專題01有理數(shù)（期中復習講義）

明?期中考情.

核心考點復習目標考情規(guī)律

能用正負數(shù)表示相反意義的量（如溫度、基礎必考點，常以生活應用題形式出現(xiàn)（如

正負數(shù)的意義

收支），會解釋實際情境中的正負號含義海拔、溫差），易錯點：忽略”0”的基準意義

能獨立完成有理數(shù)分類樹狀圖（整數(shù)/分數(shù)高頻易錯點，選擇題常設兀為干擾項，易忽

有理數(shù)的分類

一正/負/零），辨析非有理數(shù)（如冗）視”0既非正也非負”的特性

能規(guī)范繪制數(shù)軸并標出給定數(shù)對應的點，常考畫圖題，易錯點：漏標箭頭或原點，混

數(shù)軸三要素

理解單位長度變化對數(shù)值比較的影響淆“數(shù)“與“點”的對應關系（如3.5的位置）

考查”0的相反數(shù)是其本身”等特殊情形（易

錯點）；求含字母的絕對值（如Ia2|的最小值

能快速求任意數(shù)的相反數(shù)，用絕對值的幾

相反數(shù)與絕對值問題）；混淆相反數(shù)與倒數(shù)（如3的相反數(shù)

何意義比較負數(shù)大小

是3,倒數(shù)是1/3）；忽略絕對值的非負性（如

冏+1的最小值是1,非0）

掌握三法：數(shù)軸法（左小右大）、絕對值高頻出現(xiàn)在選擇題,易錯點:比較"3/4與2/3"

有理數(shù)大小比較

法（負數(shù)的絕對值越大越?。?、作差法時誤判分母大小關系

加減運算符號法能正確處理雙重符號（如（5）=5）,運用交計算題必考，易錯點：去括號時符號漏變（如

則換律/結合律簡化同號、相反數(shù)相加的運算3（+5）=3+5）、跳步導致符號丟失

乘除運算符號法熟練運用”同號得正，異號得負“，會將連常與加減法混合考查，易錯點：奇數(shù)個負號

則除轉化為乘法（如a-rb^c=ax（l/b）x（l/c））時的結果符號判斷錯誤

能快速轉換大數(shù)（如-3.84x1（）5）,保持實際應用題高頻考點，易錯點：10的指數(shù)符

科學記數(shù)法

有效數(shù)字精確度號錯誤

嚴格遵循“先乘除后加減，括號優(yōu)先“，能玉軸題核心考點，易錯點：看到同級運算從

混合運算順序

使用分配律簡化計算左往右算（實際可靈活調(diào)整順序優(yōu)化計算）

■記?必備知識.

國知識點01有理數(shù)的概念

有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、0、負整數(shù)）和分數(shù)的統(tǒng)稱。有理數(shù)是能夠表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)?！?/p>

?示例：整數(shù)5可表示為彳5，分數(shù)§4、2直接符合形式，因此都是有理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)（如晨虛）

不能表示為兩個整數(shù)之比，不屬于有理數(shù)。

?易錯點：容易忽視兀

愿知識點02數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值

1.數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向、單位長度（數(shù)軸的三要素）的一條直線.

2.數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度.

3.畫數(shù)軸步驟：畫直線取原點規(guī)定正方向單位長度.

4.只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).（絕對值相等，符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)）

5.一般數(shù)軸上表示a的數(shù)與原點之間的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a],讀作“a的絕對值”.

示例：（1）標出3.5的位置：在原點左側，介于3和4之間。

（2）|a2|的最小值為0（當a=2時）。

（3）。的相反數(shù)和絕對值均為0。

?易錯點：漏畫箭頭或單位長度標記?；煜?數(shù)"與"點"的對應關系（如將3.5標在3的位置）；混淆相反

數(shù)與倒數(shù)（如3的倒數(shù)是1/3,相反數(shù)是3）。忽略絕對值的非負性（如認為|a可能是負數(shù)）。

國知識點03有理數(shù)比較大小

兩個負數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小。

示例:比較3/4與2/3：絕對值3/4>2/3=3/4<2/3。

易錯點：誤判負數(shù)大?。ㄈ缯J為分母越大數(shù)值越大）

國知識點4有理數(shù)加法法則

有理數(shù)的加法法則：（步驟：先確定符號，再確定絕對值，然后進行計算）

1）同號兩數(shù)相加.取相同的符號,并把絕對值相加：

2）異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值：

3）互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（如果兩個數(shù)的和為0,那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)）

4）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。a+0=a

示例：3（+5尸35=2（易錯：漏變符號得8）。

易錯點：去括號時符號漏變（如將（5）寫成5）

園知識點5加法運算定律

1）加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a：

2)加法結合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即(a+b)+c=a+(b+c)。

運用有理數(shù)加法的運算律進行計算時，通常：

1.一般地，總是先把正數(shù)或負數(shù)分別結合在一起相加。

2.有相反數(shù)的可先把相反數(shù)相加，能湊整的可先湊整。

3.有分母相同的，可先把分母相同的數(shù)結合相加。

示例：同號結合：(-7)+(-3)+10=-10+10=0；湊整簡化：.6+(-3.2)+(-2.8尸5.6+[(-3.2)+(-2.8)]=5.6+(-6尸一0.4

相反數(shù)抵消：(-4)+3+4=[(-4)+4]+3=0+3=3

易錯點：未優(yōu)先計算相反數(shù)導致復雜化(如(與)+5+3不先算(與+5))。小數(shù)或分數(shù)運算時符號錯誤(如-

2.5+1.8誤算為~0.7寫成().7)。

國知識點6有理數(shù)減法法則

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a-b=a+(-)b

不例：5-3=5+(—3)=2：—4一(一2尸一4+2-2(減去負數(shù)相當于加止數(shù))；0-6=0+(-6)=-6

易錯點：符號錯誤：如-3-5誤算為-3+5=2-(正確應為-3-5=-8-)。

去括號錯誤：如7-(-2)誤算為7-2=5(正確應為7+2=9).

混淆減數(shù)和被減數(shù)：如2-5誤算為5-2=3(正確應為-3)。

國知識點7有理數(shù)乘法法則

1兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

2任何數(shù)問0相乘，都得0。

3多個不為0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)，即先確定

符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。

4多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0,則積等于0；反之，若積為0,則至少有一個因數(shù)是0。

示例：3x4=12(同正得正)；(-2)x(-5)=10(同負得正)；6x(-3)=-18(異號得負)

(-7)x0=0(任何數(shù)與0相乘為0)

易錯點：符號判斷錯誤：如(-4)x5誤算為20(正確應為-20)；忽略“負負得正”：如(-l)x(-l)誤

算為-1(正確為1)；混淆乘法和加法符號規(guī)則：如-2x-3=6誤認為-2+(-3)=-5。

國知識點8乘法運算定律

1.乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即aXb=ba

2.乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即aXbXc=(aXb)

Xc=aX(bXc)。

3.乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加即aX(b+c)

-6.03x102=-603-6.03x］（）2=-603（還原：小數(shù)點右移2位）

易借點：混淆科學記數(shù)法的概念

國知識點H科學記數(shù)法

L先乘方，再乘除，最后加減。

2.同級運算，從左到右的順序進行。

3.如有括號，先算括號內(nèi)的運算，按小括號，中拈號，大括號依次進行。在進行有理數(shù)的運算時，耍分兩步

走：先確定符號，再求值。

示例：計算3￥2x（l）2：先算乘方再乘法，最后加法（結果：9+2=7）o

易錯點：混淆運算順序

.破?重難題型.

國題型一有理數(shù)的混合運算

解|題|技|巧

1.定順序：嚴格遵循運算順序：

先乘方一再乘除一最后加減

括號優(yōu)先（先算小括號，再中括號，最后大括號》

2.看符號：

先確定每一步結果的符號，再算絕對值。

乘除法符號規(guī)則：同號得正，異號得負。

3.巧簡化：

優(yōu)先計算相反數(shù)（如a+a=0）。

湊整（如3.5+4.5=1）o

分配律逆用（如3x5+3x2=3x（5+2）=9）。

易|錯|點|撥

坑點1：-r與（一1尸的區(qū)別（前者僅1的暴，后者整體‘曷）。

坑點2：絕對值未優(yōu)先計算導致符號錯誤。

坑點3：分數(shù)減法通分錯誤（如［一］通分為三一9）。

461212

(典例1](2425七年級上?湖南懷化?期中)計算：

(1)(-4)X(-3)-6-

⑵一34+彳、卜子+(—1產(chǎn)24

【答案】(1)30

(2)-15

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

(1)先計算乘法和除法，再計算加減法即可.

(2)先計算乘方和絕對值，再計算乘除法，最后計算加減法即可.

【詳解】(1)解：原式=12-6x(-3)

=12-(-18)

=12+18

=30.

(2)解：原式=-81x-x-+1

99

=-16+1

=—(16—1)

=—15.

【變式1】(2425七年級上?湖南郴州?期中)計算：

⑴(一打鴻)'(-36)

(2)-14+(1—0.5)x[3+(-3)2]:(-2)

【答案】(1)25

(2)-4

【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計算，有理數(shù)乘法分配律，熟知相關計算法則是解題的關鍵.

(1)根據(jù)乘法分配律求解即可；

(2)按照先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加減法，有括號先計算括號的運算順序求解即可.

【詳解】⑴解：(一：+*-：卜(一36)

753

=--x(-36)+-x(-36)--x(-36)

=28—30+27

=25；

(2)解：-14+(I—O5)X[3+(-3)2]+(—2)

=-l+1x(3+9)-r(-2)

=-l+1xl2-(-2)

=-1+6^(-2)

=-1+(-3)

=-4.

【變式2】(2425七年級上?湖南郴州?期中)計算：

⑴信W)x(T2);

(2)-14+|-2|^7X[2-(-3)2].

【答案]⑴12

⑵-3

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則，是解題的關鍵:

(1)利用乘法分配律進行計算即可；

(2)根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則和運算順序，進行計算即可.

【詳解】(1)解：原式=^x(-12)-：x(-12)-：x(-12)=-5+8+9=12；

JL4T

(2)原式=-l+2xix(2-9)=-1+2xx(-7)=-1-2=-3.

包題型二有理數(shù)運算的實際應用

解|題|技|巧

1.建模：將實際問題轉化為數(shù)學表達式。

收入/上升/增加一正數(shù)

支出/下降/減少一負數(shù)

2.抓關鍵：

明確基準量(如海平面為0,溫度等)。

單位統(tǒng)一(如噸一噸，米一米)。

3.驗結果：檢查是否符合實際意義（如庫存不可能是負數(shù)）。

易|錯|點|撥

坑點I：漏算某一天的數(shù)據(jù)（如少加一個一6）。

坑點2：符號混淆（如把“運出”當成正數(shù)）。

坑點3：單位不統(tǒng)一（如噸與千克混用）。

【典例1）（2425七年級匕湖南懷化?期中）科學研完發(fā)現(xiàn)，一般情況下，海拔每升高1千米，氣溫下降6團.已

知甲地現(xiàn)在的地面氣溫為210,則甲地上空10千米處的氣溫為0.

【答案】-39

【分析】本題考查有理數(shù)的加減乘除混合運算.用甲地現(xiàn)在的地面溫度加上高度上升降低的溫度即可得出

答案.

【詳解】解：21+（-6）X10=21-60=-39。&

故答案為：-39.

【典例2]（2425七年級上?湖南郴州?期中）外賣員駕駛一輛充滿電的電動車在一條東西方向的商業(yè)街上取

外賣，若規(guī)定向東為正，則從出發(fā)點開始所走的路程為+4,-2,-3,+7,+1,-4（單位：km）

⑴當取得最后一份外賣時，該外賣員距離出發(fā)點多遠？在出發(fā)點什么方向？

⑵若該電動車充滿電可行駛25km,取完外賣后，該電動車還可行駛多少千米？

【答案】⑴離出發(fā)點3千米，在出發(fā)點正東方向

（2）4千米

【分析】本題主要考查了有理數(shù)加法的運用，熟練掌握有理數(shù)的加法是解答此題的關鍵.

（1）將所行駛的路程全部加起來，若為正，則在東邊，若為負，則在西邊，結果的絕對值即為距離出發(fā)點

的距離：

（2）用25減去所行駛路程的絕對值之和則為還能行駛的路程.

【詳解】（1）解：（+4）+（-2）+（-3）+（+7）+（+1）+（-4）

=4-2-3+74-1-4

=3（千米）；

答：當取得最后一份外賣時，該外賣員距離出發(fā)點3千米，在出發(fā)點正東方向；

（2）解：25—（|+4|+|-2|+|-3|+|+7|+|4-1|+|-4|）

=25-（4+24-3+7+1+4）

=25-21

=4（千米）.

答：取完外賣后該電動自行車還可行駛4千米.

【變式1】（2425七年級上?湖南益陽?期中）最近李老師家剛買了一輛小轎車，他連續(xù)記錄了7天中小轎車

每天行駛的路程（如下表），以50千米為標準，多于50千米的記為“+〃,不足50千米的記為“一〃,剛好

50千米記為“0”.

第一第二第三第四第五第六第七

天天天天天天天

路程（千米）—8-11-140-16+41+8

⑴求出這七天中平均每天行駛多少千米？

⑵若每行駛100千米需用汽油6升，汽油價7元每升，請計算李老師家這七天的油費是多少元？

【答案】（1）這七天平均行駛50千米

⑵李老師家這周的油費是147元

【分析】本題考查了正負數(shù)的意義和應用，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握正負數(shù)的意義是解題的關鍵.

（1）根據(jù)題意列式計算即可；

（2）根據(jù)題意列式計算即可.

【詳解】⑴解:50+［（-8）+（-11）+（-14）4-0+（-16）4-（+41）+（+8）］-i-7

=50+0

=50（千米）

答：這七天平均行駛50千米.

（2）解：50x7^100x6x7=147（元）

答：李老師家這周的油費是147元.

【變式2】（2425七年級上?湖南湘潭?期中）某自行車廠為了趕進度，一周計劃生產(chǎn)1400輛自行車，平均

每天生產(chǎn)200輛，由于各種原因實際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入，下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正，

減產(chǎn)為負）：

星

—?二三四王日

期

增

+4-2-4+13-11+15-9

減

⑴根據(jù)記錄可知第二天生產(chǎn)多少輛？

⑵產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)多少輛？

⑶若每生產(chǎn)一輛車的工資為60元，求該廠工人這一周的工資總額是多少元？

【答案】⑴198輛

(2)26輛

(3)84360元

【分析】本題考查了有理數(shù)四則混合運算的應用、正負數(shù)的應用，正確列出運算式子，熟練掌握運算法則

是解題關鍵.

(1)將表格中第二天數(shù)字與200相加即可得答案；

(2)利用表格中的最大數(shù)減去最小數(shù)即可得答案；

(3)將表格中的數(shù)字相加，再加上1400,然后乘以60即可得答案.

【詳解】(1)解：200+(-2)=198輛，

答：第二天生產(chǎn)198輛；

(2)解：+15-(-11)=15+11=26輛，

答：產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)26輛，

(3)解：解：[+4+(-2)+(-4)+(+13)+(-11)+(+15)+(-9)+1400]X60

=(4-2-4+13-11+15-9+1400)x60

=1406x60

=84360元,

答：該廠工人這一周的工資總額是84360元.

國題型三數(shù)軸與絕對值綜合題

解|題|技|巧

1.面數(shù)軸：標出關鍵點(如原點、正負數(shù))。

2.絕對值幾何意義：

Ia-b|表示數(shù)軸上a與b的距離。

la表示a到原點的距離。

3.分類討論：

遇到Ix|=a,需考慮x=a或x=-a。

易I錯I點I撥

坑點1：忽略絕對值非負性（認為Ix|=-1有解）。

坑點2：未分類討論（如Ix|=3漏掉x=-3）。

【典例11（2425七年級上?湖南邵陽?期中）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則卜.列結論錯俁的是（）

A.|tz|<1<\b\B.1<-a<bC.1<|a|<bD.-b<a<-1

【答案】A

【分析】本題主要考查數(shù)軸，絕對值的意義，掌握數(shù)軸上的點從左到右，從小到大的性質(zhì)是解題的關鍵.根

據(jù)數(shù)軸判斷a,4-1,1,0直接的大小關系，再結合絕對值的意義逐個分析即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，av-lvovivb,

vl<\a\<\b\,故A錯誤，符合題意；

1<-a<b,故B正確，不符合題意；

A1<|a|<b,故C正確，不符合題意；

-b<a<-l,故D正確，不符合題意；

故選：A.

【典例2】（2425七年級上?湖南邵陽?期中）已知A,B,P為數(shù)軸上三點，我們規(guī)定：點P到點A的距離

是點P到點8的距離的左倍,則稱P是[4,3]的"倍點”,記作P[A,B]=k.例如:若點P表示的數(shù)為0,點

A表示的數(shù)為一2,點4表示的數(shù)為1,則。是[48]的“2倍點〃，記作P[48]=2.

如圖，A,B,P為數(shù)軸上三點，回答下面問題：

⑴P[8,川=;

⑵若點C在數(shù)軸上，且C[4B]=1,則點C表示的數(shù)為；

⑶若。是數(shù)軸上一點，且D[48]=2,求點。所表示的數(shù).

【答案】⑴4

（2）2

（3）3或11.

【分析】本題主要考查數(shù)軸上兩點之間的距離，理解題中定義和分類討論是解答的關鍵.

（1）根據(jù)新定義，求得PA、PB即可求解；

（2）根據(jù)新定義得到點C為力8的中點，進而求解即可；

（才）根據(jù)新定義分兩種情況：點。在線段49I?和點。在線段的延長線卜.分別求解即可.

【詳解】（1）解：由數(shù)軸知，PZ=-l-（-3）=2,PB=5-（-3）=8,

（3PB=4P4則P[8,川=4,

故答案為：4；

（2）解：團點。在數(shù)軸上且C[4,B]=1,

^CA=CB,則點C為4B的中點,

團點C表示的數(shù)為手=2,

故答案為:2；

（3）解：因為。是數(shù)軸上一點，且?？?即=2,所以。力二208.

因為點A表示的數(shù)為一1,點B表示的數(shù)為5,所以力8=5-（-1）=6.

當點。在點A,B之間時，點。表示的數(shù)為—1+;x6=3；

當點。在點B的右邊時，點。表示的數(shù)為-1+2x6=11.

所以點。表示的數(shù)為3或11.

【變式1】（2425七年級上?湖南湘西?期中）陳英杰老師要求同學們，結合數(shù)軸與絕對值的相關知識回答下

列問題：

-5-4-3-2-10~1~2345

⑴探究：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是；

②數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是；

③數(shù)軸上表示4和-3的兩點之間的距離是;

（2）歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)。和數(shù)8的兩點之間的距離是；

⑶應用：

①優(yōu)秀的陳英杰老師發(fā)現(xiàn)代數(shù)式|x+l|+|x-2|的幾何意義是：表示有理數(shù)％的點到表示數(shù)2的點和表示

數(shù)的點距離之和；利用幾何意義，可求得|人十1|十|義一2|的最小值為:

②求優(yōu)-l|+|x-2|+|x-3|+-+|x-2025|的最小值.

【答案】（1）故答案為：①3,②3,@7；

⑵1。一川

⑶①-1，3：②

【分析】本題考查了數(shù)軸、絕對值的有關知識，明確數(shù)軸上兩點間的距離及絕對值之間的關系是解題的關

鍵.

（1）根據(jù)兩點間結合絕對值的幾何意義，可得答案；

（2）根據(jù)兩點間結合絕對值的幾何意義，可得答案；

（3）根據(jù)題意可知，當％為1至2025中間的那個數(shù)時，原式取得最小值，由此可得答案.

【詳解】（1）①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是|2-5|二3：

②數(shù)軸上表示一2和一5的兩點之間的距離是|-2-（-5）|=3；

③數(shù)軸上表示4和-3的兩點之間的距離是|4-（-3）|=7,

故答案為：①3,②3,③7；

（2）：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)。和數(shù)》的兩點之間的距離是

故答案為：|a-b|；

（3）①優(yōu)秀的陳英杰老師發(fā)現(xiàn)代數(shù)式+l|+|x-2|的幾何意義是：表示有理數(shù)％的點到表示數(shù)2的點和

表示數(shù)-1的點距離之和；

利用幾何意義，當數(shù)x在一1左側時，區(qū)+1|+|無一2|>3,

當數(shù)X在2右側時，氏+1|+|工一2|>3,

當數(shù)%在-1和2之間時，|x+l|+|x-2|=3,

二歸+1|+憂-2|的最小值為3

故答案為：一1，3；

②|x-1|+|無-2|+|x-3|+???+口-2025|表示數(shù)％到1,2,3...2025的距離的和，由①受到啟發(fā)，當工

為1至2025中間的那個數(shù)，

即X二l±箸=1013時，原式取得最小值，且最小值為：

1012+1011+1010+…+1+0+1+???+1011+1012=2x（1+2+3+…+1012）=1025156.

【變式2】（2425七年級上?湖南岳陽?期中）認真閱讀下面的材料，完成有關問題.

材料L在學習絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如|5-3|表示5、3在數(shù)釉上對應的兩點之間

的距離;|5+3|=|5-（-3）|,所以|5+3|表示5、一3在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；|5|=|5-0|,所

以⑶表示5在數(shù)軸上對應的點到原點的距離.一般地，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,那么A、B

之間的距離可表示為|。-用.

問題（1）：點A、8、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)X、-2、1,那么A到8的距離與A到。的距離之和可表

示為_（用含絕對值的式子表示）.

問題（2）：利用數(shù)軸探究：①找出滿足忱-3|+|x+l|=6的x的所有值是②設-3|+|x+l|=p,

當x的值取在不小于-1且不大于3的范圍時，，〃的值是不變的，而且是〃的最小值，這個最小值是」當不

的值取在—的范圍時,|x|+|x-2|最小值是

材料2：求-3|+|x-2|+|x+1|的最小值.

分析:|x-3|+|x-2|+|x+1|=（|x-3|+|x+1|）+\x-2\

根據(jù)問題（2）中的探究②可知，要使忱-3|+氏+1|的值最小，x的值只要取-1到3之間（包括一1、3）

的任意一個數(shù)，要使|%-2|的值最小，x應取2,顯然當％=2時能同時滿足要求，把無=2代入原式計算即

可.

問題（3）：利用材料2的方法求出反一3|+以一2|+|%|+|%+1|的最小值.

【答案】（1）反+2|+|%—1|；（2）（5—2、4：②4；不小于0且不大于2,2；（3）6

【分析】本題考查絕對值的幾何意義，數(shù)軸上兩點之間的距離，絕對值化簡，讀懂題目信息，理解絕對值

的幾何意義是解題的關鍵.

（1）根據(jù)題意表示出式子即可；

（2）①根據(jù)題意得到|3-=4,再由數(shù)軸觀察求解，即可解題：

②根據(jù)當x的值取在不小于-1且不大于3的范圍時，結合絕對道性質(zhì)化簡求解，即可得到〃的最小值，同

理即可得到x的值取值范圍,以及田+優(yōu)-2|最小值;

（3）根據(jù)材料2的方法，類比求解，即可解題.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意可知A到8的距離與A到C的距離之和可表示為|%+2|+|X-1|,

故答案為:|x+2|+|x-1|；

（2）①???[3-（-1）|=4,

—?------1--------i-------1-------1-------1-------i——>

-3-2-10123

由數(shù)軸觀察可知，滿足忱-3|+k+1|=6的1的所有值是一2、4：

故答案為：-2、4.

②當x的值取在不小于-1且不大于3的范圍時，

|x-3|+|x4-1|=p即-X+3+x+1=p,

整理得p=4,

所以這個最小值是4；

同理，當04x42時

|x|+|x—2|=x-x+2=2,

即㈤+忱一2|最小值是2；

故答案為：4；不小于。且不大于2；2；

(3)|x-3|+|x-2|+|x|+|x4-1|=(\x-3|+|x+1|)+(|x|+\x-2|)

根據(jù)問題(2)中的探究②可知，要使|%-3|+|%+1|的值最小，工的值只要取一1到3之間(包括-1、3)

的任意?個數(shù)，且最小值是4；要使忱|+忱-2|的值最小，x的值只要取。到2之間(包括0、2)的任意一

個數(shù)，且最小值是2；顯然x的值只要取0到2之間(包括0、2)的任意一個數(shù)能同時滿足要求，且優(yōu)-3|+

\x-2\+\x\+|x+1]的最小值為6.

3題型四新定義問題

解|題|技|巧

解有理數(shù)混合運算新定義題，先理解新定義，將其轉化為數(shù)學表達式。根據(jù)新定義，代入給定值進行計算

O觀察計算結果，找出規(guī)律。將規(guī)律應用于問題求解，驗證答案正確性。

(典例11(2425七年級上?湖南郴州?期中)已知，y為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運算“團”，滿足》回y=3x-y2,

如：1回3=3x1-32=-6,則-3團2=.

【答案】-13

【分析】本題考查有理數(shù)的運算，根據(jù)新定義列出算式，再計算即可.

2

【詳解】解：xBy=3x-yf

0-302=3x(-3)-22=-9-4=-13,

故答案為：-13.

【變式1】(2425七年級上?湖南懷化?期中)現(xiàn)定義新運算唯1”,對任意有理數(shù)a,b,規(guī)定0助=$一帥，

則-1而2024=.

【答案】2025

【分析】本題主要考查了新定義，含乘方的有理數(shù)混合計算，根據(jù)新定義得到-1團2024=(-1)2。24-(-1)x

2024,據(jù)此計算求解即可.

【詳解】解：=ab-ab,

3-102024=(-1)2024-(-1)x2024=1+2024=2025,

故答案為：2025.

【變式2】(2425七年級下?湖南湘潭?期中)”團〃定義新運算：對于有理數(shù)Q、力都有：Q助=時—(a+b),

當m為有理數(shù)時，30(m02)=.

【答案】2m-7

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是熟練的掌握有理數(shù)的混合運算法則.將新定義的運算

按定義的規(guī)律轉化為有理數(shù)的混合運算.

【詳解】解：30(m02)

=30[2m—(m+2)]

=30(m-2)

二3(zn—2)—(3+771—2)

=3m-6-3-7n+2

=2m—7,

故答案為：2m—7.

.過?分層驗收.

期中基礎通關練（測試時間：10分鐘）

1.（2025?陜西西安?一模）在日常生活中,若收入500元記作+500元,則支出280元應記作（）

A.+280元B.+220元C.—280元D.—220元

【答案】C

【分析】此題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關鍵是理解“正''和"負''的相對性，明確什么是一對具有相反意

義的量.

在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.

【詳解】解："正"和"負"相對，所以，若收入500元記作+S00元，則支出280元應記作-280元.

故選:C.

2.（2024?青海?中考真題）-2024的相反數(shù)是（）

【答案】A

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義.根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù)解答即可.

【洋解】解：-2024的相反數(shù)是2024.

故選:A.

3.（2425七年級上?湖南株洲?期申）若a=（-2）x（-3）,b=-32,c=（-2）3,那么a,b,c的大小關系

是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【分析】本題考查有理數(shù)的乘法、乘方運算及大小比較，先根據(jù)運算法則求出或從c,再結合正數(shù)大于0,

。大于負數(shù)判斷即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得：

a=(-2)x(-3)=6,b=-32=一9,c=(-2)3=-8,

回6>—8>—9?

^a>c>b,

故選:B.

4.(2425七年級上?湖南衡陽?期中)若忱+3|+(y-2)2=0,貝狂+y的值為()

A.1B.-1C.3D.-2

【答案】B

【分析】本題考查了絕對值的非負性、平方的非負性，由僅+3|+(y-2)2=0,得出|x+3|=0,(y-2)2=0,

求出％、y的值，再得出％+y的值即可.

【詳解】解：|x+3|>0,(y-2)2>0,

又回力+3|+(y-2)2=0,

(3|x+3|=0,(y-2)2=0,

解得：x=-3,y=2,

耿+y=-3+2=-1,

故選：B.

5.(2425七年級上?湖南株洲?期中)2023年湖南省政府工作報告中指出，要強力推進湘商回歸.持續(xù)開展

“迎老鄉(xiāng)、回故鄉(xiāng)、建家鄉(xiāng)活動，大力推進產(chǎn)業(yè)回歸、資本回流,項目回投、人才回聚、總部回建，力爭湘

商回歸新注冊企業(yè)達1000家，項目投資4800億元.4800億用科學記數(shù)法表示為.

【答案】4.8X1011

【分析1本題考查了把絕對值大于1的數(shù)用科學記數(shù)法表示，關鍵是確定〃與。的值.科學記數(shù)法的表示

形式為“Xio”的形式，其中l(wèi)/imvio,〃為整數(shù)，它等丁原數(shù)的整數(shù)數(shù)位與1的差.據(jù)此求解即可.

【詳解】解：4800億=480000000000=4.8X1011；

故答案為:4.8X1011.

6.(2425七年級上?湖南長沙?期中)把下列各數(shù)填在相應的橫線上

-7，-3.15,|-6|,-7,0,30%,71

6

(1)整數(shù)：;

（2）奐分數(shù)：;

⑶非負整數(shù)：.

【答案】⑴|一6|,-7,0

（2）—7，—3.15

6

（3）|-6|,0

【分析】本題考查了有理數(shù)和絕對值，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

（1）根據(jù)整數(shù)的定義進行解答即可；

（2）根據(jù)負分數(shù)的定義進行解答即可；

（3）根據(jù)非負分數(shù)的定義進行解答即可.

【詳解】（1）解:整數(shù)：|-6|,-7,0；

（2）負分數(shù)：一；，-3.15；

6

（3）非負整數(shù)：|-6|,0.

7.（2425七年級上?湖南長沙?期中）畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用符號將它們連接起來.

一|-2|,―0?5,—（—3）>—|—4|,3.5

【答案】一|一引<一|一2|<-1：<0.5<—（-3）<3.5,見解析

【分析】先化簡，再在數(shù)軸上表示，再根據(jù)數(shù)軸上靠近右邊的數(shù)大于靠近左邊的數(shù)，計算即可.

【詳解】解：0-|-2|=-2,-（-3）=3,-|-4|=-4,

回數(shù)軸表示如下：

故一|一4|<-|-2|<-11<0.5<-（-3）<3.5.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上表示有理數(shù)，多重符號化簡，絕對值，數(shù)軸上有理數(shù)的大小比較，正確理解大

小比較的原則是解題的關鍵.

8.（2425六年級上?上海?期中）計算：

⑴-4.8+（5.2-3）

（2）計算:同（-2>（一》

⑶計算：_22_（_§+（-0.5）2+—

【答案】⑴-5

(2)8

⑶-

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

(1)先去括號，然后根據(jù)交換律和結合律計算即可；

(2)先把除法轉化為乘法，再根據(jù)乘法法則計算即可；

(3)先算乘方和去絕對值，然后算加減法即可.

【詳解】(1)解：一4.8+—

27

=-4.8+1——5.2+3—

99

=(-4.8-5.2)+(11+3^

=-10+5

=-5；

⑵解:7X(~23)^(_4)

=7x(--)x(-4)

=8；

(3)解：-22—(-3+(-0.5)2+|1-

311

=-4+-+-+-

442

1

=-2-

期中重難突破練(測試時間：10分鐘)

1.數(shù)軸上表示數(shù)m〃的點如圖所示.把小-a,b,-匕按照從小到大的順序排列，正確的是().

-----1-------1-------------1------->

a0b

A.-b<-a<a<bB.-a<-b<a<b

C.—b<a<—a<bD.-b<b<-a<a

【答案】C

【分析】本題考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，相反數(shù).熟練掌握利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小法則：數(shù)

軸上右邊點表示的數(shù)大于左邊點表示的數(shù)是解題的關鍵.

觀察數(shù)軸得出Q<0/>0,|Q|<|5|,在數(shù)軸上表示出一a、-b,即可由圖得出結論.

【詳解】解：由圖得a<O,b>O,|a|v|b|,

在數(shù)軸上表示出-a、-b為:

-ba0-ab

由圖可得：-b<a<—a<b,

故選：C.

2.如〃={1,2,無},我們叫集合M,其中1,2,工叫做集合M的元素，集合中的元索具有確定性（如x必然

存在），互異性（如工,1,工。2）,無序性（即改變元素的順序，集合不變）.若集合N={x,l,2},我

們說M=N.已知集合力={2,0,%},集合B=E，|X|,（},若A=8,則x+y的值是（）

A.2B.—C.-2D.-1

【答案】B

【分析】本題主要考杏絕對俏，分類討論是解題的關鍵.根據(jù)撅:段利用分類討論的數(shù)學思根講行解決即可.

【詳解】解：,??1云（）,且IHH0,

故，

1X=0

則y=0,

當卜I=2時，

解得％=±2,

若彳=±2,則三=±：W±2=x,舍去；

當陽=%時,

則X為非負數(shù)，

1

v-=2

x

???%=%滿足要求.

二x+y=/o=：?

故選B.

3.下表列出了國外幾個城市與北京的時差（正數(shù)表示同一時刻比北京時間早）.

城市紐約巴黎東京

與北京的時差/h-13-7+1

2025年元月6日19:00,我國中央廣播電視總臺綜合頻道CC7V-1《新聞聯(lián)播》節(jié)目開始播放時，下列各城

市的時間表示錯誤的是（）

A.紐約是2025年元月6日6:00B.巴黎是2025年元月6日11:00

C.東京是2025年元月6日20:00D.上海是2025年元月6日19:00

【答案】B

【分析】本題考查有理數(shù)加減的實際應用，正負數(shù)的應用，熟練掌握有理數(shù)加減法則是解題的關鍵；

根據(jù)題意，分別計算紐約，巴黎，東京，上海在此時的時間，即可求解；

【詳解】解：A、紐約與北京的時差為-13h,

19-13=6,

故紐約此時時間為：2025年元月6日6:00,

時間表示正確，不符合題意：

B、巴黎與北京的時差為-7h,

19-7=12,

故紐約此時時間為巴黎是2025年元月6012:00,

時間表示錯誤，符合題意；

C、東京與北京的時差為+lh,

19+1=20,

故東京此時時間為2025年元月6日20:00,

時間表示正確，不符合題意；

D、上海與北京沒有時差，故上海是2025年元月6日19:00,

時間表示正確，不符合題意；

故選：B

4.（2425七年級上?湖南衡陽?期中）一個自然數(shù)的立方，可以分裂成若干個連續(xù)奇數(shù)的和.例如：23,33和

43分別可以按如圖所示的方式“分裂”成2個、3個和4個連續(xù)奇數(shù)的和，即23=3+5：33=7+9+11；43=

134-15+17+19；???；若413也按照此規(guī)律來進行“分裂〃,則413“分裂”出的奇數(shù)中,最大的奇數(shù)是（）

A.1719B.1721C.1723D.1725

【答案】B

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律變化問題，由題意可得/分裂中的第一個數(shù)是“幾-1)+1,據(jù)此解答即可

求解，由題意找到數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關鍵.

【詳解】解：23分裂中的第一個數(shù)是3=2x1+1,

33分裂中的第一個數(shù)是7=3x2+1,

43分裂中的第一個數(shù)是13=4x3+1,

加3分裂中的第一個數(shù)是以n-1)+1,

(34#分裂中的第一個數(shù)是41x40+1=1641,

囹4F“分裂”出的奇數(shù)中,最大的奇數(shù)為1641+2x(41-1)=1721,

故選:B.

5*計算；南+旃+前+…+3023X2024

【答案】2023

2024

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，相反數(shù)的性質(zhì)，根據(jù):京=工-4的變化規(guī)律，把原式中各分數(shù)

n(n+l)nn+1

轉化為兩分數(shù)之差的形式，然后利用互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和為零化簡即可求解，找出式子的變化規(guī)律是

解題的關鍵.

【詳解】解：原式=(1-9+(2)十(冷)十…+島-表)

liiii11

=1-4°————-T-—―

2233420232024

1

=1---------

2024

2023

—'9

2024

故答案為：翳

6.(2425七年級上?湖南衡陽?期中)如果|無+4|+慶一3|十歸一。|的最小值是10,那么Q=

【答案】一7或6

【分析】本題考查了絕對值，熟練掌握絕對值的幾何意義，用分類討論方法是解本題的關鍵.根據(jù)絕對值

的幾何意義，分類討論求值即可.

【詳解】解?：|%+4|+優(yōu)一3|+歸-可的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)一4,3,。的點的距離

之和,

①當Q<一4時，

當x=一4時，|%+引+—3|+|萬一a|有最小值，即：7+|a+4|=10,解得：a=-7或a=-1（舍去）；

②當-4WaW3時，

當N=Q時,忱+4|+1%—3|+|無一a|有最小值,即：|x+4|+|x-3|+|x-a|=7,不符合題意；

③當Q>3時，

當x=3時，|工+4|+優(yōu)一3|+忱一a|有最小值，即：7+|a-3|=10,解得：Q=6或a=0（舍去）；

綜上，當a=-7或a=6時,|x+4|+-3|+|x-a|的最小值是10.

故答案為：-7或6.

7.（2425七年級上?北京門頭溝?期中）如圖為北京市地鐵1號線地圖的一部分，某天，濟嘉同學參加志愿者

服務活動，從西單站出發(fā)，到從4站出站時，本次志愿者服務活動結束，如果規(guī)定向東為正，向西為負，當

天的乘車站數(shù)按先后順序依次記錄如下（單位：站）：

+5,-4,+4,—6,+9?—2?—7?+1.

?=0=C?5=0==0=0=0=0=0==0=0=CP

南復

大

西

天天

東建

永國

三

單

興

單

貿(mào)

安

禮

望

國

安安

府

門

里

井

路

門

士

門門

西東

路

⑴請通過計算說明4站是哪一站？

（2）請直接寫出濟嘉同學本次志愿活動向東最遠到哪站？

【答案】（1）西單站

⑵大望路站

【分析】（1）根據(jù)正負數(shù)的意義列式計算即可求解；

（2）分別計算前1個、前2個、前3個、…、前8個數(shù)的和，根據(jù)結果即可求解；

本題考查了正數(shù)與負數(shù)的意義，有理數(shù)加法的應用，理解正負數(shù)的意義是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：+5-4+4-64-9-2-7+1=0,

答：4站是西單站；

（2）解：+5,

+5-4=+1,

+5-4+4=+5,

4-5-44-4-6=-1,

+5—4+4—6+9=+8,

+5—4+4—6+9—2=+6,

+5-4+4-64-9-2-7=-1,

+5—4+4—6+9—2—7+1=0,

回濟嘉同學本次志愿活動向東最遠到大望路站.

期中綜合拓展練(測試時間：15分鐘)

1.下列說法中，錯誤的個數(shù)是()

①若用=一十，則a<0：

②若則有(a+b)(a-b)是負數(shù):

③A、B、C三點在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是-2、6、-若相鄰兩點的距離相等，則x=2；

④若代數(shù)式2x+19-3x|+|1-x|+2016的值與％無關，則該代數(shù)式值為2024：

⑤若a+b+c=0,abc>0,則富+希+富的值為±L

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算、絕對值的意義，整式的加減，根據(jù)絕對值的意義和分母不能為?？?/p>

判斷①；根據(jù)絕對值的意義和有理數(shù)的運算法則可判斷②：根據(jù)兩點間的距離可判斷③；根據(jù)與x無關化

簡后可判斷④：根據(jù)絕對值的意義和有理數(shù)的運算法則可判斷⑤.

【詳解】解：①若m則故①正確，不符合題意;

②若同>同，

當a>0