專題08與絕對值有關的十大題型（舉一反三專項訓練）

【人教版2024]

題型歸納

【題型1代數視角看絕對值的意義】

【題型2幾何視角看絕對值的意義】

【題型3絕對值的非負性】

【題型4多絕對值處理——數形結合】

【題型5多絕對值處理——分類討論】

【題型6多絕對值處理——零點分段】

【題型7多絕對值之和的最小值】

【題型8多絕對值之差的最大值】

【題型9絕對值和差的最值】

【題型10利用隱最值求最值】

舉一反三

知識點1代數視角看絕對值的意義

變式結論：①若

|非負卜

\a\=a則

（>0）,f（420）；

絕對值的代數意義：|Q|=0（a=0）,?■

（-a（a<0）.

②若同二一“，則

1非正

（去絕對值法則）

（心0）;

③同

知識點2幾何視角看絕對值的意義

絕對值=距離，數=形

"一」.

,1-“1N1”1,I1nr**%IE

—L.-------子-------尸間的1V幾l何意乂：數—1------里--------1—4的幾何忠乂：數軸

XCX

軸上表示。的點到原點的電離.上表示X的點與表示。的點之間的距離.

知識點3絕對值的非負性

試卷第1頁，共8頁

1.同20,絕對值無負2.若同+例=0,則〃=0巨3.若回+/=0,則a=0且

數6=06=0

知識點4多絕對值處理——數形結合

4=k—訊表示P,力兩點之間的距離；PB=\x-b\,\x-b\

「一|x-a|plx-i）LB表示P,3兩點之間的距離；

---------------J~

axbPA+PB=\x-a\+\x-b\,

|x-a|+|x-〃|表示。至|J48兩點的距離之和.

知識點5多絕對值處理——分類討論

@+@=±2或。.①。，方同正，值為1+1=2；

ab

\a\a

U或口a>0=值為1；

②a,匕同負，值為一1-1=-2；

a\a\

③〃，b異號,值為1-1=0.

a<0=>值為-1.

注：無需討論具體數的符號.

知識點6多絕對值處理——零點分段

零點：使絕對值為0的未知數的值

即為零點.方法：

"(匕同：卜一。|十卜一b[(a<0).令x-a=0,x-A=0,

①尋找所有零點，并在數軸上表

解得x=a,x=b,

示；

故零點為a，b,分三種情況討論：

②依據零點將數軸進行分段；

①x<“；

③分別根據每段未知數的范圍去

（2）a<x<b；

絕對.

③x>b.

易錯點：分類不明確，不會去絕對

值，

知識點7多絕對值型最值

1.若a<b,則當時,卜-。|+卜7，|有最小值6-4.

2.若"bvc,則當x=b時，上一4+上一4+上一4有最小值一.

3.〃個絕對值之和求最小值

試卷第2頁，共8頁

一般地，設<%<,,,%，°=,_《|+卜—〃2|+,_%|+…+卜-%|.

①若〃為奇數，則當*="?時，夕有最小值：②若〃為偶數，則當之"""夕守時，夕有最

小值.

口訣：按序排列，奇取中值，偶取中段.

4.系數不為1型絕對值之和求最小值，可化為系數為1型問題解決.

5.若a<b,則當xNb時，卜一4一卜一耳的最大值為.

6.絕對值和差混搭求最大值：數形結合，分析表示數x的點的位置.

7.注意挖掘幾個絕對值之和有最小值，及取得最小值時字母的范圍這個隱藏的條件.

【題型1代數視角看絕對值的意義】

[例1]（24—25七年級下?陜西榆林?開學考試）

1.已知有理數％。在數軸上的位置如圖所示，化簡式子|。4|c-a|-i\bc|的值為一.

abc

-1011

【變式1—1]（2025七年級上?全國?專題練習）

2.己知l<x<2,則|x-3|+|x-2|的值為.

【變式1一2]（23-24七年級上?遼寧大連?階段練習）

3.若。，則。的取值范圍是.

【變式1一3]（24-25七年級上?江蘇鹽城?期中）

4.若a?=9，網=7,^\a-b\=b-a,貝lj2a—b的值為.

【題型2幾何視角看絕對值的意義】

【例2】

5.已知何+12|=3加—8],求小的值.

【變式2一1】

6.數軸上點彳表示的數為T,點8表示的數為x,若九8兩點之間的距離為11,求x的

值.

【變式2一2】

試卷第3頁，共8頁

②要使|X+2|+|X-4|=8,數軸上表示的數工=.

(3)求1+2|+1+1|+卜-2|+1一4|的最小值.

【變式4一1】

14.如圖，數軸上4個點表示的數分別為a、b、c、d.若|a?d|=10,|。?4=6,\b-d\=

2\b-c\,則|c?"|=()

■:it1

abcd'

A.1B.1.5C.2.5D.2

【變式4—2】

15.如圖力，8,C,D,E分別是數軸上五個連續(xù)整數所對應的點，其中有一點是原點，數

a對應的點在〃與。之間，數b對應的點在。與石之間，若同+網=3則原點可能是.

，,aQA11b1

ABCDE

【變式4一3】

16.點A、8在數軸上分別表示有理數A、8兩點之間的距離表示為48,則在數

軸上A、4兩點之間的距離力8=卜-4.

所以式子卜-2|的幾何意義是數軸上表示x的點與表示2的點之間的距離.借助于數軸回答

下列問題：

①數軸上表示2和5兩點之間的距離是,數軸上表示1和-3的兩點之間的距離

是?

②數軸上表示x和-2的兩點之間的距離表示為.

③數軸上表示x的點到表示1的點的距離與它到表示-3的點的距離之和可表示為：

卜-1|+卜+3|.則卜-1|+卜43|的最小值是.

④若卜-3|+卜+1|=8,貝ljx=

AB

—J--------------------------------->-----i>

a0b

【題型5多絕對值處理——分類討論】

【例5】

試卷第5頁，共8頁

17.已知。也。為有理數.

（1）若。40,則|。|=；若6>0,則|〃|=.

,,lxaabacbeJr

（2）已知Q》C/O,avO,bc>0求^--+—j-+:----^+737■[的值.

t|a|\ah\\ac\\bc\

…r、、abcabbeacahc皿〃

（3）已知。反。0,且Q+Z）+C=O,求^—:+—+r_;+r-n+7T_i+1—：[?的值.

|a|\b\\c\\bc\\ac\\abc\

【變式5-1】

18.已知x,y均為整數，且|x?y|+|x-3|=1,則x+y的值為.

【變式5-2]（24—25七年級上?四川德陽?階段練習）

abcabc

19.如果a,b,。為非零有理數且a+〃+c=0,那么時一網+冏+蕨[的值為.

【變式5一3]（23—24八年級上?浙江寧波?期末）

20.若關于x的方程卜-2卜1|=。有三個整數解，則。的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【題型6多絕對值處理——零點分段】

【例6】

21.無論x取何值，k-2|+|x-5,a都成立，則。的取值范圍是.

【變式6一1】

22.已知|x+4|+|x—2|=10,求x的值.

【變式6一2】

23.已知xK2,求卜-3|-卜+2|的最大值和最小值.

【變式6一3】

24.若卜一12|=2卜+1|+4,求工的值.

【題型7多絕對值之和的最小值】

【例7】（23-24七年級上?四川成都?期中）

25.設“=k一3|,*=|x-l|,c=\x+\2\,貝ij3a+5+c的最小值是.

【變式7-1]（23-24七年級上?浙江嘉興?階段練習）

26.式子式+100|+卜-2+|「-5|的最小值是.

【變式7一2】

27.請解答下列問題：

試卷第6頁，共8頁

①當代數式k+U+|x-i|取最小值時，x的取值范圍是,最小值為.

②求上一1|+打一2林”3|+…+|x—24|的最小值為.

【變式7一3］（24-25七年級上?湖北武漢?期中）

22

28.設有理數a,b,C,滿足"0,c＞0,且同＜網＜|［,則§|x+H+#-W+k+c|的最

小值為.

【題型8多絕對值之差的最大值】

【例8】（22-23七年級上?四川成都?期中）

29.若|x+l|+|x-l|的最小值記為〃，卜*-1卜卜-1|的最大值記為“，則—心=.

【變式8一1］（24—25七年級上?安徽六安?期中）

30.若點4?在數軸上分別表示有理數。、h,則44兩點之間的距離表示為48=|。一方|

（1）若|x-3|=2,這樣的數x為：

（2）結合數軸探究：存在文的值，使式子|x+l|Tx-5|有最大值，這個最大值是.

【變式8一2］（22-23七年級上?浙江寧波?期中）

31.卜―2|一卜一5|的最大值為.

【變式8一3］（24-25七年級上?江蘇無錫?階段練習）

32.當式子卜-3|-|x+5|取得最大值時，x的最大整數值是.

【題型9絕對值和差的最值】

【例9】（22-23七年級上?浙江溫州?階段練習）

33.式子|x-l|+2|x-2|+3|x-3|+2|x-4|+|x-5|的最小值是.

【變式9一1】

34.求卜-1卜|工-2|+k-3|-卜-4|的最大值，并寫出此時x的取值范圍.

【變式9一2］（22-23九年級下?福建南平?自主招生）

1R

35.已知則|2x+l|—卜一1|+3國—卜―2|的最大值為.

【變式9一3］（24—25七年級上北京?期中）

36.1.已知，有理數。、6、c在數軸上的位置如圖所示，

IIIIIIIJ

修631

試卷第7頁，共8頁

(1)化簡：|34+4―卜_24+卜+2同=；

(2)若凡。兩數的倒數是他們自身，當x的范圍是時，卜-4+k-有最小值，最小值

為.

(3)在(2)的條件下，若未知數X、歹滿足(卜-〃|+k-3|曲-2|+|)，-4)=6,則代數式x+2y

的最大值是.

【題型10利用隱最值求最值】

【例10](24-25七年級上?陜西西安?階段練習)

37.若：,一2|+|〃+3卜|八1|+也+2|=8,則〃+6的最小值是一

【變式10-1](23—24七年級上?浙江紹興?階段練習)

38.已知人人為整數，|。+20231T力-2|=0,且bv%則a的最小值為.

【變式10-2]

39.我們知道，|x|表示x在數軸上對應的點到原點的距離,我們可以把看作|x-0],所以，|x?

3|就表示x在數軸上對應的點到3的距離，|x+l|=|x-(-1)|就表示x在數軸上對應的點到-1

的距離，由上面絕對值的幾意義，解答下列問題：

(1)當|x-4,|x+2|有最小值時，x的取值情況是二

(2)|x-3|+|x+2|+|x+6|的最小值是」

(3)已知|x-l|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10求2x+y的最大值和最小值.

【變式10-3](23—24九年級下?浙江溫州咱主招生)

40.已知|x+2|+|x-l1=8——4|一|y+l|,則2*-3?的最小值為.

試卷第8頁，共8頁

1.0

【分析】本題考查了有理數與數軸，整式的加減，由數地可得即得。-6<0,

c-?>0,6-c<0,再根據絕對值的性質化簡即可求解，由數軸判斷求出"6、c-。、b-c

的符號是解題的關鍵.

【詳解】解：由數軸可得，a<b<c,

.,.a-b<0,c-a>0,b-c<0,

原式=6_a_(c_a)+(e_b)

=b-a-c+a+c-b

=0,

故答案為：0.

2.5-2x##-2x+5

【分析】本題主要考查了絕對值的性質，掌握絕對值的性質是解題的關鍵.根據x的取值范

圍，結合絕對值的性質，可得3-X+2-x,整理得出答案.

【詳解】解：V1<X<2,

|x-3|+|x—2|=3-x+2—x=5—2x,

故答案為：5-2x.

3.a<1

【分析】根據絕對值的性質可得1&0,即可獲得答案.

【詳解】解：?.?|"1|=一,

..a<\.

故答案為：a<\.

【點睛】本題主要考查了絕對值的性質，熟練掌握絕對值的性質是解題關鍵.

4.一1或一13

【分析】此題考查了有理數的減法，絕對值，代數式，掌握絕對值性質的逆向運用是解題的

關鍵.由/=9,同=7,可得出a=±3,b=±7,分別代入=中，得出滿足題意。力

即可得出結果.

【詳解】?."2=9,網=7,

答案第1頁，共22頁

a=±3,Z)=±7,

當〃=3,5=7時，

|a-b|=|3-7|=7-3=b-a,滿足題意，

，2a—6=2x3—7=-1,

當〃=3,b=-7時，

|〃一4=|3_(_7)卜3_(_7)=。_/,w不滿足題意舍去，

當〃=-3］=7時，

卜-耳=卜3-7|=7-(-3)=6-。，滿足題意，

/.2i/-/?=2x(-3)-7=-13,

當。=-3*=-7時，

,一4=卜3-(-7)卜-3-(-7)="方工人-%不滿足題意舍去，

綜上所述，2。-方的值為-1或-13,

故答案為：-1或-13.

5.m的值為3或18

【分析】本題主要考查了絕對值的幾何意義，絕對值方程，設力，從尸表示的數分別為

-12,8,m,則帆+12|=3加-8］的幾何意義是尸4=3PB,分三種情況：當點尸在點力的左

側時，當點尸在點4,8兩點之間,即一124加《8時,當點尸在點8的右側時,即止>8時,

分別畫出圖形求解即可.

【詳解】解：如圖，設力，B,。表示的數分別為-12,B,〃?，則帆+12|=3|〃?-8］的幾何意

義是PA=3PB；

①如圖1,當點P在點彳的左側時，PA<PB,PA=3PB不成立;

②如圖2,當點P在點48兩點之間，即-時，

\m+\2\=PA=m+\2,

|w-8|=P5=8-/n,

.?.機+12=3(8—〃？),

解得〃?=3；

答案第2頁，共22頁

③如圖3,當點〃在點8的右側時，即機>8時,

|TM+12|=PA=w+12,

|m—=PB=〃？一8,

ZH+12=3(W-8),

解得〃?=18.

綜上所述，，〃的值為3或18.

PAB

9--1------------1-------->

m-128

圖1

APB

----1----------1---------->

-12m8

圖2

ABP

----1-------------1e->?

-128---------m

圖3

6.x=7或-15

【分析】本題考查了數軸，掌握數軸上兩點間的距離計算公式是解題的關鍵.

由力、4兩點之間的距離為11,根據兩點間的距離公式列出方程卜+4|=11,解方程即可.

【詳解】解：???/，8兩點之間的距離為11,

|x+4|=11,

，x+4=l1或-11,

x=7或-15.

7.|〃?+1|的值為7或13

【分析】該題考查了絕對值的性質，一元一次方程,代數式求值,分為當m在2的左側即加<2

時，和當，〃在2的右側即,〃>2時，分別化詢求出機的值，再代入“算即可.

【詳解】解：的幾何意義是數軸上表示數機和2兩點之間的距離.

當用在2的左側，即加<2時，卜〃-2|==10,解得：加=一8,

此時加+"=卜8+1|=7；

當加在2的右側，即/〃>2時，］〃?一2|=〃?-2=1(),解得：〃?=12,

答案第3頁，共22頁

此時帆+1|=|12+1|=13；

綜上所述，|〃?+1|的值為7或13.

8./=1

【分析】本題主要考查了絕對值的幾何應用，數軸上兩點距離計算，根據絕對值的幾何意義

得到|2+4|+/-1|+"8|=12為數軸上表示數/的點到表示數—4,1,8這三個點的距離之和

為12,再借助數軸分析，即可解題.

【詳解】解：++8|=12的幾何意義是數軸上表示數/的點到表示數—4,1,8

這三個點的距離之和為12,

ABPC

III1、

-4I/8

即圖中P/+PB+PC=12,

由圖可知，PA+PB+PC>AC=\2,

只有當點尸與點8重合時，PA+PB+PC=4C=12,

9.y=3

【分析】本題考查了絕對值的非負性，化簡絕對值，解一元一次方程，解題的關鍵是掌握絕

對值的非負性.

先由絕對值的非負性得到y(tǒng)-liO,那么|尸1|=k1,則得到卜-2|+,+八5|=0,再由絕

對值非負性得到方程，求解即可.

【詳解】I?：v|x-2|+|x+^-5|+|j-l|=y-l,

二.歹—120,

???,-1|二尸1,

|x一2|++y_5|+y_[=y_],

|x—2|+|x+y—5|=0,

Xv|x-2|>0,|x+j；-5|>0,

x-2=0,x+y-5=0,

x=2,x+y=5,

答案第4頁，共22頁

y=3.

10.1

【分析】本題考查了絕對值的非負性，代數式求值.熟練掌握絕對值的非負性是解題的關

鍵.由題意知。+1=0,8-2024=0,求4,6的值，然后代入求解即可.

2

【詳解】解：v(fl+l)4-|/)-2024|=0,

a+1=0,b—2024=0,

解得a=-l,b=2024,

A(-1)2024=I,

故答案為：1.

11.10

【分析】本題考查了代數式的求值、絕對值的非負性、相反數，熟練掌握相關知識點是解題

的關鍵.由題意得，|x-2|+|J，+6|=0,利用絕對值的非負性求出X/的值，再代入2》-)，即

可求值.

【詳解】解：..卡—2|與|j+6|互為相反數，

|jr-2|+|^+6|=0,

/.x-2=0,y+6=0,

/.x=2,y=-6,

2x-y=2x2-(-6)=10.

故答案為：10.

12.a+b=l

【分析】本題考查了絕對道的非負性質，代數式求值，幾個非負式子相加等于0,則每個式

子的值都是0.

首先得至張一4|二。一4,推出卜-2|+也一5|=0,然后得到a—2=0,且力一5=0,求出”2,

6=5,代入a+b求解即可.

【詳解】解：v|a-2|+|Z>-5|+|c-4|=c-4,

c-4>0,

|c—4|—c—4,

答案第5頁，共22頁

.\|?-2|+|Z)-5|=0,

:.a-2=0,且6-5=0,

**.—2,h=S9

a+b=7.

13.(1)①4；@|A-4|；③-2

⑵①6：②5或-3

(3)9

【分析】本題考查了絕對值的幾何意義是數軸上兩點之間的距離，理解絕對值的幾何意義是

解題的關鍵.

(1)直接根據題干中兩點之間的距離公式計算即可；

(2)①分析出卜+2|+卜-4|的意義，再結合數軸可得；

②分析出|x+2|+|x-4|=8的意義，再根據兩點之間的距離為8列式計算即可；

(3)分5種情況去絕對值符號，計算各種不同情況的值，最后討論得出最小值.

【詳解】(1)解：①在數軸上表示-2與-6兩點間的距離是卜2-(-6)|=4；

②在數軸上表示x與4兩點間的距離是卜-4|；

@|x+2|=|x-(-2)|

則在數軸上表示x與-2兩點之間的距離為卜+2|；

(2)解:①當表示數x的點在-2與4之間移動時，

卜+2|+|x-4|表示數軸上工與-2的距離和與4的距離之卻，

則此時卜+2|+*一4|=4一(-2)=6；

②卜+2|+W-4|=8表示數軸上x與一2的距離和與4的距離之和為8,

則x的值為一2—十8-6=-3或4+8—-6=5；

22

(3)解：,+2|+k+1|+卜一2|十k一4|表示數軸上工分別與4,2,-1,一2的距離之和，

xN4時，原式=X一4+工一2+*+1+工+2=4工一3,此時的最小值是13；

2W4時，原式=4-x+x-2+x+l+x+2=2x+5,此時的最小值是9；

答案第6頁，共22頁

-I<x<2H^t，原式=4-x+2-x+x+l+x+2=9,

-24KW-1時，原式=4-x+2-x-l-x+x+2=7-2x,此時的最小值是9：

x《-2時，原式=4-x+2-x-I-2-x=3-4x,此時的最小值是11,

綜上：|x+2|+k+l|+|x-2|+|x-4|的最小值為9.

14.D

【分析】根據依-旬=10,口-4=6得出/）和d之間的距離，從而求出8和c之間的距離，然

后假設。表示的數為0,分別求出從c,d表示的數，艮J可得出答案.

【詳解】解：v|a-</|=10,

和d之間的距離為10,

假設a表示的數為0,則d表示的數為10，

^\a-b\=6,

”和6之間的距離為6

:力表示的數為6,

?-\h-d\=4,

?,.|6-c|=2,

表示的數為8,

???|c-M=|8-10|=2,

故選：D.

【點睛】本題主要考查數軸上兩點間的距離、絕對值的意義，關鍵是要能恰當的設出。、機

。、d表示的數.

15.B或E

【分析】先利用數軸特點確定a,b的關系從而求出a,b的值，確定原點.

【詳解】解：當為A為原點時,|a|+|b|>3,

當B為原點時,|a|+|b|可能等于3,

當C為原點時,|a|+|b|<3,

當D為原點時，|a|+|b|<3,

當E為原點時，|a|+|b|可能等于3.

故答案為：B或E.

【點睛】本題主要考查的是數軸與絕對值，分類討論是解題的關鍵.

答案第7頁，共22頁

16.34,+2|4-3或5

【分析】①根據題目中公式求解即可；

②根據題目中公式求解即可；

③根據題目中公式求解即可；

④分為三種情況討論，第一種x<-3,第二種第三種x>\,分別求解即可；

⑤方法一：根據④求解方法，可得原方程等號左側最小值為4,而日前值為8,囚此將3和

-I同時向左或向右移動三個單位即可；方法二：根據題意，參考④的方法，分三種情況

套路即可.

【詳解】①|2-5|=3,所以2和5之間的距離為3；

②卜3-1|=4,所以-3和1之間的距離為4；

③卜-(-2)|邛+2|,所以x和.2之間的距離為|x+2|：

④當第一種情況x<-3時，原式=—(x—l)—(x+3)=—2x-2,無最小值

當第二種情況—34x41時，原式=-(x—l)+(x+3)=—x+l+x+3=4,所以最小值為4

當第三種情況時，原式=(x-l)+(x+3)=2x+2,無最小值

所以原式的最小值為4：

⑤方法一：根據④得到|x-3|+|x+l|當-lvxv4時，最小值為4

因為|x-3|+|x+l|=8,所以將3向右移動2個單位或-1向左移動兩個單位，此時x到兩點的距

離和為8,此時x=-1-2=-3,或x=3+2=5

因此x=-3或5

方法二：當xV-l時，得-(x-3)-(x+l)=8,解得x=-3

當-1<XW3時，得—(x—3)+(x+l)=8,此時無解

當x>3時，得(x—3)+(x+l)=8,解得x=5

故原方程的解為-3或5

故答案為①3；②4；③|x+2]:④4；⑤-3或5.

【點睛】本題考查了絕對值的意義，絕對值返程，熟練掌握絕對值的含義是本題的關鍵，絕

對值的幾何意義表示兩點間的距離.

17.(1)-a,b；(2)2或-2；(3)-1

答案第8頁，共22頁

【分析】(1)根據絕對值的性質即可解答；

(2)根據。<0,bc>(),判斷出b,c同號，再對b,c的符號進行分類討論，利用絕對值

的性質即可化簡；

(3)根據。兒=0,且a+6+c=0,可得a,b,c可能是一正兩負，或者是兩正一負；進行

分類討論，利用絕時值的性質進行化簡即可.

【詳解】解：(1)若則l〃l=-a,

若b>0,則I昨b,

故答案為：-a,b：

(2)v?<0,be>0,

??.b,c同號,

①若。<0,b<0,c<0,則ab>0,ac>(),

aabacbe.,.,_

——+——+——+—=-14-1+1+1=2,

-aabacbe

②若a<0,b>0,c>0,則abVO,ac<0,

aabacbe,.,,,

:.—+-------1------+—=-1-1-1+1=-2,

-a-ab-acbe

abci*'be

綜上所述，-^^+[丁+尸;+7^的值為2或-2；

l?lI如1敬1I如

(3)vabc0,且a+&+c=0,

???a,b,c可■能是一正兩負，或者是兩正一負;

①若a,b,c是一正兩負，不妨設a為正，b,c為負,

abcabbeacabc

Oil------+------+------+---------+--------+---------+-----------

\a|161\c\\ab|15c|\ac\\abc\

abcabbeacabc

=—+—+—4--------4--+--------4---------

a-b-c-abbe-acabc

=1+(-1)+(-1)+(-1)+1+(-1)+1

②若a,b,c是兩正一負，不妨設a,b為正，c為負,

abcabbeacabc

貝1]—+—+—+J-+

⑷叫?|ab||bc|14cl\abc|

abcabbeacabc

+_1_

一—__T_I.十_1_十4-十41

ab-cab-be-ac-abc

=1+1+(-!)+l+(-l)+(-l)+(-l)

=-l

答案第9頁，共22頁

，上abcahbeacabc上,，…,

綜上所述：T~\+7r\+r~\^"r~r\+7r~\+'\—i+cn的值為」?

|a||Z?|\c\\ab\\bc\\ac\\abc\

【點睛】本題主要考查了絕對值性質以及有理數的運算，解題的關鍵是討論字母的符號進行

分類討論.

18.5或7或8或4

【分析】由絕對值的非負性質可知和|x-3|這兩個非負整數一個為1,一個為0,即

|x-j|=l,|x-3|=0或卜-3|=1,|x-y|=0,然后解絕對值方程組即可,.

【詳解】解：因為解/均為整數，17|+k-3|=1,

可得：\x-y\=^t|x-3|=0?￡|x-3|=l,\x-y\=ot

二當工一3=0,x-y=\t可得：x=3,y=2,則x+y=5：

當x-3=0,x-y=-\,可得：x=3,y=4,則x+y=7；

當x—3=l,x—y=U,可得：x=4,y=4,則x+y=8：

當x-3=-l,x-y=(),可得：x=2,y=2,則x+y=4,

故答案為5或7或8或4.

【點睛】本題考查了絕對值性質，由非負整數和為1得出加數分別為I和0,然后分類討論

解含絕對值的方程是關鍵.

19.0

【分析】本題考查絕對值的意義、有理數四則混合計算，應用“分類討論''的數學思想是關鍵.

根據。、b、c,是非零實數，且a+b+c=0可知。，A,c為兩正一負或兩負一正，按兩種情

況分別討論代數式的可能的取值，再求所有可能的值即可.

【詳解】解：:。，b,。為非零有理數且4+/)+c=0,

由已知可得：a,b,c為兩正一負或兩負一正.

①當。，b,c為兩正一負時，不妨設。、b為正，。為負:

bcabcababc.,,.

?=—+-+—+-----=0.

.?同網同\ahc\ab-c-abc

②當“，b,c為兩負一正時，不妨設a、b為負,C為正,

abcabc

綜上所述，時+網+向+網的值為。?

故答案為：().

答案第10頁，共22頁

20.B

【分析】根據絕對值的性質可得卜-2卜1=±0,然后討論x22及x<2的情況下解的情況，再

根據方程有三個整數解可得出。的值.

【詳解】解：①若卜-2卜1=〃,

當x22時，x-2-l=a,解得：x=〃+3,a>-\；

當x<2時，2-工-1=〃,解得：x=\-a；a>-1；

②若卜-2卜l=-a,

當x22時，工-2-1=一。,解得：x=-a+3,a<\；

當2時，2-工-1=-〃,解得：x=a+1,a<1；

又??,方程有三個整數解，

???可得：a=-1或1,根據絕對值的非負怦可得：a>0.

即。只能取1.

故選：B.

【點睛】本題考查含絕對值的一元一次方程，難度較大，掌握絕對值的性質及不等式的解集

的求法是關鍵.

21.a<3

【分析】分類討論求出不同情況下卜-2|十卜-5|的取值即可求出”的取值范圍.

【詳解】解：當x<2時，

|x-2|+|x-5|=2-x+5-x=7-2x>3；

當2Wx<5時，

|x-2|+|x-5|=x-2+5-x=3；

當人>5時，

|x-2|+|x-5|=x-2+x-5=2x-7>3；

綜上，|x-2|+|x-5|>3,

則當a?3時，卜一2|十卜一5,。恒成立.

故答案為：“W3.

【點睛】本題考食:的知識力、是求?元一次不等式的解集、化簡絕對值、含絕對值的?元?次

答案第11頁，共22頁

不等式，解題關鍵是對含絕對值的不等式分類討論求解.

22.x=-6或4

【分析】本題主要考查了絕對值方程，熟練掌握絕對值意義，注意分類討論，是解題的關

鍵.分三種情況討論：當x<-4時，當-44x42時，當x>2時，分別去絕對值，解方程即

可.

【詳解】解：令x+4=0,x—2=0,分別解得x=—4,x=2.

①當4<-4時，-(x+4)-(.r-2)=10,

-2x=12,

x=-6；

②當—4KxK2時，原方程化為x+4—x+2=10,此方程無解：

③當x>2時，x+4+x-2=10,

x=4.

綜上所述，1=-6或4.

23.最大值為5,最小值為-3

【分析】此題考查了化簡絕對值，整式的加減運算，解題的關鍵是掌握以上知識點.

根據題意分-2Wx?2和x<-2兩種情況討論，然后分別化簡絕對值，利用整式的加減君算

法則求解即可.

【詳解］解：當_2?x?2時，卜一3卜卜+2|=3-x-x_2=l_2x,

二當％=-2時，有最大值>2x(-2)=5：

當x=2時，有最小值1-2x2=-3；

當x<—2時，|x_3|一|x+2|=3_x+x+2=5.

綜上可得最大值為5,最小值為-3.

24.x=-10或2

【分析】本題主要考查了絕對值方程，熟練掌握絕對值意義，注意分類討論，是解題的關

鍵.分三種情況討論：當x<-l時，當時，蘭彳212時，分別去絕對值，解方程

即可.

【詳解】解：分三種情況討論：

①當時，一(x-12)=-2(x+l)+4,

答案第12頁，共22頁

解得：x=-10；

②當一14x<12時，一"一12)=2"+1)+4,

解得x=2；

③當xZ12時，x-12=2(x+l)+4,

解得x=-18<12不成立.

綜上所述可知：x=-10或2.

25.17

【分析】本題考查了絕對值和數軸上兩點間的距離，熟練掌握用絕對值表示數軸上兩點間的

距離是解題關鍵.

【詳解】解：?.F=|X-3|,6=|X-1|,C=|K+12|

3a+b+c=3|x-3|+|x-l|+|x+12|

因為3|x—3|+|x-l|+|x+12|表示。到1,72的距離以及到3的距離的3倍之和,

所以當x=3時，它們的距離之和最小，

此時3a+b+c=\l\

故答案為：17.

26.105

【分析】利用絕對值的意義判斷即可.

【詳解】解：?.也+100|+|》-2|+|工-5|表示數軸上一個動點一到-100,2,5三個點之間的距

離之和，

.?.當x=2時,|x+100|+|x-2|+|x-5|最小，此時最小值為

|2+100|+|2-2|+|2-5|=102+0+3=105,

故答案為：105.

【點睛】本題考有了絕對值的意義，熟悉幾個絕對值求和的規(guī)律以及絕對值的幾何意義是解

題的關鍵.

27.-1<X<12144

【分析】本題主要考查了絕對值的幾何應用，數軸上兩點距離計算,①由題意得，,+1,卜-1|

表示的是數軸上表示數x的點到表示數1和數-1的點的距離之和，設點4點8,點C表

示的數分別為-1,1,X,則|x+l|+|x-1|=4C+8C,分點。在點4左側，點。在點力和點

答案第13頁，共22頁

8之間時（包括力和8）,點。在點8右側，三種情況結合數軸可得當點。在點力和點8之

間時（包括力和B）,4C+8C有最小值，最小值為”的長；則當-1"<1時，|x+l|+|x-1|

取最小值，據此求解即可；②同①可知當1WXW24時，卜-1|小-24|有最小值，當24x423

時，卜一2|小一23|有最小值,當3"M22時，k-3|巾-22|有最小值,……,當12WxW13

時，卜―12H丫-1可有最小值，則當12&x<13時，卜―1卜］丫-2|+|丫一3|*1—24］有最小

值，據此求解即可.

【詳解】解：①由題意得，k+l|+|x-l|表示的是數軸上表示數x的點到表示數1和數T的

點的距離之和，

設點4點8,點。表示的數分別為—1,1,X,則|x+l|+|x—l|=4C+8C,

當點。在點力彳側時，AC+BC=2AC+AB>AB：

CAB

-5-4-3-2-1012345

當點。在點力和點〃之間時（包括4和4）,則力。+8。=48；

ACB

11111111111^

-5-4-3-2-1012345

當點。在點4右側時,則AC+BC=AB+2BC>AB；

ABC

-5-4-3-2-1012345

綜上所述，當點C在點力和點4之間時（包括力和8）,4C+8C有最小值，最小值為

的長；

.??當-14x41時，卜+1|巾-1|取最小值，最小值為1-（-1）=2,

故答案為：-1<X<1；2：

②同①可知當1W24時，1-1|巾-24|有最小值,

當2W23時，卜一2|十|工一23|有最小值,

當3W22時，卜-3|+卜-22|有最小值,

...,

當12WxW13時，1一12|+歸一13|有最小值,

綜上所述，當12所xW13時，卜-1|+?-24|,k_2|可/_23|,4-3|+|*-22|....

答案第14頁，共22頁

1-12|+卜-13|能同時取得最小值,

即當12WxW13時，1一1|+「一2|+|%-3|+…+卜-24|有最小值,

最小值為24-1+23-2+22-3+21-4+3+13-12=144,

故答案為：144.

?八2h-a+3cb-2a+3c

28.——-——或——-——

【分析】本題考查了絕對值的性質、整式的加減，根據題意將〃分成〃>0時，即

6<0時，即-。<力<()<"根據絕對值的性質及幾何意義進行化簡，即可求解：理解絕對

值的幾何意義，能進行分類進行討論是解題的關鍵.

【詳解】解：^\a\<\b\<\c\,。<0,c>0,

故當6〉0時，a<0<b<c,即一。<0<—。<力，

v1%+4+：,一4+k+

JJ

.?.當x=_q時，

|x-(-a)|+|x-/>|+|x-(-e)|的最小值為V到-C之間的距離,

p-(-C)|為-。到H之間的距離,

???：[卜-(-。)|+卜-4+卜-(-訓+共L(F)|的最小值為

2b+2c-a+c

=------+------

33

_2b-a+3c

=3-：

當力<0時，b<a<0<c,

即一。vbV0<-a,

,.,■||x+i7|+|-|x-h|+|x+c|

=|[|^-(-?)|+|x-Z)|+|x-(-c)|]+!|x-(-c)|;

.?.當X=b時,

k一(-。)|+卜-/)|+卜-(-。)|的最小值為一。到F之間的距離，

答案第15頁，共22頁

X-為。到Y之間的距離,

???|［卜-（-。）|+k-4+卜-（-叫］+；,-（-。）|的最小值為：［-"（-。）］+；［“-（-。）］

-2a+2cb+c

=-------+----

33

_b-2a+3c

~3，

故答案為：至二產或咨土主.

JJ

29.-4

【分析】本題考查了絕對管的化簡，整式的加減，首先找到駐點，確定x的取值范圍，分類

討論確定”和小的值，再計算T7m的值，運用分類討論是解題的關鍵.

［詳解】解：???當xWT時，k+l|+|x_l|=_x_l_x+l=_2xN2,

當一ICJVCI時，|xI1卜上一1|=x+1I1X=2,

當xNl時，|x+l|+|x-l|=x+l+（x-l）=2x>2,

二〃=2,

???當x4-1時，|—x-1|—|x-1|=-x-1—（I-A-）=-2；

當一1cxvl時，|-x-l|-|x-l|=x+l-（l-x）=2x,-2<2x<2；

當時，|-X-1|-|A:-1|=X+1-（X-1）=2,

:.m=2,

=-22=-4,

故答案為：-4.

30.5或16

【分析】本題主要考查了絕對值的定義，數軸上兩點間的距離等知識，

（1）根據數軸上兩點之間的距離公式計算即可；

（2）分、<-1、-l<x<5,x>5分別化簡，結合x的取值范圍確定代數式值的范圍，從而

求出代數式的最大值；

熟練掌握絕對值的定義是解決此題的關鍵.

【詳解】（1）由絕對值的幾何意義知：卜-3|=2表示在數軸上x表示的點到3的距離等于

2,

答案第16頁，共22頁

???x=3+2=5,或x=3-2=1,

???x=5或1；

故答案為：5或1；

（2）當時，即表求x的點在-1的左側時，

|x+11-|x-5|=-x-1-（5-x）=-x-1-5+x=-6

當TSx'5時，即表求x的點在T和5之間時

卜+1卜|工-51=x+l-（5-x）=x+l-5+x=2.x—4,

二-642x-446,

當x>5時，即表求x的點在5的右側時卜+1卜|工一5|