專題20橢圓

一、考向解讀

考向：高考中橢圓的考查主要是它的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率等。基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是橢圓的方程與

性質(zhì)，其中對(duì)稱性的考查一般體現(xiàn)在小壓軸中。標(biāo)準(zhǔn)方程的考查主要是解答題笫一問(wèn)，

一般結(jié)合直線或者圓，要重點(diǎn)掌握好！

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)。

導(dǎo)師建議：重視橢圓的定義，在較難選擇填空中往往作為隱含條件！

二、知識(shí)點(diǎn)匯總

1.橢圓的定義

2.橢圓的方程與性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

圖形

4koKA

W

標(biāo)準(zhǔn)方程

定義

范圍

頂點(diǎn)

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=加，短軸長(zhǎng)=?長(zhǎng)軸氏=2〃，短軸長(zhǎng)=?

對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

隹占

八。、八、、

焦距

離心率

【常用結(jié)論】

1.過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長(zhǎng)為

2護(hù)

a

2.焦點(diǎn)三角形面積公式：S=b2tan|

三、題型專項(xiàng)訓(xùn)練

目錄一覽

①橢圓的定義

②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

③橢圓的性質(zhì)

④多選題與填空題

高考題及模擬題精選

題型精練，鞏固基礎(chǔ)

①橢圓的定義

一、單選題

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

故選：A.

【答案】C

【分析】根據(jù)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程求得正確答案.

故選：C

A.|B.立C.1

D.3

22

【答案】C

【分析】利用橢圓的定義進(jìn)行求解.

故選：C.

【答案】B

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

D.11

故選：D.

②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

A.2B.1C.-D.4

4

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的方程，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，列式求解.

故選：D

A.7B.2C.—D.變

224

【答案】A

故選：A.

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件求得。力，由此求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

故選：B

io.若橢圓。的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上；順次連接。的兩個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)短軸頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，

順次連接。的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形的面積為46，則C的方程為（）

【答案】A

故選：A.

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓C的焦點(diǎn)位置可得出關(guān)于k的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)改的取值范圍.

故選：A.

12.河南一國(guó)家級(jí)濕地，以其獨(dú)特的地理環(huán)境和良好的生態(tài)環(huán)境，吸引了全國(guó)近三分之一的鳥(niǎo)種在此繁衍

生息，成了鳥(niǎo)類自然保護(hù)區(qū).天鵝戲水、白鷺覓食，形成了一幅群鳥(niǎo)嬉戲的生態(tài)美景.該保護(hù)區(qū)新建一個(gè)橢球

形狀的觀鳥(niǎo)臺(tái)，橢球的一部分豎直埋于地下，其外觀的三視圖（單位：米）如下，正視圖中郴圓（部分）

的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16米，則該橢球形狀觀鳥(niǎo)臺(tái)的最高處到地面的垂直高度為（）

俯視圖

A.8米B.10米C.12米D.D米

【答案】C

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，

【詳解】如圖，以長(zhǎng)軸中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸為）'軸，垂直長(zhǎng)軸為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

③橢圓的性質(zhì)

A.1B.3C.7D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)確定然后計(jì)算.

故選：B.

【答案】B

【詳解】由題意可得，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2”、短軸長(zhǎng)22、焦距2c成等比數(shù)列，

故選：B

A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4B.短軸長(zhǎng)等于4

【答案】A

故選：A.

A.在橢圓上B.在橢圓內(nèi)C.在橢圓外D.不能確定

【答案】B

【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，根據(jù)不等關(guān)系可判斷出點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系.

【分析】故選：B.

A.872B.472C.272D.4

【答案】B

【分析】直接利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)和離心率的定義即可求解.

故選：B.

18.在天文學(xué)上，航天器繞地球運(yùn)行的橢圓軌道上距離地心最遠(yuǎn)的一點(diǎn)，稱為遠(yuǎn)地點(diǎn)：距離地心最近的一

點(diǎn)，稱為近地點(diǎn).遠(yuǎn)地點(diǎn)與地球表面的最短距離稱為遠(yuǎn)地點(diǎn)高度；近地點(diǎn)與地球表面的最短距離稱為近地

點(diǎn)高度.已知某航天器的運(yùn)行坑道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，地球（視為一個(gè)球體）的半徑為凡若該航

天器的遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為5R,所在橢圓軌道的離心率為4，則該航天器的近地點(diǎn)高度為（）

A.RB.2RC.3RD.4R

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，列方程組求出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和半焦距，再計(jì)算該航天器的近地點(diǎn)高度即可.

【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b,半焦距為c,

故選：C.

19.“木桶效應(yīng)”是一個(gè)有名的心理效應(yīng)，是指木桶盛水量的多少，取決于構(gòu)成木桶的最短木板的長(zhǎng)度，而不

取決于構(gòu)成木桶的長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度，常被用來(lái)寓意一個(gè)短處對(duì)于一個(gè)團(tuán)隊(duì)或者一個(gè)人的影響程度.某同學(xué)認(rèn)

為，如果將該木桶斜放，發(fā)揮長(zhǎng)板的作用，在短板存在的情況下，也能盛較多的水.根據(jù)該同學(xué)的說(shuō)法，

若有一個(gè)如圖①所示圓柱形木桶，其中一塊木板有缺口，缺口最低處與桶口的距離為2,若按圖②的方式盛

水，木桶傾斜到與水平面成60時(shí)，水面剛好與左邊缺口最低處歷和右側(cè)桶口乂齊平，并形成一個(gè)橢圓水

面，且MN為橢圓的長(zhǎng)軸，則該橢圓的離心率為（）

A.立B.立C.-D.立

5322

【答案】C

【分析】由面面平行的性質(zhì)得水平面與水桶上底面所成角，進(jìn)而求得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)，進(jìn)而求得離

心率.

【詳解】圖②中，因?yàn)槟就皟A斜到與水平面成60°,所以水桶的下底面與水平面成30、

又因?yàn)樗暗南碌酌媾c水桶的上底面平行，圖②方式盛水后的水面與地面平行，

所以水桶的上底面與盛水后的水面成30°,

又因?yàn)槿笨谧畹吞幣c桶口距離為2,水桶的母線垂直于水桶的上底面，

故選：C.

【答案】D

故選：D.

④多選題與填空題

一、多選題

21.已知橢圓C的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,短軸長(zhǎng)為4,則橢圓C的

標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）

【答案】AC

【分析】利用橢圓長(zhǎng)軸，短軸的長(zhǎng)結(jié)合焦點(diǎn)位置可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

故選：AC.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a、b、c,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可逐項(xiàng)求解判斷.

故選：ACD.

【答案】BCD

故A錯(cuò)誤，B,C正確；

故選：BCD.

【答案】BC

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.

故選：BC.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)等比數(shù)列列方程，對(duì)九〃的符號(hào)進(jìn)行分類討論，結(jié)合圓錐曲線的知識(shí)求得離心率.

故選：ACD

圖1圖2

【答案】ACD

故選項(xiàng)A正確；

故選項(xiàng)D正確.

故選:ACD

【答案】ABD

【分析】根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和離心率求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.

故選：ABD.

【答案】BCD

故選：BCD.

三、填空題

【答案】10

故答案為：10.

31.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x*日上且焦距是8,離心率等于[的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【答案】￡+[=1

259

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+[=1.故答案為：1十1=1.

259259

【答案】3

故答案為：3.

【答案】1

故答案為：1

【答案】用

3

故答案為：立.

3

【答案】8

故答案為：8

【分析】求出橢圓的焦距，利用給定的面積求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可作答.

【分析】根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)及勾股定理，得出PG、PF?、F照,根據(jù)橢圓的定義以及離心率公式求

解即可.

【答案】|

【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率計(jì)算公式求解即可.

四、高考真題及模擬題精選

一、單選題

【答案】D

故選：D.

A.；B.\C.顯D.在

2332

【答案】C

【詳解】無(wú)論橢圓焦點(diǎn)位于“軸或）'軸，根據(jù)點(diǎn)A,凡C為橢圓D的三個(gè)頂點(diǎn)，

故選：C.

A.@B.-C.\

D.工

3333

【答案】A

故選：A.

A.45°B.30°C.60°D.75°

【答案】A

由于以K為圓心的圓與直線尸耳恰好相切于點(diǎn)P,

故選：A

【答案】B

6.（2022?江西九江?統(tǒng)考三模）泊紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一

傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮開(kāi)展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中，某油紙傘掙開(kāi)后擺放在戶外展覽場(chǎng)比上，如圖所

示，該傘傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2,當(dāng)陽(yáng)光與地面夾角為60時(shí)，在地面形成

了一個(gè)橢圓形影子,且傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，若該橢圓的離心率為%則/=()

【答案】D

故選：D.

【答案】B

\_

A.&B.正D.

223

【答案】A

【詳解】［方法一］:設(shè)而不求

［方法二］:第三定義

二、多選題

【答案】CD

故選：CD.

【答案】ABD

【分析】由題意可得b、c,然后可得a,可判斷A；由橢圓性質(zhì)可判斷B；取特值，結(jié)合OA長(zhǎng)度的取值

范圍可判斷C；由橢圓定義可判斷D.

故選；ABD

【答案】9

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AF的延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立.

【答案】x/6

故答案為：R

五、題型精練，鞏固基礎(chǔ)

一、單選題

【答案】A

【分析】由題意將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式即可得解.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)及離心率確定橢圓方程,考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3579

A.-B.-C.-D.-

2222

【答案】C

故選：C

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

故選：B

A.5B.10C.15D.20

【答案】D

故選：D.

【答案】A

故選：A.

【答案】A

因?yàn)闄E圓。的離心率為立，面積為12萬(wàn)，

4

故選：A.

A.1B.也C.在

D.-

3333

【答案】A

故選：A

A.克B.遮C.3D.正

6336

【答案】B

故選：B.

A.14B.13C.12D.10

【答案】A

故選：A.

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性、橢圓的定義,結(jié)合直角三角形的判定方法、平行四邊形的性質(zhì)、橢圓的離心

率公式進(jìn)行求解即可.

故選：A

A.走B.也C.也D.也

4332

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理、橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.

故選：B

D?除

CT

【答案】C

故選：C

c.V2D.2

【答案】BCD

【分析】討論兩頂點(diǎn)的位置，由橢圓的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解.

故選：BCD

【答案】BCD

故選：BCD

y

]93

A.—B.-C.-D.2

【答案】AC

【分析】結(jié)合橢圓和雙曲線的定義和離心率的求法，即可求得紜果.

故選：AC

【答案】ABC

A.7B.10C.17D.19

【答案】ABC

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，在涉及到橢圓上點(diǎn)到一個(gè)的焦點(diǎn)的距離時(shí)，可利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為到另一

焦點(diǎn)的距離，從而得出相應(yīng)范圍.

A.若傘柄垂直于地面，太陽(yáng)光線與地面所成.角為則傘在地面的影子是圓

B.若傘柄垂直于地面，太陽(yáng)光線與地面所成角為?，則傘在