊落山，所以“太陽(yáng)從西邊落山”是必然事件.

⑵因?yàn)檎Ｈ梭w的體溫都在37c左右，所以“某人的體溫是100℃”是不可能事件.

⑶當(dāng)0%=0時(shí),岸+護(hù)=0,當(dāng)a,b中至少有一個(gè)不等于。時(shí)，出+爐為正數(shù),所以/+加=0”是隨機(jī)事件.

(4)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形中至少有兩個(gè)角相等，所以“某個(gè)等腰三角形中任意兩個(gè)角都不相等''

是不可能事件.

(5)經(jīng)過有信號(hào)燈的十字路口，可能遇見紅燈，也可能不遇見紅燈，所以“經(jīng)過有信號(hào)燈的十字路口，遇見紅

燈”是隨機(jī)事件.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生佗事件.不可

能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可

能不發(fā)生的事件.

鞏固練習(xí)

1.（2020?廣東揭陽(yáng)?初一期末）在一個(gè)不透明的口袋中裝著大小、外形等一模一樣的5個(gè)紅球、3個(gè)藍(lán)球和2個(gè)

白球，它們已經(jīng)在口袋中被攪勻了.請(qǐng)判斷以卜.事情是不確定事件、不可能事件，還是必然事件.

（1）從口袋中任意取出一個(gè)球，是一個(gè)白球；

（2）從口袋中一次任取5個(gè)球，全是就球；

（3）從I」袋中一次任意取出9個(gè)球，恰好紅藍(lán)白三種顏色的球都齊了.

【答案】（1）不確定事件；（2）不可能事件：（3》必然事件

【解析】

（1）從口袋中任意取出一個(gè)球，可能是紅球、藍(lán)球或白球，所以這個(gè)事件是不確定事件；

（2）口袋中只有三個(gè)藍(lán)球，則從II袋中一次任取5個(gè)球，不可能全是藍(lán)球，所以這個(gè)事件是不可能事件；

⑶由于II袋中有5個(gè)紅球、3個(gè)籃球和2個(gè)白球，任意一種或兩種顏色的球的總數(shù)都小于9,所以從II袋中

一次任意取出9個(gè)球，必然是三個(gè)顏色都有，因此這個(gè)事件是必然事件.

2.（2020?全國(guó)初三課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)不透明的袋子里，裝有9個(gè)大小和形狀一樣的小球，其中3個(gè)紅球、3

個(gè)門球、3個(gè)黑球，它們已在袋子中被攪勻，現(xiàn)在有一個(gè)事件：從袋子中任意摸出〃個(gè)球，紅球、白球、黑

球至少各有一個(gè).

（1）當(dāng)〃為何值時(shí)，這個(gè)事件必然發(fā)生？

（2）當(dāng)〃為何值時(shí)，這個(gè)事件不可能發(fā)生？

（3）當(dāng)〃為何值時(shí)，這個(gè)事件可能發(fā)生？

3.（2020?全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）下列事件中，哪些是確定事件？哪些是不確定事件？

（I）任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)是6.

（2）在一個(gè)平面內(nèi)，三角形三個(gè)內(nèi)角的和是190度.

（3）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.

【答案】（I）不確定事件；（2）確定事件，也是不可能事件；（3）確定事件，也是必然事件.

【解析】（1）任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)可能是1，2,3,4,5,6,因此，朝上的點(diǎn)數(shù)是6是

不確定事件.

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，在一個(gè)平面內(nèi)，三角形三個(gè)內(nèi)角的和是18。度.因此，三角形三個(gè)內(nèi)角的和是

190度是確定事件,也是不可能事件.

（3）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，故是一個(gè)確定事件，

也是必然事件.

4.（2020?全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）足球世界杯比賽分成8個(gè)小組，每個(gè)小組4個(gè)隊(duì)，小組內(nèi)進(jìn)行單循環(huán)比賽（每個(gè)隊(duì)

都與該小組的其他隊(duì)比賽一場(chǎng)），選出2個(gè)隊(duì)進(jìn)入16強(qiáng).比賽規(guī)定勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分.

請(qǐng)問:

⑴每個(gè)小組共比賽多少場(chǎng)？

（2）在小組比賽中，有一個(gè)隊(duì)比賽結(jié)束后積分為6分，該隊(duì)出線這一事件是什么事件？

【答案】（1）共比賽6場(chǎng)；（2）隨機(jī)事件.

【解析】解:（1）（4x3）+2=6（場(chǎng)）,

故每個(gè)小組共比賽6場(chǎng)；

⑵因?yàn)槊總€(gè)小組總共有6場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽最多可得3分，則6場(chǎng)比賽最多可得3x6=18（分），

現(xiàn)有一隊(duì)得6分，還剩下12分，則還有可能有2個(gè)隊(duì)同時(shí)得6分，故不能確保該隊(duì)出線，因此該隊(duì)出線是

一個(gè)隨機(jī)事件.

5.（2020?全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)用“一定”、“很可能”、“可能性極小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等語(yǔ)言

來描述下列事件的可能性.

⑴買20注彩票，獲特等獎(jiǎng)500萬.

⑵袋中有20個(gè)球，1個(gè)紅的，19個(gè)白的，從中任取一球，取到紅色的球.

⑶擲一枚均勻的骰子，6點(diǎn)朝上.

（4）：00件產(chǎn)品中有2件次品，98件正品，從中任取一件，剛好是正品.

（5）早晨太陽(yáng)從東方升起.

（6）小麗能跳100m高.

【答案】（1）可能性極??；（2）不太可能；（3）可能；（4）很可能；（5）一定；（6）不可能.

【解析】（1）買20注彩票，獲特等獎(jiǎng)500萬，可能性極?。?/p>

（2）袋中有20個(gè)球，1個(gè)紅的，19個(gè)白的，從中任取一球，取到紅色的球，不太可能；

⑶擲一枚均勻的骰子，6點(diǎn)朝上，可能；

（4）100件產(chǎn)品中有2件次品，98件正品，從中任取一件，剛好是正品，很可能；

（5）早晨太陽(yáng)從東方升起，一定；

⑹小麗能跳100m高，不可能.

6.（2020?全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中任意取兩個(gè)相乘，問：

（1）積為偶數(shù)，屬于哪類事件？有幾種可能情況？

(2)積為奇數(shù)，屬于哪類事件？有幾種可能情況？

(3)積為無理數(shù)，屬于哪類事件？

【答案】⑴隨機(jī)事件,7；(2)隨機(jī)事件，3；(3)不可能事件

【解析】(1)積為偶數(shù)的有2,4,6,8,10,12,20共7種可?能，是隨機(jī)事件；

⑵積為奇數(shù)的有3,5,15,共3種可能，是隨機(jī)事件；

(3).??這五個(gè)數(shù)都是整數(shù)，

???積為整數(shù)，不可能是無理數(shù)，

???積為無理數(shù)，屬于不可能事件.

7.(2020?灌云縣四隊(duì)中學(xué)初二月考)在三個(gè)不透明的布袋中分別放入一些除顏色不同外其他都相同的玻璃球,

并攪勻，具體情況如下表：

布袋編號(hào)13

袋中玻璃珠色彩、2個(gè)母球、2個(gè)黃1個(gè)爆球、，個(gè)黃

6個(gè)綠球、3個(gè)黃球

數(shù)量及種類球、5個(gè)紅球球、4個(gè)紅球

在下列事件中，哪些是隨機(jī)事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？

(1)隨機(jī)從第一個(gè)布袋中摸出一個(gè)玻璃球，該球是黃色、綠色或紅色的；

(2)隨機(jī)的從第二個(gè)布袋中摸出兩個(gè)玻璃球，兩個(gè)球中至少有一個(gè)不是綠色的；

(3)隨機(jī)的從第三個(gè)布袋中摸出一個(gè)玻璃球，該球是紅色的；

(4)隨機(jī)的從第一個(gè)布袋中和第二個(gè)布袋中各摸出一個(gè)玻璃球，兩個(gè)球的顏色一致.

【答案】(1)必然事件；(2)必然事件；(3)不可能事件；(4)隨機(jī)事件.

【解析】解：(1)一定會(huì)發(fā)生，是必然事件；

(2)一定會(huì)發(fā)生，是必然事件；

(3)一定不會(huì)發(fā)生，是不可能事件；

(4)可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件.

8.(2019?江蘇儀征?初二期中)某班從三名男生(含小強(qiáng))和五名女生中選四名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“中華古詩(shī)文

朗誦大賽”，規(guī)定女生選〃名.

(I)當(dāng)〃為何值時(shí)，男生小理參加是確定事件？

(2)當(dāng)〃為何值時(shí)，男生小強(qiáng)參加是隨機(jī)事件？

【解析】(1)若小強(qiáng)一定參加，則必須將所有男生都參加，選4名同學(xué)參加，而男生共有3名，

???女生只能參加1名,即n=l,

???當(dāng)n=l時(shí)，男生小強(qiáng)參加是必然事件；

若小強(qiáng)不可能參加，則一個(gè)男生都不能參加，

???當(dāng)n=4時(shí)，男生小強(qiáng)參加是不可能事件；

(2)???男生至少一名參加，但又不能所有男生都參加，小強(qiáng)就有可能參加，也有可能不參加，

???4名同學(xué)參加，而女生總共有5名，男生總共有3名，

，男生最多參加2名，最少參加1名，

???當(dāng)n=2或3時(shí)，男生小強(qiáng)參加是隨機(jī)事件.

9.(2020.全國(guó)初二課時(shí)練習(xí))下列事件中，哪些是確定事件？哪些是不確定事件？哪些是必然事件？哪些是

不可能事件？

(1)上海每年都有人出生.

(2)擲一枚均勻的骰子，3點(diǎn)朝上.

(3)你將長(zhǎng)到4m.

(4)15道選擇題全選A.

(5)你最喜歡的籃球隊(duì)將獲得CBA冠軍.

(6)可開電視，正在播電視劇.

(7)任買一張足球彩票，中一等獎(jiǎng).

【答案】答案見解析

【解析】解：確定事件：(1)(3)；

不確定事件：(2)(4)(5)(6)(7)；

必然事件：(1)；

不可能事件：(3).

10.(2017?全國(guó)課時(shí)練習(xí))小明和小紅在討論兩個(gè)事件，小明說“中央電視臺(tái)天氣預(yù)報(bào)說明天小雨，明天一定

會(huì)下雨”，而小紅卻說不一定，同時(shí)她還認(rèn)為“'供電局通知，明天電路檢修，某小區(qū)停電'該小區(qū)明天一定會(huì)

停電''他們倆意見不統(tǒng)一，各執(zhí)己見，他們說得對(duì)嗎？你能說說你的看法嗎？

【答案】小明錯(cuò)，小紅對(duì)；天氣預(yù)報(bào)是隨機(jī)事件，小區(qū)停電是必然事件.

【解析】小明錯(cuò)，小紅對(duì)；天氣預(yù)報(bào)是隨機(jī)事件，小區(qū)停電是必然事件.

考點(diǎn)2：可能性大小的比較

典例：（2020?陜西渭濱?初一期末）有一個(gè)轉(zhuǎn)盤（如圖所示），被分成6個(gè)相等的扇形，顏色分為紅、綠、黃三種，

指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后任其自由停止，其中的某個(gè)扇形會(huì)恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€(gè)扇

形的交線時(shí)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)）.下列事件：①指針指向紅色：②指針指向綠色：③指針指向黃色：④指針不指向

黃色.估計(jì)各事件的可能性大小，完成下列問題：

（1）可能性最大和最小的事件分別是哪個(gè)？（填寫序號(hào)）

（2）將這些事件的序號(hào)按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列：.

【答案】（1）可能性最大的是④，最小的是②；（2）由題意得：②〈③〈①〈④

【解析】???共3紅2黃1綠相等的六部分，

31

???①指針指向紅色的概率為二二二；

62

②指針指向綠色的概率為‘；

③指針指向黃色的概率為:=大：

63

④指針不指向黃色為之，

6

（1）可能性最大的是④，最小的是②；

（2）由題意得：②V③V①V④，

故答案為②〈③〈①〈④.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查的是可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對(duì)待.用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于

所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

鞏固練習(xí)

1.（2018?全國(guó)初三課時(shí)練習(xí)）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？這些事件是確定性事

件嗎？

①兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；

②367人中至少有2人的生日相同；

③沒有水分，種子也會(huì)發(fā)芽；

④奧運(yùn)會(huì)上百米賽跑的成績(jī)是5秒；

⑤同種電荷，相互排斥；

⑥通常情況下，高鐵比普通列車快；

⑦用長(zhǎng)為3。〃，5cm,8cm的三條線段圍成三角形.

【答案】見解析

【解析】必然事件：①②⑤⑥；

不可能事件：③?⑦，這些事件都是確定性事件.

2.（2020?全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）我會(huì)連.（任意摸出一個(gè)球，可能是什么顏色？）

一定是白球可能是白球不可能是白球

【答案】

【解析】解：因?yàn)槿齻€(gè)袋子中所裝的球的顏色是不同的，第一個(gè)袋子中全是黑球，第二是全是白球，第三

個(gè)里面有黑球也有白球，所以，從第二個(gè)袋子中摸出的一定是白球，第一個(gè)袋子中摸出來的一定不是白球：

第三個(gè)袋子中摸出來的可能是白球也可能是黑球.故連接如上圖所示.

3.（2019?江蘇邳州?期中）①四邊形內(nèi)角和是180。；②今年的五四青年節(jié)是晴天；③367人中有2人同月同

日生.指出上述3個(gè)事件分別是什么事件？并按事件發(fā)生的可能性由大到小排列.

【答案】①是不可能事件；②是隨機(jī)事件；③必然事件；③>②>①.

【解析】解：①是不可能事件；②是隨機(jī)事件；③必然事件.

答：按事件發(fā)生的可能性由大到小排列為：③>②>①.

4.（202。?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）九八班從三名男生（含小強(qiáng)）和五名女生中選四名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“中華古詩(shī)

文朗誦大賽”，規(guī)定女生選n名.

（1）當(dāng)n為何值時(shí)，男生小強(qiáng)參加是必然事件？

（2）當(dāng)n為何值時(shí)，男生小強(qiáng)參加是不可能事件？

（3）當(dāng)n為何值時(shí)，男生小強(qiáng)參加是隨機(jī)事件？

【答案】（1）1；（2）4：（3）2或3.

【解析】解：（1）當(dāng)〃為1時(shí)，男生小強(qiáng)參加是必然事件.

（2）當(dāng)〃為4時(shí)，男生小強(qiáng)參加是不可能事件.

（3）當(dāng)〃為2或3時(shí)，男生小強(qiáng)參加是隨機(jī)事件.

5.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）有個(gè)溝勻的正十二面體的骰子，其中1個(gè)面標(biāo)有“1”，2個(gè)面標(biāo)有“2”，3個(gè)面標(biāo)

有“3”，2個(gè)面標(biāo)有“4”，1個(gè)面標(biāo)有“5”，其余面標(biāo)有“6”，將這個(gè)骰子擲出后：

⑴擲出“6”朝上的可能性有多大？

⑵哪些數(shù)字朝上的可能性一樣大？

⑶哪些數(shù)字朝上的可能性最大？

【答案】⑴擲出“6”朝上的可能性有L；（2）3與6,4與2,1與5朝上的可能性一樣大；（3）3,6朝上的面

4

最多，因而可能性最大.

【解析】（1）標(biāo)有“6”，的面有3個(gè)，因而擲出“6”朝上的可能性有5；

（2）3與6,4與2,1與5朝上的可能性一樣大；

（3）3,6朝上的面最多，因而可能性最大.

6.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）判斷下列事件的可能性是否相同，并簡(jiǎn)要說明理由：

（1）袋中裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，除顏色外都相同，從中任取1個(gè)球，取到紅球與白球的可能性；

（2）彼中放有5個(gè)紅色的正方形木塊和5個(gè)白色的三角形木塊，若取木塊的人事先知道哪種顏色是何種形狀，

問取到紅色木塊與取到白色木塊的可能性；

⑶袋中放有5個(gè)紅色正方形木塊和5個(gè)白色三角形木塊，若取木塊的人事先不知道哪種形狀是何種顏色，

間取到紅色木塊與取到白色木塊的可能性.

【答案】（1）取到紅球與白球的可能性相同；（2）取到紅色木塊與取到白色木塊的可能性不相同,；（3）取到紅

色木塊與取到白色木塊的可能性相同.

【解析】（1）取到紅球與白球的可能性相同，因?yàn)榧t球與白球的個(gè)數(shù)相同；

（2）取到紅色木塊與取到白色木塊的可能性不相同，因?yàn)榧t色木塊和白色木塊的形狀不同，人可以有意識(shí)地

去??；

（3）取到紅色木塊與取到白色木塊的可能性相同，因?yàn)槿∧緣K的人事先不知道哪種形狀是何種顏色.

7.（2019?江蘇南通第--初中初三期中）現(xiàn)有4個(gè)久球，請(qǐng)你設(shè)計(jì)摸球方案：

（1）使摸球事件是個(gè)不可能事件；

（2）使摸球事件是個(gè)必然事件.

【答案】見解析

【解析】（1）從4球中摸出一個(gè)為綠球，是個(gè)不可能事件，

（2）從4球中摸出一個(gè)為紅球，是個(gè)必然事件.

8.（2019?全國(guó)初三）擲一枚六面標(biāo)有1?6的均勻的正方體骰子，王面是大于4的可能性與小于4的可能性哪

個(gè)大？為什么？

【答案】小于4的可能性較大.

【解析】解：擲一枚均勻的骰子，正面的讀數(shù)可能為1、2、3、4、5、6,大于4的有兩種5、6,小于4的

有3種1、2、3.

???小于4的可能性較大.

9.（2018?全國(guó)初三課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)不透明的口袋中，裝著10個(gè)大小和外形完全相同的小球，其中有5個(gè)紅

球，3個(gè)藍(lán)球，2個(gè)黑球，把它們攪勻以后，請(qǐng)問：下列哪些事件是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是

不確定事件.

（1）從口袋中任意取出一個(gè)球，它剛好是黑球.

（2）從口袋中一次取出3個(gè)球，它們恰好全是藍(lán)球.

⑶從口袋中一次取出9個(gè)球，恰好紅，藍(lán)，黑三種顏色全齊.

（4）從口袋中一次取出6個(gè)球，它們恰好是1個(gè)紅球，2個(gè)藍(lán)球，3個(gè)黑球.

【答案】（1）不確定事件；（2）不確定事件；（3）必然事件；（4）不可能事件

【解析】（1）從口袋中任意取出一個(gè)球，它剛好是黑球，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是不確定事件，

（2）從口袋中一次取出3個(gè)球，它們恰好全是藍(lán)球，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是不確定事件，

（3）從口袋中一次取出9個(gè)球，恰好紅，藍(lán)，黑三種顏色都有，一定會(huì)發(fā)生，是必然事件，

（4）從口袋中一次取出6個(gè)球，它們恰好是1個(gè)紅球，2個(gè)藍(lán)球，3個(gè)黑球，總共才有2個(gè)黑球，一定不會(huì)發(fā)

生，是不可能事件.

10.（2018?全國(guó)初三課時(shí)練習(xí)）一張寫有密碼的紙片被隨意地埋在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)，圖中的四個(gè)正方形

大小一樣則紙片埋在幾號(hào)區(qū)域的可能性最大?為什么？

XXXXXXXX

XXXX,XXXX3

1XXXX-'XXXX

XXXXXXXX

【答案】2,理由見解析.

【解析】紙片埋在2號(hào)區(qū)域的可能性最大.因?yàn)?號(hào)區(qū)域的面積是整個(gè)區(qū)域面積的;.而1號(hào)、3號(hào)區(qū)域的面

積都是整個(gè)區(qū)域面積的當(dāng)隨意投入紙片時(shí)，落在2號(hào)區(qū)域可能性要大.

4

考點(diǎn)3：簡(jiǎn)單概率計(jì)算

典例：(202()?遼寧丹東初一期末)現(xiàn)有除數(shù)字外完全相同的10張卡片，上面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6,7,

8,9,10.小明和小亮兩人合作完成一個(gè)游戲，規(guī)則是小明先隨意抽取1張卡片，然后由小亮猜這張卡片

上標(biāo)的數(shù)，如果小亮猜對(duì)了，則小亮獲勝，如果猜錯(cuò)了，則小明獲勝.

(1)這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？

(2)下面這幾個(gè)游戲規(guī)則，你認(rèn)為對(duì)雙方公平的是哪幾個(gè)？(只寫出序號(hào)即可)

①猜奇數(shù)還是偶數(shù)；②猜不是3的倍數(shù)：③猜是3的倍數(shù)；④猜大于5的數(shù)；⑤猜不大于5的數(shù).

(3)如果你是小亮，為了獲勝，你想選擇上面(2)中的哪一個(gè)猜法？并說明理由.

【答案】⑴不公平；(2)①④⑤：(3)選擇②，理由見解析.

19

【蟀析】(1)不公平，小亮獲勝的概率為正，小明獲勝的概率為正，小明獲勝的概率大于小亮的，所以不

公平；

(2)①公平，猜奇數(shù)或偶數(shù)的概率都是《，所以公平；

37

②不公平，是3的倍數(shù)的概率為布，不是3的倍數(shù)的概率為正，兩者不相等，所以不公平；

37

③不公平，猜中的概率為布，猜不中的概率為正，兩者不相等，所以不公平；

④公平，猜中的概率和猜不中的概率都是:，所以公平；

⑤公平，猜中的概率和猜不中的概率都是:，所以公平；

???對(duì)雙方公平的是①④⑤；

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

此題考查事件發(fā)生的可能性的大小，判斷游戲是否公平，正確理解事件的意義，計(jì)算事件發(fā)生的概率進(jìn)行

比較是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.(2020.北京懷柔初三零模)我區(qū)在2020年1月至4月組織了“懷柔區(qū)公益廣告作品征集”活動(dòng)，某校九⑴

班班委會(huì)收到全班同學(xué)上傳作品六十余份，評(píng)出?等獎(jiǎng)6份準(zhǔn)備參加校級(jí)評(píng)比，其中社會(huì)主義核心價(jià)值觀

類2份、中國(guó)夢(mèng)類1份、志愿服務(wù)類2份、優(yōu)秀傳統(tǒng)文化類1份.學(xué)校分配給九(1)班參評(píng)作品指標(biāo)為1份，

班委會(huì)將一等獎(jiǎng)6份作品打亂順序編號(hào)為1,2......6號(hào)，從1,2……6號(hào)作品中抽取一份參賽恰好是社會(huì)

主義核心價(jià)值觀類作品的概率是()

【答案】c

故選：C.

2.（2020?海南海口初三二模）箱子內(nèi)裝有53個(gè)白球和2個(gè)紅球，小穎打算從箱子內(nèi)抽球，以每次抽出一球后

將球放回的方式抽53次.若箱子內(nèi)每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)相等，且前52次中抽到白球51次及紅球I次，則

第53次抽球時(shí)，小穎抽到紅球的概率是（）

【答案】D

【解析】???一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小、形狀相同的53+2=55個(gè)球，其中紅球2個(gè)，白球53個(gè)，

故選D.

【答案】|

故答案為：

4.（2020?遼寧盤錦初三學(xué)業(yè)考試）小亮準(zhǔn)備了紅心2,紅心3,紅心4,黑桃2,黑桃3撲克牌各一張，將它

們洗勻后，正面朝下放在桌子上，弟弟從中隨機(jī)抽出一張，則他抽到紅心牌的概率是.

3

【答案】-

【解析】解：由題意可知紅心2,紅心3,紅心4,黑桃2,黑桃3撲克牌各一張共有5張，

而紅心牌有紅心2,紅心3,紅心4共計(jì)3張，

3

故答案為：—.

5.（2020?黑龍江道里初三其他）在一個(gè)不透明的盒子中裝有七張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6、7,

這些卡片除數(shù)字不同外其余均相同.小明從盒子中隨機(jī)抽取一光卡片，則抽取的卡片上數(shù)字為3的倍數(shù)的

概率是__________.

【答案】W2

【解析】解：???七張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6、7,抽取的卡片上數(shù)字為3的倍數(shù)的卡片為3、

6共2個(gè)，

2

廠.抽取的卡片上數(shù)字為3的倍數(shù)的概率是:，

2

故答案為：

6.（2020?廣東初三其他）不透明的袋子中裝有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，它們除顏色外都相同，從中隨機(jī)抽取1

個(gè)小球，它是黑色的概率為.

2

【答案】y

【解析】解：???袋子中裝有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，

故答案為：一.

3

考點(diǎn)4：幾何圖形與概率

典例：（2020.福建寧德初?期末）為了緩解疫情對(duì)消費(fèi)的沖擊，某商場(chǎng)設(shè)置兩種方案給顧客發(fā)放代金券，每

位顧客均有一次獲得代金券的機(jī)會(huì).方案一：在一個(gè)裝有5個(gè)紅球、7個(gè)黃球、8個(gè)藍(lán)球的不透明箱子中，

每個(gè)球除顏色外都相同.從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球獲得代金券；方案二：在如圖所示的長(zhǎng)方形轉(zhuǎn)盤

ABCD中，AC,BD交于點(diǎn)O,OA=OB=OC=OD,i^AOB是等邊三角形，任意轉(zhuǎn)動(dòng)指針1次，當(dāng)指

針停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向區(qū)域①獲得代金券.

（1）小明選擇方案一，求他獲得代金券的概率：

（2），爾認(rèn)為選擇哪種方案更合算，并說明理由.

【答案】（I）,；（2）方案二，理由見解析.

4

【解析】解：（1）若小明選擇方案一，

（2）若選擇方案二，

在矩形ABCD中，O為對(duì)角線交點(diǎn)，aAOB是等邊三角形，

則ZAOB=ZCOD=60°,ZBOC=ZAOD=120°,

則指針指向區(qū)域①的概率為,

故方案二更合算.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查r概率的求法，以及矩形和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用圖形的性質(zhì)得到相應(yīng)角的度數(shù).

鞏固練習(xí)

1.（2020?廣西初三一模）漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解（周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如

圖所示的弦圖中，四個(gè)直角三角形都是全等的，它們的兩直角邊分別是2和3.現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚飛

鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)（非陰影區(qū)域）的概率為（）

1211

A.1B.—C.D.

13V213

【答案】D

【解析】解：???兩直角邊分別是2和3,

???斜邊即大正方形的邊長(zhǎng)為小正方形邊長(zhǎng)為1,

***S大正方形=13,S小正方形=1,

???飛鏢落在小正方形內(nèi)（非陰影區(qū)域）的概率為二；

故選D.

2.（2020?江蘇昆山初三二模）如圖所示3x3的正方形網(wǎng)格，若向該網(wǎng)格中進(jìn)行隨機(jī)投擲飛鏢試驗(yàn)，則飛鏢扎

在陰影區(qū)域（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）的概率為（）

【答案】A

【解析】???大正方形的面積=3x3=9,

5

???陰影部分的面積占總面積的§,

5

???飛鏢落在陰影I乂域（頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）的概率為6.

故選：A.

3.（2020?深圳市龍崗區(qū)龍崗街道新梓學(xué)校初一?期中）假如小貓?jiān)诿髨D所示的地板上自由地走來走去，并隨意

停留在某塊方磚上，它最終停留在黑色方磚上的概率是（）

【答案】B

【解析】觀察這個(gè)圖可知：黑色區(qū)域（4塊）的面積占總面積（16塊）的!，故其概率為!.

44

故選B.

4.（2020?內(nèi)蒙古扎魯特旗初三月考）下列圖形：任取一個(gè)是中心對(duì)稱圖形的概率是（）

【答案】C

【解析】本題考查概率的計(jì)算和中心對(duì)稱圖形的概念，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念可以判定①③④是中心對(duì)稱

3

圖形,4個(gè)圖形任取一個(gè)是中心對(duì)稱的圖形的概率為尸二二，因此本題正確選項(xiàng)是C.

4

5.（2020?盤錦市雙臺(tái)子區(qū)第一中學(xué)初三月考）一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤上有紅、黃、藍(lán)三種顏色，其中紅、黃、藍(lán)所在

區(qū)域的扇形圓心角度數(shù)分別為60，，90。，210°.則指針落在黃色區(qū)域的概率是.

【答案】二

4

【解析】解：:黃扇形區(qū)域的圓心角為90。

即指針停在黃區(qū)域的概率是

4

故答案為：—.

4

6.（2020.河北初三二樓）如圖，一飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成，向游戲板隨機(jī)投擲一枚飛鏢，

擊中黑色區(qū)域的概率是____.

【答案】-

【解析】解：黑色區(qū)域的面積=3x3?1x3x1-1x2x2--x3xl=4,

222

41

?「擊中黑色區(qū)域的概率=————.

205

故答案是：一.

5

7.（2020?遼寧沈河初一期末）如圖，一個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成6等分，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，停止后，指針落在陰影區(qū)

域的概率是.

【解析】解：由圖可知自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，停止后，指針落在陰影區(qū)域的概率是竟=：,

故答案為：

8.（2020?北京海淀北理工附中初三其他）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形中有?封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在

2

正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為一，則陰影區(qū)域的面積為_______.

3

Q

【答案】-

【解析】解：正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率,

又?：S正方%=4,

8

S用影=3,

Q

故答案為：-.

3

9.（2020?江蘇秦淮初二期末）轉(zhuǎn)動(dòng)如圖的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤中各個(gè)扇形的面積都相等），當(dāng)它停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向

【解析】解：根據(jù)轉(zhuǎn)盤可知，圓面被等分成8份，“1”占了3份,

3

???指針指向的概率為：5；

O

“2”占了2份，

“3”占了3份，

3

???指針指向“3”的概率為：

O

???指針指向“2”的可能性最小,

故答案為：2.

如圖，以AB為斜邊時(shí)，易得AABC,AABD為直角三角形,

以AB為直角邊時(shí)，

???△ABE為直角三角形，

同理可得AABF與△ABG為直角三角形，

???在網(wǎng)格上任取一點(diǎn)C能構(gòu)成4ABC的點(diǎn)有23個(gè)，

???能使AABC為直角三角形的概率是三.

23

考點(diǎn)5：用樹狀圖或者表格求概率

典例：(2020?陜西初三三模汝1圖1,是一個(gè)材質(zhì)均勻可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤的四個(gè)扇形面積相等，分別有

數(shù)字1,2,3,4.如圖2,正方形ABCD頂點(diǎn)處各有一個(gè)圈.跳弱游戲的規(guī)則為：游戲者每轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，

當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，指針?biāo)渖刃沃械臄?shù)字是幾(當(dāng)指針落在四個(gè)扇形的交線上時(shí)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤)，就沿正

方形的邊順時(shí)針方向連續(xù)跳幾個(gè)邊長(zhǎng).

如：若從圖A起跳，第一次指針?biāo)渖刃沃械臄?shù)字是3,就順時(shí)針連線跳3個(gè)邊長(zhǎng)，落到圈D；若第二次

指針?biāo)渖刃沃械臄?shù)字是2,就從D開始順時(shí)針續(xù)跳2個(gè)邊長(zhǎng)，落到圈B；……設(shè)游戲者從圈A起跳.

(1)嘉嘉隨機(jī)轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，求落回到圈A的概率Pi；

(2)琪琪隨機(jī)轉(zhuǎn)兩次轉(zhuǎn)盤，用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣

嗎？

圖1圖2

【答案】(1)落回到圈A的概率(2)她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣.

4

【蟀析】(1)、?共有4種等可能的結(jié)果，落問到圈A的只有1種倩況，

，落回到圈A的概率P尸二;

(2)列表得:

1234

1(1，1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1，2)⑵2)(3,2)(4,2)

3(1，3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

???共有16種等可能的結(jié)果，最后落回到圈A的有(1,3),(2,2)(3,1),(4,4),

41

???最后落回到圈A的概率P2=—=-,

164

???她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

此題考查r列表法或樹狀圖法求概率.注意隨機(jī)擲兩次骰子，最后落回到圈人，需要兩次和是4的倍數(shù).

鞏固練習(xí)

1.(2020?河南淮陽(yáng)初三期末)小李與小陳做猜拳游戲，規(guī)定每人每次至少要出一個(gè)手指，兩人出拳的手指數(shù)

之和為偶數(shù)時(shí)小李獲勝，那么，小李獲勝的概率為()

d

【答案】A

【解析】解:畫樹狀圖如圖：

共有25個(gè)等可能的結(jié)果，兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有13個(gè)，

13

???小李獲勝的概率為一；

25

故選A.

*1小2*3*4小5

2.(2020.廣西南寧三美學(xué)校初三學(xué)業(yè)考試)有三個(gè)質(zhì)地、大小一樣的紙條上面分別寫著三個(gè)數(shù)，其中兩個(gè)正

數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，任意抽取一張，記下數(shù)的符號(hào)后，放回?fù)u勻，再重復(fù)同樣的操作一次，試問詼次抽到的數(shù)

字之積是正數(shù)的概率為()

A.-B.-C.-D.-

3993

【答案】C

【蟀析】解：兩個(gè)正數(shù)分別用a,b表示，一個(gè)負(fù)數(shù)用c表示，畫樹狀圖如下：

共有9種等情況數(shù)，其中兩次抽到的數(shù)字之積是正數(shù)的有5種，

則兩次抽到的數(shù)字之枳是正數(shù)的概率是3；

故選：C.

3.（2020?北京海淀區(qū)101中學(xué)溫泉校區(qū)初三三模）完全相同的3個(gè)小球上面分別標(biāo)有數(shù)一2、一1、1,將其放

入一個(gè)不透明的盒子中后搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸球兩次（第一次摸出球后放回?fù)u勻），兩次摸到的球上數(shù)之和是

負(fù)數(shù)的概率是.

2

【答案】-

3

【解析】解：畫樹狀圖如下：

-2-11

AAA

-2-11-2-11-2-11

由樹狀圖可知共有9種等可能結(jié)果,其中兩次摸到的球卜數(shù)之和是負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果.

故答案為：

3

4.（2020?安定區(qū)中華路中學(xué)初三三模）某電視臺(tái)的一檔娛樂性節(jié)目中，在游戲PK環(huán)節(jié)，為了隨機(jī)分選游戲

雙方的組員，主持人設(shè)計(jì)了以下游戲：用不透明的白布包住三根顏色長(zhǎng)短相同的細(xì)繩AAi、BBHCCM只

露出它們的頭和尾（如圖所示），由甲、乙兩位嘉賓分別從白布兩端各選一根細(xì)繩，并拉出，若兩人選中同一

根細(xì)繩，則兩人同隊(duì)，否則互為反方隊(duì)員.

（1）若甲嘉賓從中任意選擇一根細(xì)繩拉出，求他恰好抽出細(xì)繩AAi的概率，

（2）請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法，求甲、乙兩位嘉賓能分為同隊(duì)的概率.

【答案】（1）；；（2）；.

【解析】解：（IF?共有三根細(xì)繩，且抽出每根細(xì)繩的可能性相同，

???甲嘉賓從中任意選擇一根細(xì)繩拉出，恰好抽出細(xì)繩的概率是=g；

（2）畫樹狀圖：

ABC

/N/N/K

AABiA、G

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲、乙兩位嘉賓能分為同隊(duì)的結(jié)果數(shù)為3種情況，

5.（2020?山東膠州初三一模）小明和小亮進(jìn)行摸牌游戲，如圖，他們有四張除牌面數(shù)字不同外、其他地方完

全相同的紙牌，牌面數(shù)字分別為4,5,6,7,他們把紙牌背面朝上，充分洗勻后，從這四張紙牌中摸出一

張，記下數(shù)字放回后，再次重新洗勻，然后再摸出一張，再次記下數(shù)字，將兩次數(shù)字之和做為對(duì)比結(jié)果.若

兩次數(shù)字之和大于11,則小明勝；若兩次數(shù)字之和小于11,則小亮勝.

⑴請(qǐng)你用列表法或樹狀圖列出這個(gè)摸牌游戲中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.

(2)這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說明理由.

4567

【答案】(1)列表見解析；(2)游戲公平,理由見解析

【解析】解：⑴

小亮

4567

小明和

4891011

59101112

610111213

711121314

(2)這個(gè)游戲是公平的.

總共有16種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，

兩次數(shù)字之和大于II的結(jié)果有6種，

兩次數(shù)字之和小于11的結(jié)果有6種，

所以，這個(gè)游戲是公平的.

6.(2020?西安高新一中洋東中學(xué)初三三模)象棋是棋類益智游戲，中國(guó)象棋在中國(guó)有著三千多年的歷史，由

于用具簡(jiǎn)單，趣味性強(qiáng)，成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).李凱和張萌利用象棋棋盤和棋子做游戲.李凱將

四枚棋子反面朝上放在棋盤上，其中有兩個(gè)“兵”、一個(gè)“馬”、一個(gè)“士”，張萌隨機(jī)從這四枚棋子中摸一枚棋

子，記下正漢字，然后再?gòu)氖Ｏ碌娜镀遄又须S機(jī)摸一枚.

⑴求張萌笫一次摸到的根子正面上的漢字是“兵,?的概率；

(2)游戲規(guī)定：若張萌兩次摸到的棋子中有“士”，則張萌勝；否則，李凱勝.請(qǐng)你用樹狀圖或列表法求李凱

勝的概率.

【答案】（I）:；（2）：

22

【解析】（1）張萌第一次摸到的棋子正面上的漢字是“兵''的概率為2=1；

42

（2）畫樹狀圖如下：

兵兵馬士

八小/1\/N

兵馬士兵馬士兵兵士兵兵馬

由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中不含“士”的結(jié)果有6種，

???李凱勝的概率為?=!.

122

7.（2020?湖北薪春初三期中）若〃是一個(gè)兩位正整數(shù)，且〃的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱〃為“兩位遞增數(shù)”（如

13,35,56等）.在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從由數(shù)字1,2,3,4,5,6構(gòu)成的所有的“兩位遞

增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),且只能抽取一次.

（1）請(qǐng)用列表法或樹狀圖寫出所有的等可能性結(jié)果，寫出所有個(gè)位數(shù)字是6的“兩位遞增數(shù)”；

（2）求抽取的“兩位遞增數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之積能被5整除的概率.

【答案】（1）所有個(gè)位數(shù)字是6的“兩位遞增數(shù)”是16,26,36,46這4個(gè)；（2）個(gè)位數(shù)字與十位字之積能被5

整除的概率是:

【解析】（1）根據(jù)題意畫樹狀為：

十位數(shù)

6

所有個(gè)位數(shù)字是6的“兩位遞增數(shù)”是16,26,36,46這4個(gè)；

8.（2020?江西金溪一中初三一模）小惠家大門進(jìn)門處有一個(gè)三位單極開關(guān)，如圖，每個(gè)開關(guān)分別控制著A（樓

梯），B（客廳），C（走廊）三盞電燈，其中走廊的燈已壞（對(duì)應(yīng)的開關(guān)閉合也沒有呢）.

（1）若小惠任意閉合一個(gè)開關(guān)，“客廳燈亮了”是事件：若小惠閉合所有三個(gè)開關(guān)，“樓梯，客廳，走

廊燈全亮了”是事件(填“不可能”或“必然”或“隨機(jī)”)；

(2)若任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，試用畫樹狀圖或列表的方法求“客廳和樓梯燈都亮了”的概率.

【答案】⑴隨機(jī)；不可能；(2)1.

【解析】解：(1)若小惠任意閉合一個(gè)開關(guān)，“客廳燈亮了”是隨機(jī)事件；

???走廊的燈已壞，

???若小惠閉合所有三個(gè)開關(guān)，“樓梯，客廳，走廊燈全亮了”是不可能事件；

故答案為：隨機(jī)：不可能：

(2)設(shè)客廳燈亮了為事件A,樓梯燈亮了為事件B,走廊燈亮了為事件C；則

樹狀圖如下：

AAA

BCACAB

???共有6種結(jié)果，其中“客廳燈和樓梯燈亮了”的有2種，

考點(diǎn)6：已知概率求個(gè)數(shù)

典例：(2020?江蘇省泰興市濟(jì)川中學(xué)初二期中)一個(gè)不透明的袋子中裝有1個(gè)白球、3個(gè)紅球和6個(gè)黃球，這

些球除顏色外都相同，將球搖勻.

(1)從中任意摸出1個(gè)球，摸到球的可能性大.

(2)若現(xiàn)拿紅球和黃球共7個(gè)球放入袋中，你認(rèn)為怎樣放才能讓摸到紅球和黃球的可能性相同？(宜接回答，

無需解題過程)

(3)若從中摸出5個(gè)球，其中有x個(gè)黃球，當(dāng)工=時(shí)，“摸到白球”是必然事件？

【答案】⑴黃；(2)5個(gè)紅球，2個(gè)黃球;(3)1.

【解析】解：(1)???摸出白球的概率為

3

摸出紅球的概率為正，

???摸出黃球的可能性大,

故答案為：黃；

（2），??摸到紅球和黃球的可能性相同，

???紅球和黃球個(gè)數(shù)要相同，即各8個(gè)，

???放入5個(gè)紅球，2個(gè)黃球；

（3）艱據(jù)題意可知，當(dāng)摸到所有的白色球和紅色球時(shí)，“摸到白球”是必然事件，

Ax=5—1—3=1,

故答案為：1.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題主要考杳?元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于利用圖形得出平行于墻的一邊長(zhǎng)為（322X+2）米.

鞏固練習(xí)

1.[2020.廣東龍崗仙田外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初一期中）在一個(gè)不透明的布裝中裝有60個(gè)白球和若干個(gè)黑球，除顏色外

其他都相同，小紅每次摸出一個(gè)球并放回，通過多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則布袋

中黑球的個(gè)數(shù)可能有（）

A.24B.36C.40D.90

【答案】D

經(jīng)檢驗(yàn)，下90是分式方程的解，

則布袋中黑球的個(gè)數(shù)可能有90個(gè).故選D.

2.（2020?遼寧遼陽(yáng)初三其他）在一個(gè)不透明的布袋中裝有若干個(gè)只有顏色不同的小球，如果袋中有紅球5個(gè)，

黃球4個(gè)，其余為白球，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，“摸出黃球”的概率為g,則袋子中白球的個(gè)數(shù)為（）

A.12B.5C.4D.3

【答案】D

【解析】解：設(shè)袋子中球的總數(shù)為x個(gè)，

41

根據(jù)題意可得一二7，

x3

解得x=12,

???白球的個(gè)數(shù)為：1254=3（個(gè)），

故選：D.

3.（2020?河南淮陽(yáng)初三期末）在一個(gè)不透明的袋子中只裝有〃個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外其他均相

同.如果從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率是g,那么〃的值為

【答案】4.

解得〃=4,

經(jīng)檢驗(yàn)：〃=4是分式方程的解，

故答案為：4.

4.（2020?廣西初三二模）在一個(gè)小透明的袋中有2個(gè)紅球，若干個(gè)白球，它們除顏色外其它都相同，若隨機(jī)

從袋中摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率是:，則袋中有白球_________個(gè).

4

【答案】6

【解析】解：設(shè)袋中有x個(gè)球.

解得x=8（個(gè)），

82=6個(gè)，

???袋中有8個(gè)白球.

故答案為：6.

5.（2020?遼寧鐵東初三三模）在一個(gè)不透明的盒子中裝有紅、白兩種除顏色外完全相同的球，其中有3個(gè)紅

球，每次將球充分?jǐn)噭蚝螅我饷鯥個(gè)球記下顏色再放回盒子.通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的

頻率穩(wěn)定在0.25左右，則白球的個(gè)數(shù)約為個(gè).

【答案】9

解得：a=9,

經(jīng)檢驗(yàn)：a=9是分式方程的解，

故答案為：9.

6.（2020.廣西田林初三一模）一個(gè):□袋中放有除顏色外，形狀大小都相同的黑白兩種球，黑球6個(gè)，白球10

個(gè).現(xiàn)在往袋中放入，〃個(gè)白球和4個(gè)黑球，使得摸到白球的概丞為3,則〃?=_.

5

【答案】5

【蟀析】解：由題意得，

解得m=5,

經(jīng)檢驗(yàn)m=5是原分式方程的根，

故答案為5.

7.（2020.內(nèi)蒙古回民初三二模）在一個(gè)不透明的口袋中，裝有若干個(gè)除顏色不同其余都相同的球，如果口袋

中裝有4個(gè)紅球，且摸到紅球的概率為』，那么口袋中其余球的個(gè)數(shù)為____個(gè).

3

【答案】8

【伸析】解：設(shè)口袋中其余球的個(gè)數(shù)為％個(gè)，

解得：x=8,

經(jīng)檢驗(yàn)x=8是方程的解，

則口袋中其余球的個(gè)數(shù)為8個(gè)；

故答案為：8.

8.（2020?昆明市官渡區(qū)第一中學(xué)初三月考）在一個(gè)不透明的口袋中，裝有若干個(gè)除顏色不同外，其余都相同

的小球.如果口袋中裝有3個(gè)紅球且從中隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率為1,那么口袋中小球共有

個(gè).

【答案】15

9.（2020?黑河市第二中學(xué)初二期末）在一個(gè)不透明的口袋中，裝有一些除顏色外完全相同的紅、白、黑三種

顏色的小球.已知袋中有紅球5個(gè)，白球25個(gè)，且從袋中隨機(jī)謨出一個(gè)紅球的概率是見袋中黑球的

個(gè)數(shù)為.

【答案】20.

【解析】解：設(shè)袋中黑球的個(gè)數(shù)為