專題15.2線段的垂直平分線（舉一反三講義）

【人教版2024]

颼題型歸納

【題型I根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求長度1.........................................................2

【題型2根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求角度】.........................................................4

【題型3根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求面積1.........................................................8

【題型4根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求最值】.........................................................12

【題型5根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求證明】.........................................................16

【題型6判斷是垂直平分線】..................................................................21

【題型7尺規(guī)作垂直平分線】..................................................................25

【題型8垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合】......................................................28

【題型9互逆命題和互逆定理】................................................................31

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的定義及其性質(zhì)

L定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.

2.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段西個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

書寫格式：如圖所示，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB.

3.尺規(guī)作線段的垂直平分線:

（1）以點(diǎn)A,B為圓心，以大壬3AB的長為半徑作弧，兩弧交于C、D兩點(diǎn):

（2）作為直線CD,CD為所求直線.

7c

八

力―TB

知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理

1.定義：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直壬分線上.

2.書寫格式：如圖所示，若PA二PB,則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.

知識(shí)點(diǎn)3互逆命題和互逆定理

兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作互逆血題，如果把其口一個(gè)叫作原

命題，那么另一個(gè)叫作它的逆命題.

如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理,其中一個(gè)定

理叫作另一個(gè)定理的逆定理.

【題型1根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求長度】

【例1】（2425八年級(jí)下?遼寧丹東期中）如圖，在A/IBC中，4。垂直平分BC,在A/IC尸中，CE垂直平分力凡

若CF=6,CD=5,則△45C的周長為（）

A.24B.22C.20D.18

【答案】B

【分析1此題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AC=CF=6,AB=AC=6,CD=BD=

5,進(jìn)而求解即可.

【詳解】????！甏怪逼椒?/，CF=6

：.AC=CF=6

垂直平分BC,

,.AB=AC=6,CD=BD=5

AAABC的周長為AC+48+CD+BO=6+6+5+5=22.

故選:B.

【變式11】（2425七年級(jí)下?四川成都?期中）如圖，將三角形紙片718c的一角沿4B的垂直平分線翻折，折痕

為DE,點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,已知△.4C。的周長是20,AE=6,則aABC的周長是.

A

【分析】本題考查了垂直平分線性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得到BE=AE=6,BD=4D,再結(jié)合以相。=4B+

BC-^-AC=4&+8占+4〃+〃（；+4（；求解，即可解題.

【詳解】解：：0E為力8的垂直平分線，AE=6,

：,BE=AE=6,BD=ADf

vChACD=20=AD+AC+DC,

則CMBC=H8+8C+AC

=AE+BE+BD-{-DC+AC

=AE+BE+AD+DC+AC

=6+6+20

=32；

故答案為：32.

【變式12］（2425八年級(jí)上?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖，F(xiàn)C=8cm,若MP和NQ分別垂直平分A8和/1C,則

△/.PQ的周長為cm.

A

【分析】本題考行了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.由線段垂直

平分線的性質(zhì)可得BP=4P,AQ=CQ,再根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：:MP和NQ分別垂宜平分48和4C,

：.BP=AP,AQ=CQ,

/.AAPQ的周長=AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ=BC=8cm,

故答案為：8.

【變式13】（2425七年級(jí)下?河南鄭州?期末）如圖，在△A8C中，AB=AC,48的垂直平分線交邊AB于點(diǎn)D,

分2種情況，①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)推得“=^BAE.ZC=ACAD,根據(jù)題意得乙/1E0+^ADE=

120°,利用三角形的外角的性質(zhì)求得乙8力E+4CAD=60°,根據(jù)48力C=LBAE+Z,DAE+即可求解;

②當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，^BAC=/.DAE=60°.

【詳解】解?：根據(jù)題意，有2種情況，

①如圖，

???4C與4?邊上的垂直平分線。M、EN分別交BC于點(diǎn)、D、點(diǎn)、E,

???AE=BE,AD=CD,

???Z.B=乙BAE,zf=Z.CAD,

vZ.DAE=60°,

￡AED+/-ADE=120°,

vZ.AED^L4BE的一個(gè)外角，Z.ADE^L力DC的一個(gè)外角，

二Z.AED=Z.B+Z.BAE=2/.BAE.Z.ADE=zC+Z-CAD=2/.CAD,

二2/.BAE+2Z.CAD=120°,

Z.BAE+乙CAD=60°,

Z.BAC=Z,BAE+/.DAE+Z.CAD=120°.

②如圖，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,

A

8(0C(E)

此時(shí)，Z.BAC=Z.DAE=60°.

???綜上所述,LBAC=60?；?20。.

故答案為:60?；?20。.

【變式21】（2425八年級(jí)下?山西晉中?期中）如圖，△/18C中，邊的垂直平分線分別交4C,AB于點(diǎn)D,E,

連接BD.若乙。=24。，DB1BC,則44的度數(shù)為（）

A

D

-----------——

A.24°B.30°C.33°D.66°

【答案】C

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰二角形的性質(zhì)，二角形的外角性質(zhì)等，由線段垂直平分線

的性質(zhì)得40=8。，即得=由直角三角形兩銳角互余得乙BOC=90。一4C=66。，進(jìn)而由三角

形外角性質(zhì)可得2乙4=66。，據(jù)此即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???DE垂直平分居，

.*.AD=BD

LA=乙DBA,

，：DB1BC,

???，D8c=90。，

VzC=24°,

：.LBDC=90°-ZC=90°-24°=66°,

■:乙BDC=^A+4DBA=244,

.\2z/l=66°,

：.LA=33°,

故選：C.

【變式22］（2425八年級(jí)下?遼寧丹東?期中）如圖，在△48。中，LB=35°,乙C=50。，48的垂直平分線EF交

AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)"，dAC的平分線力。交FC于點(diǎn)D,則乙ZMF的度數(shù)為.

【答案】30730度

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，屬于常見題型，熟

練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出48力C=95。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)的性

質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得NB=々B/4F=35。，從而得N&4F=60。，然后根據(jù)角平分線印得答案.

【詳解】解：=35。，ZC=50°,

???Z.BAC=180°-50°-35°=95°,

???￡尸垂直平分48,

FA=FB,

：,ZB=LBAF=35°,

Z.CAF=ABAC-Z-BAF=95°-35°=60°,

???RD平:分

：

.LDAF=-Z2-FAC=30°,

故答案為：30。.

【變式23］（2425七年級(jí)下?山東威海?期中）如圖，在△48。中，川平分48/平分-1BC,點(diǎn)。是AC、BC

的垂直平分線的交點(diǎn)，連接A。、BO,若=a,則44的大小為（）

A.900+-aB.90。+%

24

C.900--aD.1800+-a

42

【答案】B

【分析】本題考查角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理，連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵.

連接C。并延長，交8/于點(diǎn)。，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知。4=。。，OB=OC,即得出NOC4=

^OAC,4）CB="BC,結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可求出，力。8=2乙4C8=a,即N/C8二泉再根據(jù)三角形

內(nèi)角和定理有2。48+乙。3力=180。一宗由角平分線的定義得出乙84/=：NC4B,乙ABI=："BA,再結(jié)

合三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：如圖，連接C。并延長，交BI于點(diǎn)D.

c

???點(diǎn)。是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，

???0A=OC,OB=OC,

：,LOCA=Z.OAC,Z-OCB=Z-OBC,

乙乙乙乙

：./.AOD=OCA+/-OAC=2Z-0CAtBOD=OCB+OBC=2z.0CBf

：.LAOB=Z.AOD+乙BOD=2/.0CA+2乙OCB=2/.ACB=a,

：,LACB=-,

2

：,LCAB+Z.CBA=180°-Z.ACB=180°-

2

???/4/平分434。，3/平分乙A3C,

=\LCAB,LABI=

22

:.LBM+Z-ABI=：QCAB+Z.CBA）=90°-^,

）

:.LAIB=180°-{/-BAI4-LABI=90°+4

故選B.

【題型3根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求面積】

【例3】（2425八年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，在ZM8C中，8D是A48c的中線，EF是8c邊的中垂線,

且8。與“相交于點(diǎn)G,連結(jié)AG,CG,若四邊形CDGE與四邊形4CEG的面積分別為8和13,則的面

積為（）

【答案】B

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩

個(gè)端點(diǎn)的距離相等.根據(jù)三角形的面枳公式計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：???四邊形CDGE與四邊形力C￡G的面積分別為8和13,

S^AGD=13—8=5，

???BD是AABC的中線,

SQCGD—SAAGD—5，

S^CGE=3,

???EF是8C邊的中垂線，

??.E是3C的中點(diǎn)，

SsBEG=S&CGE=3,

SQBDC=3+3+5=11,

?**SMBC=22?

故選：B

【變式31】(2425八年級(jí)上?浙江湖州?期中)如圖，4D是△4BC的對(duì)稱軸，E,尸是力。上的兩點(diǎn)，若BD=2,

AD=3,則圖中陰影部分的面積是.

【答案】3

【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，仝等三角形的判定和性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱圖形

的性質(zhì)是解題的關(guān)犍.

根據(jù)題意得到4。是8C的垂直平分線，可證△EEF"三△。石尸(555)，得到二5%七產(chǎn)，由此可得陰影部分的

面積為SM皿，由此即可求解?

【詳解】解：??N0是△48C的對(duì)稱軸，

???HD是BC的垂直平分線，

：?BE=CE,BF=CF,

在A8EF和ACEF中，

（BE=CE

BF=CF,

（EF=EF

/.ABEF三"（SSS）,

JSABEF=SACEF，

'S陰影=S&ABD~QBD,AD=-x2x3=3>

故答案為：3.

【變式32］（2425八年級(jí)上?廣東中山?期末）如圖，在△力BC中，AB=AC,BC=6cm,AB的垂直平分線交

AB于點(diǎn)交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)r為8c的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段0E上一動(dòng)點(diǎn)，若△BFM周長的最小值為10cm,

則ZM8C的面積是cm2.

【答案】21

【分析】本題考查軸對(duì)稱求最短距離、等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí).

由垂直平分線的性原可得4與A關(guān)于對(duì)稱，連接4尸，交EO于點(diǎn)連接2ML則當(dāng)人、"、"三點(diǎn)共

線時(shí)，△M'BF周長最小，即當(dāng)點(diǎn)M與“重合時(shí)，△8FM周長取得最小值，△8FM周長最小為力F+F8的長,

根據(jù)等腰三角形“三線合一''的性質(zhì)可得AO1BC,根據(jù)三角形面積公式即可得答案.

【詳解】解：???ED是線段AB的垂直平分線，

???4與8關(guān)于ED對(duì)稱，

連接4F,交ED于點(diǎn)W,連接BM'

?：AMr=M'B,

ACAM/BF=M'B+M'F+FB=AM'+M'F+FB>AF+FB,

當(dāng)A、M\尸三點(diǎn)共線時(shí)，△M'BF周長最小，即當(dāng)點(diǎn)M與M'重合時(shí)，ABFM周長取得最小值，

??N8FM周長的最小值為10cm,

:CMBF=AF+FB=10cm,

丁尸為BC邊的中點(diǎn)，AB=AC,BC=6cm,

,\AF1BC,BF=CF=3cm,

/./IF=10—3=7cm,

2

?*?ShABC=|xBCxAF=1x6x7=21cm.

故答案為：21.

【變式33］（2425八年級(jí)上?河北邯鄲?階段練習(xí)）如圖,在△ABC中,Z.BAC=45°,BC=4,S^ABC=12,

。為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。關(guān)于48,4C的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)E,F,連接AE,AF,EF,△AEF面積的最小值

為.

【答案】18

【分析】本題考查求三角形面積最小值的問題，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸

對(duì)稱的性質(zhì).根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得力七二/九酢=/!。，Z.EAB=/-DAB,Z.CAD=Z-CAF,等量代換得力E=

AF=AD,^EAF=90°,得△區(qū)4F是等腰直角三角形，再根據(jù)垂線段最短得當(dāng)4DJLBC時(shí)，AD取最小值，

即可作答.

【詳解】解：連接4D,如圖所示：

EB

D

A

???點(diǎn)。關(guān)于48,4c的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)E,F,

???4B是。E的垂直平分線，4c是DF的垂直平分線，

：,AE=AD.AF=AD,^EAB=^DAB,Z.CAD=^CAF,

：-AE=AF=AD,Z.EAF=2/.BAC=90°,

是等腰直角三角形，

:.當(dāng)jE最小即4D取最小值時(shí)，△AEF的面積最小，

???當(dāng)4D18C,AD取最小值,

*：BC=4?S&ABC=12,

：

.-2x4xAC=12,

/?71C=6,

力的面積的最小值=22

:.LEF-2XAE=2-XAC=18,

故答案為：18.

【題型4根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求最值】

【例4】（2425八年級(jí)上?江蘇揚(yáng)加?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，AB=AC,BC=4,面積是12,AC的垂

直平分線EF分別交4B,4C邊于點(diǎn)E,F.若點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△PCD周長

的最小值是（）

A.8B.3C.6D.4

【答案】A

【分析】本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，連接力。，力R由43=

4C,點(diǎn)。是8c邊的中點(diǎn)，則A0J.8C,再根據(jù)三角形的面積公式求出力。的長，再根據(jù)E尸是線段〃的垂直

平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線E尸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)力，當(dāng)力、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，即AD的長為CP+PZ）的最小值，由

此即可得出結(jié)論，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接力D,AP,

,?MB=AC,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn),

：.AD1BC,

：.S^ABC=\BCAD=^X4XAD=12,

,.AD=6?

???EF是線段力C的垂直平分線，

???點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)4

???當(dāng)A、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，即力。的長為CP+P。的最小值，

:.4CDP的周長最短=（CP+P0）+CD=40+38C=6+：x4=6+2=8,

故選：A.

【變式41】（2425八年級(jí)上?河北邯鄲?期末）如圖，在△ABC中，直線m是線段BC的垂直平分線，點(diǎn)P是直

線n上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若48=7,AC=4,BC=5,則△APC冏長的最小值是.

【答案】11

【分析】本題考查了軸對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)最值問題中的“將軍飲馬”問題，解法是：作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡的對(duì)稱點(diǎn),

由于點(diǎn)。關(guān)于直線血的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故當(dāng)點(diǎn)尸在48上時(shí)，4P+C產(chǎn)值的最小，求出長度即可得到結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)直線m交于。，連接BP,如圖所示：

???直線m是的垂直平分線，

???8、C關(guān)于直線m對(duì)稱，BP=PC,

??.當(dāng)P和。重合時(shí)，4P+CP的值最小，最小值等于48的長，

:.LAPC周長=AP+PC+AC,且AP+CP的最小值等于48,

JA4PC周長的最小值是48+4C=7+4=11,

故答案為：11.

【變式42］如圖，在A/IBC中，AB=AC,AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M,AB=12cm,△BMC

的周長是20cm,若點(diǎn)P在直線MN上，則P4-P8的最大值為.

【答案】8cm/8厘米

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到M4=MC,再利用三角形兩邊之差小于第三邊解答即可.

【詳解】解：「MN垂直平分力C,

???MA=MC,

又：C^BMC=BM+MC+BC=20cm,BM+MA=AB=12cm,

???BC=20-12=8cm,

在MN上取點(diǎn)P,連接24、PB、PC,

VMN垂直平分AC,

PA=PC,

PA-PB=PC-PB,

在AP8C中PC-PB<BC,

當(dāng)P、B、C共線時(shí)，即P運(yùn)動(dòng)到與P'重合時(shí)，（PC—PB）有最大值,

此時(shí)PC-PB=BC=8cm.

故答案為:8cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段之差的最大值，熟練運(yùn)用三角形邊角關(guān)系與垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式43］（2425七年級(jí)下?江蘇泰州?期末）在山△ABC中,=90。,IB=5,AC=12,BC=13,EF垂

直平分48,點(diǎn)P是EF上一動(dòng)點(diǎn)，過P作P，_L8C,垂足為點(diǎn)〃，連接BP,則8P+P4的最小值為.

【答案】工

【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形的高，利用垂直平分線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化8P是解題的關(guān)鍵.連接力P,

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到4P=BP,則有BP+PH=AP+PH>AH,分析可知當(dāng)力,P,”三點(diǎn)共線時(shí)，BP+

PH有最小值，最小值為AH的長，此M4H是的高，再利用等面積法即可求解.

【詳解】解：如圖，連接4P，

BHC

r垂直平分AB,點(diǎn)P是E尸上一動(dòng)點(diǎn)，

：,AP=BP,

+PH=AP+PH>AH,

，當(dāng)A,P,H三點(diǎn)共線時(shí),BP+PH有最小值,最小值為AH的長,

?：PHLBC,A,P,H三點(diǎn)共線,

???此時(shí)4”是RtA4BC的高，

.??ABAC5x1260

..AH=------=------=—

BC1313

???BP+P，的最小值為黑

故答案為:黑

【題型5根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求證明】

【例5】(2425八年級(jí)上?廣東潮州?期中)如圖，在AABC中，邊的垂直平分線匕交BC于點(diǎn)D,AC邊的垂

直平分線G交BC于點(diǎn)￡。與。相交于點(diǎn)O，連接。4OB,0C.

(1)若△ADE的周長為8cm,線段8c的長為；

(2)判斷點(diǎn)O是否在BC的垂直平分線上：

(3)若血C=120°,求血B的度數(shù).

【答案】(l)8cm

(2)點(diǎn)。在8C的垂直平分線上

(3)LDAE=60°.

【分析】本題主要考查了垂克平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線

上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出ZL4=DB,EA=EC,求出BC=BD+DE+EC；

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出=08,0A=0C,推出。8=0C,即可證明點(diǎn)。在BC的垂直平分線上;

(3)根據(jù)三角形內(nèi)角和得出乙i8C+\C8=60。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出=4ABC,^EAC=

乙4CB,根據(jù)4￡ME=LBAC-乙BAD-4E4C求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：是力8邊的垂直平分線，

：.DA=DB,

??，2是AC邊的垂直平分線，

：,EA=EC,

??N4DE的周長為8cm,

：.BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8(cm)：

故答案為：8cm；

(2)解：點(diǎn)。在BC的垂直平分線上，

理由：???"是48邊的垂直平分線，

???0A=0B,

??，2是力。邊的垂直平分線，

：,0A=0C,

：,0B=OC,

???點(diǎn)O在的垂宜平分線上；

(3)解：*：￡.BAC=120°,

：.LABCZ.ACB=60°,

*：DA=DB,EA=EC,

J.￡BAD=^ABC,Z.EAC=/-ACB,

：,LDAE=/-BAC-乙BAD-^EAC=120°-60°=60°.

【變式51】(2425八年級(jí)上,河南南陽?階段練習(xí))演繹推理的方法是研究圖形屬性的重要方法，請(qǐng)你認(rèn)真閱

讀并完整解答.

圖1圖2

(1)如圖1,直線MN是線段A8的垂直平分線，戶是MN上任一點(diǎn)，連接/M、PB,將線段88沿直線MN對(duì)折,

我們發(fā)現(xiàn)P/1與完全重合，由此可得線段垂直平分線的性質(zhì)定理：.

(2)請(qǐng)你結(jié)合圖形把已知和求證補(bǔ)充完整，并寫出證明過程.

已知：如圖1,MN1AB于點(diǎn)C,，點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn).求證：.

證明：

(3)如圖2,CD是線段AB的垂直平分線，^CAD=22°,Z.CBA=50°,則=IDP=.

【答案】(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等

(2)AC=BC；PA=PB-,證明見解析

(3)62°

【分析】此題考查的是軸對(duì)稱圖形、線段垂直平分線的性質(zhì)，經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直了這條線段

的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線

(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)即可解答：

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及全等二角形的判定與性質(zhì)即可解答；

(3)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余即可解答.

【詳解】(1)解：???直線MN是線段4B的垂直平分線，

AC=BC,乙4cp=Z-BCP=90°

在小"和中

l^ACP=Z-BCP

(PC=PC

.??△4CP^CP(SAS)

???AP=BP.

即線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.

(2)解：已知：如圖1,MN14B于點(diǎn)C,4c=8C,點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn).求證：PA=PB.

故答案為：AC=BC；PA=PB；

證明：解：；MN1AB,

:.LACP=Z.BCP=90°

在ZMC尸和aBCP中

(AC=BC

\/LACP=Z-BCP

(PC=PC

:心ACP=△5CP(SAS)

AAP=BP.

(3)解：???CO是線段AB的垂直平分線，

:.AC=BC,Z.APC=90°.

???"AB=LCBA=50°.

Z.CAD4-(DAP=乙CAB,

???/DAP=/.CAB-ACAD=50°-22°=28°.

vZ.DAP+Z.ADP=90°,

二Z.ADP=90。-^DAP=90°-28°=62°.

【變式52］如圖，在。中，ADIBC,E尸垂直平分AC,交力C于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)、E,且80=DE,連接力￡

⑴求證：AB=EC；

（2）若AABC的周長為42cm,AC=16cm,求OC的長.

【答案】（I）證明見解析

（2）DC=13cm

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相

等是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可4E=EC,再根據(jù)A0J.8C,BD=DE,得到4。是BE的垂直平分線，等量

代換，即可；

（2）根據(jù)題意，則4B+BC+4C=42cm,求出/B+BC=42cm-l6cm=26cm,再根據(jù)AB+BD+DE+

FC=26cm,得到DE+EC=13cm,最后根據(jù)DC=DE+EC,即可.

【詳解】（1）解：證明如下：

??飛/垂直平分AC,

*.AE=EC,

*：AD1BC,BD=DE,

???4）是BE的垂直平分線，

:?AB=AE,

：.AB=EC.

(2)解：的周長為42cm,

??AB+BC+AC=42cm.

AC=16cm,

*.AB+BC=42cm-16cm=26cm,

?:BD=DE,AB=EC,

,'.AB+BD+DE+EC=26cm,

*.2DE+2EC=26cm,

DE+EC=13cm,

*：DC=DE+EC,

*.DC=13cm.

【變式53](2425八年級(jí)上?山西臨汾?期末)如圖，在△48。中，AB=AC,Z,BAC=50°,ADLBC,垂足

為D,4C的垂直平分線交AC于點(diǎn)E,交力。于點(diǎn)八連接。尸.

（1）求［正：AF=BFx

⑵求“8。度數(shù).

【答案】（I）見解析

（2）LFBD=40°

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，具有

一定的綜合性，但難度不大，屬于常見題型，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

（I）連接CF,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AF=C"，再根據(jù)等腰三角形?,三線合一”的性質(zhì)證明力。是8c

的垂直平分線，得BF=CF,即可證得結(jié)論；

（2）由三角形的內(nèi)角和定理求出"8。=^ACB=65。,再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證明""=

^BAC=25°,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得=進(jìn)而可求得乙GIF=乙4。F=25。，然后根據(jù)角

的和差即可求出48CF,由CF=可得上FBD=4BCF,即可求出答案.

【詳解】（1）證明：連接CF,

???E?是力C的垂直平分線，

二AF=CF,

vAB=AC,AD1BC,

二BD=CD,

.?.49是BC的垂直平分線，

DF=CF,

???AF=BF；

(2)解:AB=AC,LBAC=50°,

：,￡ABC=/-ACB=1(180°-ABAC)=65°,

*：AD1BC,

AZ.CAFAC=25°,

2

???AF=CF,

:.￡CAF=^ACF=25°,

???/FBD=乙BCF=40°.

【題型6判斷是垂直平分線】

【例6】（2425八年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知：如圖，AB=AC,BELAC.CD1AB,垂足分別為E、D.

(1)求證：AD=AE-,

(2)連接40、BC,判斷直線4。與BC的關(guān)系.

【答案】(1)見解析

(2)40垂直平分8c

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，掌握全等三角

形的判定方法是本題的關(guān)鍵.

(I)由“AAS”可證A/IOC三△力E8,可得4D=4E；

(2)由全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得NDCB=ZJ?BC,進(jìn)而可得。B=OC,即可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???BEJ.力C,CDLAB,

乙ADC=LAEB=90°,

在A/WC和△4EB中，

(Z.A=LA

\/LADC=Z.AEB,

(AC=AB

???△ADC三△AEB(AAS),

:.AD=AE；

(2)解：4。垂直平分BC,理由如下：如圖，

BCvAB=AC,

???/.ABC=Z.ACB,

△ADCAEBt

:.Z.ABE=Z.ACD,

:.Z.DCB=Z.EBC,

:.BO=CO,

又??」8=4C,

:.40垂直平分8C.

【變式61］（2425八年級(jí)下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖所示，在AABC中，。是A8上的一點(diǎn)，且4）=AC,

DEWBC,CD平分4EOF,求證：人/垂直平分CD.

A

【答案】見解析

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì).根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

乙CDE=LDCF,根據(jù)角平分線的定義得到NCD尸=NCDE,等量代換得到乙。。尸=求得點(diǎn)尸在線段

co的垂直平分線上，根據(jù)己知條件得到點(diǎn)人在線段co的垂宜平分線上，于是得到結(jié)論.

【詳解】證明：???。臼|8。，

：,LCDE=乙DCF,

???CO平分匕EDr，

:.乙CDF=LCDE,

:.乙CDF=乙DCF,

:,DF=CF,

???點(diǎn)尸在線段CD的垂直平分線上，

*：AD=AC,

:.點(diǎn)人在線段CO的垂直平分線上，

??"尸垂直平分CD.

【變式62］如圖，在四邊形中，AB=AD,BC=DC,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏

形

(1)求證：△ABCw/MDC；

(2)直線4C是線段80的垂直平分線嗎？請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)電線AC是線段BD的垂直平分線，理由見解析

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分的判定；

(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)垂直平分線的判定即可得出證明；

【詳解】(1)證明：在和△ADC中，

(AB=AD

8c=DC，

(AC=AC

**?AABC—△ADCi

(2)AC是線段BO的垂直平分線，理由如下：

*：AB=AD,BC=DC,

???4C在80的垂直平分線上，

即是線段80的垂直平分線.

【變式63］如圖，在△ABC中，AB=AC,BD,CE分別是邊4C,43上的中線，BD,CE相交7點(diǎn)O.

(1)求證：OB=0C.

(2)連接04，試說明直線。力是線段8。的垂直平分線.

【答案】(I)見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì).

(1)由“SAS”可證△ABDWAACE,由全等三角形的性質(zhì)可得N/IBD=N/CE,由等腰三角形的性質(zhì)可得

/.ABC=/-ACB,可證NOBC=NOCB,可得OB=0C.

(2)根據(jù)。8=0C,AB=AC,得出4、O在線段BC的垂直平分線上，即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???BD,CE分別是邊力C,上的中線，

：.AD=-AC,AE=-AB,

22

?：AB=AC,

??AD=AEf

在與△ACE中,

(AB=AC

Z./1=Z71,

^AE=AD

???AABE三△4CD(SAS),

：,LABD=Z.ACE.

°：AB=AC,

：,LABC=乙ACB,

J.LABC-Z.AHD=Z.ACB-4ACE,

：.LOBC=乙OCB,

：.0B=OC.

(2)證明:'：0B=0CfAB=AC,

???4、O在線段8C的垂直平分線上，

???兩點(diǎn)確定一條直線，

直線0A是線段8c的垂直平分線.

【題型7尺規(guī)作垂直平分線】

【例7】(2425七年級(jí)下?河南鄭州?期末)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)七是邊4c上一點(diǎn)，且8E平分乙48c.

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段BE的垂直平分線，且與邊BC交于點(diǎn)Q.(要求：不寫作法，保留作圖

痕跡)

(2)連接ED,求證：EDIIAB.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考杳了線段垂直平分線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖，等邊對(duì)等角，平行線的判定，熟知相關(guān)知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；

(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)可得。E=D8,再由等邊對(duì)等角和角平分線的定義可證明乙48E=NDEB,則

可證明DEIIAB.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求;

（2）證明：???線段BE的垂直平分線與邊8C交于點(diǎn)

：.DE=DB,

：.LDEB=乙DBE,

〈BE平分乙48C,

：.LABE=乙DBE,

：.LABE=乙DEB,

：.DE||AB.

【變式71】（2425八年級(jí)下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，請(qǐng)?jiān)谏险乙稽c(diǎn)P,使得乙B=^PCB.

【答案】作圖見解析

【分析】本題考查了線段垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作線段8c的垂直平分線，交48于

點(diǎn)P,可得PB=PC,即得=故點(diǎn)P即為所求，掌握線段垂直平分線的作法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求.

【變式72］（2425八年級(jí)上?河北俁定?期末）某社區(qū)經(jīng)業(yè)主商討決定在街道〃?上建一個(gè)垃圾站點(diǎn)。和鮮奶站

E,按要求完成下列作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法）.

⑴如圖1，小區(qū)A,8在街道，〃的異側(cè)，要使垃圾站點(diǎn)。到小區(qū)48的距離相等，請(qǐng)確定垃圾站點(diǎn)。的位

置(要求利用尺規(guī)作圖)；

(2)如圖2,小區(qū)A,C在街道〃[的同側(cè)，要使鮮奶站上到小區(qū)4。的距離之和最短，請(qǐng)確定鮮奶站￡的位

置.

【答案】(1)見解析;

(2)見解析.

【分析】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱一最短路線問題，熟練掌握線段

垂直平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

(I)結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)，作線段48的垂直平分線，交直線，〃于點(diǎn)/),則點(diǎn)。即為所求.

(2)取點(diǎn)C關(guān)于直線〃?的對(duì)稱點(diǎn)C',連接4。'交直線小于點(diǎn)E,則點(diǎn)E即為所求.

【詳解】(1)解：如圖1作線段的垂直平分線，交直線加于點(diǎn)。，則點(diǎn)。即為所求.

(2)解：如圖，取點(diǎn)C關(guān)于直線w的對(duì)稱點(diǎn)C',連接4C'交直線加于點(diǎn)E.此時(shí)\4E+CE=AE+CE=AC,

【變式73](2425八年級(jí)上?江蘇無錫?期末)如圖,與CO相交于點(diǎn)E,EC=ED,AC\\BD.

4二------c

o;

(1)求證：△4EC三△BED；

(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：求作等腰ACMN,使得點(diǎn)“在AC上，點(diǎn)N在80上，且MN經(jīng)過點(diǎn)E.(不

寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母)

【答案】(1)見解析

Q)見解析

【分析】本題考查了垂直平分線的作法，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定，菱形的判定，熟練掌握垂直平

分線的作法及三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N/1=48,乙C=m結(jié)合EC=E。，利用AAS即可證明△力EC三ABED；

（2）作G）的垂直平分線，分別交房8。于點(diǎn)時(shí),從連接CM,CN即可.

【詳解】（1）-ACWBD,

???NA=乙B,乙C=乙D,

S.LAEC和△BED中，

（Z.A=乙B

[EC=ED

.?.△4EC三△8EO（7L4S）；

（2）如圖：等腰△CMN即為所求作的三角形.

：.DN=CN,

VzC=Z-D,DE=CE/DEN=4CEM,

/.ADENCEM,

：,CM=DN,

：.CM=CN,

???△CMN即為所求.

【題型8垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合】

【例8】（2425七年級(jí)下?河南鄭州?期末）如圖，在四邊形4BCD中，AB||CD,E為BC的中點(diǎn)，且4E1DE,

延長DE交48的延長線于點(diǎn)F.若4。=12,CD=5,則4B的長為.

A

【答案】8

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直平分線的判定與性質(zhì),準(zhǔn)確推導(dǎo)出全等三角形并理解

線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.由“AAS”可證ABE尸三△CE。，可得EF=DE,BF=CD=4,由線段

垂直平分線的性質(zhì)可得710=AF=12,進(jìn)一步求解即可.

【詳解】解：???E為BC的中點(diǎn)，

:.BE=EC,

???ABIIDC,

???LF=乙CDE，乙FBE=乙DCE,

在Z.BEF與△CED中，

(LF=乙CDE

UFBE=Z.DCE,

(BE=CE

:.t.BEF=ACFD(AAS),

AEF=DE,BF=CD=4,

*：AEIDE,

：,AD=AF=12,

:.AF=AB+BF=AB+4=12,

???AB=8,

故答案為：8.

【變式81】(2425八年級(jí)下?陜西西安?期末)如圖，點(diǎn)力、8在直線m上，點(diǎn)P、”在直線n上，m1n于點(diǎn)0,

連接/P、BP、AH.BH,AP=BP,若=11,則8,的長為()

A.11B.10C.9D.8

【答案】A

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的判定定理，根據(jù)題意可證明PH垂直平分

AB,則由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：??NP=8P,

???點(diǎn)戶在線段43的垂直平分線上，

又*?7711九，

?"”垂直平分力8,

；?BH=AH=11,

故選：A.

【變式82】（2425八年級(jí)上?江蘇常州?期中）如圖，在△4BC中，是BC邊上的高，力。的垂直平分線交。。于

點(diǎn)E,RBD=DE,求證：AB+BD=DC.

【分析】連接力E