第01講橢園

旦考綱考情

本講為高考命題熱點(diǎn)，分值22-27分，題型多變，選擇題，填空題，解答題都會(huì)出現(xiàn)，

選擇填空題?？紙A錐曲線(xiàn)幃圓雙曲線(xiàn)的離心率，幾何關(guān)系等問(wèn)題，大題題型多變，但多以最

侑，鎮(zhèn)信，范圍，存在性問(wèn)題，考察涉輯推理能力與運(yùn)算求解能力.

隹)題型剖析

高頻考點(diǎn)一橢圓的定義及其應(yīng)用

:

【例1】(1)已知兩圓G：。-4)2+產(chǎn)=169,C2：(x+4)+r=9,動(dòng)圓M在圓G內(nèi)部且和

圓C’i相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()

廠y*V*x*

A-=1

-6448B-64+48=1

".JDjj

C,48641口64十481

丁-A-A

(2)已知人，尸2是橢圓。：宗+方=l(4Q0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓c」二的一點(diǎn)，且PQ_LP尸2.

若△P&F2的面積為9,則b=.

［答案］(1)D(2)3

［解析］(1)設(shè)圓M的半徑為「，

則|MG|+|MC2|=(13—r)+(3+r)=16>8=|GC2|,

所以M的就跡是以G,。2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=16,2c=8,

92

故所求的軌跡方程為言?+為=1.

644o

門(mén)+廠2=2〃，

(2)設(shè)|尸川=〃，|P七|=「2,則，「“，

rf+^=4",

???2力/2=(門(mén)+A)2—(?+*)=4/-4/=4〃，

?一△P尸1尸2=小解=從=9,:?b=3.

【方法技巧】

橢圓定義的應(yīng)用技巧

橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二

是當(dāng)夕在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)&組成的三角形通常稱(chēng)為“焦點(diǎn)三角形”，利用

定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求IPRHPBI，通過(guò)整體代入可求其面積等.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.設(shè)尸I，22為橢圓'+'=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在y軸上,

則隔的值為（）

B.1

【答案】D

【解析】如圖，設(shè)線(xiàn)段夕產(chǎn)1的中點(diǎn)為M,因?yàn)?。是為人的中點(diǎn)，所以0M1

〃小，可得PF2±X軸，/&|=?=|,|PRI=加一|眸|=?除（=卷

故選D.

2.已知尸是橢圓5.1+9）2=45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn),A（l,l）是一定點(diǎn).則|網(wǎng)+

伊內(nèi)的最大值為,最小值為.

【答案】6+也6-6

72

【解析】橢圓方程化為5+5=1,

設(shè)Fi是橢圓的右焦點(diǎn),則Fi（2,0）,

A|AFi|=A/2，二照I+\PF]=|例一|PQ|+6,

又一IAFIIWI必l-IPRIWIARI（當(dāng)P,A,R共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立）,

???6-也W|刑+IPF1W6+6.

3.（一越多解）（2019?全國(guó)卷IH）設(shè)a,B為橢圓C：經(jīng)+蘇=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)

且在第一象限.若述2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.

【答案】（3,，石）

【解析】法一：不妨設(shè)K,&分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，由M點(diǎn)在第一象限，

?2

足等腰三角形，知|八必=八"2|,又由橢圓方程芯I4=1,知由心|=8,|八MI2M=2X6

=12,所以|BM=|FEI=8,|F2M=4.設(shè)M(xo,>'o)(xo>0,y0X)),

[(AO+4)24-^=64,

則，

2

l(x0—4)+}^=16,

解得xo=3,yo=V15,即M(3,<15).

法二：依題意得國(guó)產(chǎn)2l=|尸M=8,|BM|=4,

82+82-427則sinNA/QF2=卑,

cosNMQB=2X8X8直O(jiān)

設(shè)M(xo,jo)(xo>O,jo>O),

???yo=|MB|sinNMF|F2=8X^=VB.

2ic

又???累+東=1,，xo=3,點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,灰).

高頻考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)

【例2】（1）已知尸I，F(xiàn)2是橢圓C=13*0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P

在過(guò)A且斜率為坐的直線(xiàn)上,APFIF2為等腰三角形，NQF2P=120。,則C的離心率為（）

AtB-2

C,3D,4

72

（2）（2020?福州模擬）過(guò)橢圓C：￡+5=1（4力＞0）的右焦點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，交C于A,8兩

點(diǎn)，直線(xiàn)/過(guò)C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn).若以A8為直徑的圓與/存在公共點(diǎn)，則C的離心率的

取值范圍是.

［答案］（l）D（2）（0,坐

［解析］⑴如圖，作PA_Lx軸干點(diǎn)E由題意可設(shè)|FEI=|PEI=2u由NRF2P=12。。，可得仍用

=y［3ct\BF2\=C,故|48|=a+c+c=〃+2c,（an/系;（,=*,解得〃=4c,所

以

a4

⑵由題設(shè)知，直線(xiàn)/：±+;=1,即區(qū)一cy+bc=0,以A4為直徑的圓的圓心為（c,0］，根

據(jù)題意，將x=c?代入桶醫(yī)C的方程，得y=±*即圓的半徑r=?又圓與直線(xiàn)/有公共點(diǎn),

所以j普矛,化簡(jiǎn)得2cWb,平方整理得/25已所以。=六殺

又OVeVl,所以0

v菩

【方法技巧】

［解題技法］

求橢圓離心率的三種方法

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?江西吉安一模)如圖，用與底面成45。角的平面截圓柱得一截口曲線(xiàn),

印橢圓，則該橢圓的離心率為()

A坐B(niǎo)坐

C乎D.|

解析：選A設(shè)圓柱的底面圓的直徑為R,則橢圓的翅軸長(zhǎng)為R.

???截面與底面成45。角，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為班R,

???楠圓的焦距為

R

2.已知橢圓Y+E=l(0V〃V2)的左、右焦點(diǎn)分別為Q,B，過(guò)Q的直線(xiàn)/交橢圓于A,B

兩點(diǎn)，若IBBI+IA&I的最大值為5,則力的值是.

答案：小

解析：由橢圓的方程可知〃=2,由橫圓的定義可知，|422|+|8尸2|+|43|=4〃=8,所以|A8|

=8一(HF2l+|BBI)23.由桶圓的性質(zhì)可知過(guò)楠圓焦點(diǎn)的弦中，通徑最短，則二：=3,所以〃

=3,即b=5.

高頻考點(diǎn)三直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

【例3】1.若直線(xiàn)丁="+1與橢圓曰+5=1總有公共點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是()

A.(1,+°°)B.(0,+°0)

C.(0,l)U(l,5)D.[1,5)U(5,+8)

解析：選D由于直線(xiàn)y=Ax+1恒過(guò)點(diǎn)(01)，

所以點(diǎn)(0,1)必在橢圓內(nèi)或桶圓上，

則OV、W1月

故m21且機(jī)W5.

22

2.己知直線(xiàn)/：y=2r+〃?，橢圓C：，+，=1.試問(wèn)當(dāng)〃?取何值時(shí)，直線(xiàn)/與橢圓C：

(I)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；

(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

⑶沒(méi)有公共點(diǎn).

解：將直線(xiàn)/的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組

)，=2x+〃?，(D

。+蕓=1,②

將①代入②，整理得9『+8〃?x+2〃尸-4=0.③

方程③根的判別式1=(8⑼2—4X9X(2/n2-4)=-8〃尸+144.

⑴當(dāng)/乂)，即一36＜〃心也時(shí)，方程③有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的

實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線(xiàn)/與橢圓。有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn).

(2)當(dāng)/=0,即〃?=±35時(shí)，方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)

解.這時(shí)直線(xiàn)/與橢圓。有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線(xiàn)/與楠圓。有且只有一個(gè)公去點(diǎn).

⑶當(dāng)/＜(),即加＜一3陋或加＞3g時(shí)，方程③沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解.這時(shí)

直線(xiàn)/與橢圓。沒(méi)有公共點(diǎn).

【方法技巧】

判斷直線(xiàn)與桶圓位置關(guān)系的方法

(1)判斷直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線(xiàn)方程與橢圓方程組成的方程組

解的個(gè)數(shù).

(2)對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線(xiàn)和橢圓有交點(diǎn).

高頻考點(diǎn)四弦長(zhǎng)問(wèn)題

22

【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系.g中，橢圓也+方=13＞力＞。)的離[

心率*,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦A8與CD.當(dāng)直線(xiàn)48的(

斜率為0時(shí)，\AB\=4.

(1)求橢圓的方程：

48

(2)若|A3|+|CQ|=7，求直線(xiàn)A5的方程.

[解]⑴由題意知e=C=5，2〃=4.

Cl-

又解得。=2,力=小，

所以橢圓方程為'+]=L

⑵①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線(xiàn)的斜率不存在，由題意

知|A8|+|CD|=7,不滿(mǎn)足條件.

②當(dāng)兩弦所在直線(xiàn)的斜率均存在且不為。時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為)，=%(1一1),A(xi,y\),

8(X2,”)，

則直線(xiàn)CD的方程為y=-1(x-l).

將直線(xiàn)AB的方程代入橢圓方程中并整理得(3+4標(biāo)]-8&+4尸-12=0,則即+心=

4^-12

3+4修必片3+4,'

所以|A8|=)尼+1|xi—X2I

=師如小片3塔會(huì).

同理,巾=箸=嘴斗

...12(^+1).12(Ar+l)84(F+1)248々”一

加以|A8|十|CD尸3+4?+3仆+4=(3+4芯)(3芥+4)=亍，解得^=±1,

所以直線(xiàn)AB的方程為x-y—I=0或x+y—1=0.

【方法技巧】

1.弦長(zhǎng)的求解方法

(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.

(2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),斜率為左的直線(xiàn)/與橢圓相交于A。”.),Bg,”)兩個(gè)不同

的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見(jiàn)形式有如下幾種：

①汝8|=?1+婦即一對(duì);

②|A8|=yjI+%.vi—y2l(&W0)；

?\AB\=一(1+五8+M)2-4以3；

④|AB|=弋(1+/)[必+力)2-4yly2].

2.弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用技巧

弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用需要利用曲線(xiàn)方程和直線(xiàn)方程聯(lián)立建立一元二次方程，設(shè)直線(xiàn)方程也很

考究，不同形式的直線(xiàn)方程直接關(guān)系到計(jì)算量的大小.我們的經(jīng)驗(yàn)是：若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在

縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程)=米+8便于運(yùn)算，即“定點(diǎn)落在縱軸上，斜截式幫大忙”；

若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在橫軸匕一般設(shè)為〃?y=x—?？梢詼p小運(yùn)算量，即“直線(xiàn)定點(diǎn)落橫軸，

斜率倒數(shù)作參數(shù)”.

【變式訓(xùn)練】

1.已知橢圓日+丁=1與直線(xiàn))，=]+,〃交于A