相似三角形?單元測(cè)試（提升卷）

建議用時(shí)：100分鐘，滿分：150分

一、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

1.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）

①所有正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】解：①所有正方形對(duì)應(yīng)用相等，對(duì)應(yīng)邊一定成比例，所以一定都相似，故①符合題意，

②矩形的每個(gè)角都等于90。，即對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，故②不符合題意，

③菱形的四條邊相等，即對(duì)應(yīng)邊成比例，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故③不符合題意，

④等腰三角形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，故④不符合題意，

綜上所述，符合題意的只有一個(gè)，

故選:A.

2.如圖所示，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的點(diǎn)48、C都在橫線上,

如果線段48的長(zhǎng)2,那么4C的長(zhǎng)足（）

【答案】B

【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)4作廣于點(diǎn)F,交過(guò)點(diǎn)8的平行線于點(diǎn)E,交點(diǎn)力所在直線的鄰近平行線于點(diǎn)D,

???五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的,

.?.設(shè)AD=DE=EF=h,

_AE_2h_2_2

''~AC~~AF~~3h~3~~AC'

解得AC=3.

故選:B.

3.已知~△4232c2s△43B3C3,△AiBiCi與△42&C2的相似比為2:1,△必當(dāng)?shù)呐c△心的心

的相似比為3:1,那么△心心的與2c2的相似比為（）

A.1:6B.2:3C.3:2D.6:1

【答案】B

【解析】解：282c2?3c3，△力$道1與△42&C2的相似比為2:1,析的與

△/I383C3的相似比為3:1,

：.iStA3B3=x,

a

則&Bi=3x,A2B2=產(chǎn)，

???43B3N2B2=x:|x=2:3,

.??△4383c3與△4282c2的相似比為2：3,

故選:B.

4.如圖，已知在△ABC中，G是aABC的重心，GE||BC,BC=8,那么GE的長(zhǎng)度為（）

A.gB.2C.gD.當(dāng)

【答案】C

【解析】解YG是AABC的重心，BC=8

??,CD=4,?由3

vGEHBC

.-.△AGE-AADC

二3DC3,即43,解得3

故選c.

5.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.而+而=0

B.AB-^-CB=AC

C.如果|而|=|而I，那么而=而

D.如果而=而，那么|而|=|而|

【答案】D

【解析】解：A選項(xiàng)，AB+BA=Q,題目中右側(cè)為標(biāo)量0,符號(hào)表述不嚴(yán)誣，選項(xiàng)A錯(cuò)誤:

B選項(xiàng)，AB+BC=AC,48+C8不一定等于/C,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，向量的模長(zhǎng)相等僅說(shuō)明長(zhǎng)度相同，但方向可能不同，因此AB與CD不一定相等，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，向量相等要求方向與長(zhǎng)度均相同,則模長(zhǎng)必然相等.D選項(xiàng)正確.

故選：D.

6.如圖，在正方形紙片A8C0中，E是AB邊的中點(diǎn)，將正方形紙片沿EC折疊，點(diǎn)3落在點(diǎn)P處，延長(zhǎng)CP交40

于點(diǎn)Q，連結(jié)4P并延長(zhǎng)交于點(diǎn)心

給出以下結(jié)論：?coszDCQ=I；②4P:PF=2:3.

其中正確結(jié)論是（）.

A.①錯(cuò)誤，②正確；B.①正確，②錯(cuò)誤;

C.①和②都錯(cuò)誤；D.①和②都正確.

【答案】A

【解析】解：如圖，連接EQ,過(guò)點(diǎn)/作FNIIAD交CQ于點(diǎn)N,

???在正方形紙片ABCD中，E是4B邊的中點(diǎn)，

AE=BE.

由折疊性質(zhì)可得BE=PE,

AE=PE,

AP_AQ_2

J，而=而=界=?

4

故②正確；

綜上，只有②正.

故選：A.

二、填空題（本大題共12小題，每小題4分，共48分）

7.%="宗則^=------

【答案】鄉(xiāng)瑞

【解析】解：設(shè)捻=，=”k則％=10k,y=8k,z=9鼠

.x+y+z_10A+8A+M_2Tk__27_

"y+z-—8k+9k—-17k-171

故答案為：條

8.如圖，若AE平行于8F,D為EF中點(diǎn),DF=3GD,^AG-.BG=

【答案】1:2

【解析】解:設(shè)GD=a,

?：D為EF中點(diǎn),DF=3GD,

:.DF=ED=3a,

:.EG=ED—GD=3a—a=2a,

:.GF=GD+DF=a+3a=4a,

-：AE||BF,

???△AGEBGF,

/1G_EG_2a_1

"'EG~~FG~~2'

故答案為：1:2.

9.如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,尸是邊AD的三等分點(diǎn).連接BE,C尸并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G,連接GD,則不安

的值為.

DC

【解析】解：平行四邊形ABCD中ACIIBC,AD=BC,

???點(diǎn)E,尸是功AD的三等分點(diǎn).

AE=EF=FD=^AD=^BC,

設(shè)SQABCD=M,則=S&DFC=5M,

2

AS四邊形EFC8=M—S&AEB—SADFC=-M,

???AD||BC,

.CPEF1

*#6C=PC=3*

GF1

?-7F=P

AS&GFD-I^ADFC=,

?*-S.GCD=SADFC+S^GFD=,

.SAGCD__3

"S四功形￡FCB-~8，

故答案為：

10.在“國(guó)旗在心中”活動(dòng)中，小曲星近距離觸摸五星紅旗，聆聽(tīng)紅旗的故事，如圖，在國(guó)旗上的五角星中,

C、0兩點(diǎn)都是線段AB的黃金分割點(diǎn).若AC=2,則｛8的長(zhǎng)為（結(jié)果保留根號(hào)）

ACDB

【答案】3+V5/V5+3

【解析】解：???C、0兩點(diǎn)都是線段48的黃金分割點(diǎn)，AC=2,

.”_娟T

~BC2~"

解得：Z?C=V5+1,

48=力。+8C=2+而+1=3+遍，

故答案為：3+V5.

11.如圖,。是△A"的功BC卜一點(diǎn),E是4。的中點(diǎn),EMIIAB,ENWAC.如果BC=6.那么MN的長(zhǎng)度為

【答案】3

【解析】"EMWAB,

.?.△DEMFDAB,

DMDE

??誨=次

???￡是A力的中點(diǎn),

DE1

??宜=2?

DM1

"'DB=2'

??.DM=抑?，

同理，EN||AC,得ADENsADAC,*=*

U/\L/C/

:?DN=皿，

；.MN=DM+DN=；DB+1DC=；(DB+DC)=^BC=3t

故答案為：3.

12.如圖在中，心力=90。,斜邊上的高力。交BC于。，若BD=9,CD=4,則40的長(zhǎng)度等于

【解析】解：由題意知，+Z.BAD=90°=/.BAD+^.CADf

:.乙B=Z.CAD,

又?.ZBO4=90°=Z.ADC,

△BDA~AADC,

ADBD,.AD9

二方=/即a丁=加

解得，川9=6或49=一6（舍去），

故答案為：6.

13.在兩條直角邊長(zhǎng)分別是20和15的直角三角形的內(nèi)部作矩形43CD,如果4B、分別在兩條直角邊上（如

圖所示），AD\AB=1:2,那么矩形ABCD的面積是__.

【答案】72

【解析】解：如圖所示,

???兩條直角邊長(zhǎng)分別是20和15的宜角三角形的內(nèi)部作矩形4BCD,

:/DAB=90°=乙BCD,AD=BC,AB=CD,CD\\AE,

:.乙DC卜=乙BEC,且=乙EBC=9U\

FD_CD

AcF一而’

t.'AD:AB=1:2,

??.設(shè)71。=BC=x,AB=CD=2x,則DF=15-x,BE=20-2xt

15-x_2x

**x=20-2x'

解得，x=6,

.?AD=6,AB=12,

矩形力BCD的面積是6x12=72.

故答案為：72.

14.在△48。中，點(diǎn)。、￡分別在邊43、4C上，DE\\BCf如果8c=9,s：：；；鼠=也那么OE=

【答案】3

【解析】解:如圖,

??s八ADE1

?S四邊形BCE。-8'

.S&AD￡_1_

S&\8c9,

???DEWBC,

???△AOEYABC,

.SAADE_(絲，_￡

,?SAARC-\BC)-9,

DE1

,正=7

又,：BC=9,

：?DE=\BC=3.

故答案為：3.

15.已知：如圖，在口4BCD中，E是邊48的中點(diǎn)，OE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)F.如果麗=G,AD=b,那

么EF=(用含鼠而勺式子表示).

D,C

A------E-------"B

【答案】節(jié)一濃

【解析】解：；在匚弘BCD中，E是邊48的中點(diǎn)，

EF_1

,,訪一§，

又“B=a,AD=b,

：?=^ED=+AD)=+/ID)=|[1(—a)+b]二步一而，

故答案為：至一淑.

16.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與氏滿足2a+/?=90。，那么我們稱這樣的三角形為“倍角互余三角形”,

已知在Rt△48。中，Z.ACB=90°.AC=3,BC=4,點(diǎn)。在邊上，且△力8。是“倍角互余三角形"，那么

80的長(zhǎng)等于.

【答案w或：

【解析】解：在RtaABC中，Z,ACB=90°,4c=3,BC=4,

：.AB=VA。+8c2—"32+42—5?

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作0E>L48于點(diǎn)E,設(shè)，84。=a/B-

第一種情況，當(dāng)2a+￡=90。時(shí)，

+p+Z.DAC=90°,

.'.Z.DAC=乙DAB,

“D是角平分線，

VZ.4CF=90°,^\DC1AC,且。EJ.48,

:.DC=DE,

在RtZXACD和RgAED中,

AD=AD

DC=DE'

.-.Rt△ACD^Rt△力ED(HL),

.,.AC=AE=3,

:.BE=AB-AE=5-3=2,

設(shè)DC=DE=x,則8D=BC-0C=4-x,

在BOE中，BD2=BE2+DE2,

.-.(4-%)2=x2+22,

解得,x=1,

3

.,.DC=DE=

3s

:.BD=4-OC=4—5=今

第二種情況，當(dāng)a+2〃=90。時(shí)，a+〃+NO4C=90。，

：.z.DAC=B=乙B,且z_C=乙C,

△ACD?△BCA,

ACCD

："'BC=ACf

.-.AC2=CDCB,即32=4CD,

解得，CD=3,

?.BD；

=BC-CD=4-74=74

綜上所述，8。的長(zhǎng)等于表

故答案為：5或3.

17.在等腰△48C中，AB=AC,40是邊BC上的高，將線段力。繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)邑ED

與邊”交于點(diǎn)心且腎=*如果△"E與△DF8相似，那么黑的值為一.

UrL/io

【答案】平

4

【解析】解：由題意得：只能△AFE-ZXDB吃過(guò)點(diǎn)D作0G14E于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H,

設(shè)=DE=a,AB=AC="則EF=1a.DF=(a,

???/C4E=乙。GE=90°,

:.DG||AC,

vLBAD=Z.CAD=Z.ADG,

???AH=DH=^AB=

vZ.ADG=Z-EDG,

AD_AH_S

'''DF='FH=2,

13

???FH=-bfBF=AB-AH-FH=—b,

?：AAFE~ADBF,

:.EFDF=AFBF,

327,3,

,.?科F=押?元b，

??/一8'

.些_2_g

AB~b

故答案為：孚.

18.規(guī)定：如果經(jīng)過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)的直線把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)小三角形是等腰三

角形，另一個(gè)小三角形和原三角形相似，那么符合這樣條件的三角形稱為“和諧三角形”，這條直線稱為這個(gè)

三角形的“和諧分割線”.例如，如圖所示，在中，ZC=90°,CA=CB,CO是斜邊上的高，其

中a/lCD是等腰三角形，且△8C0和△48C相似，所以△48。是“和諧三角形”，直線CO為△的“和諧

分割線”.請(qǐng)依據(jù)規(guī)定求解問(wèn)題：己知ADE尸是“和諧三角形"，40=39。，當(dāng)直線EG是△DEF的“和諧分

割線”時(shí)，立/的度數(shù)是（寫出所有符合條件的情況）.

【答案】63?；?1.5?；?7?；?4°

【解析】解：若△DEG是等腰三隹形，尸G與△/)￡1尸相似,

當(dāng)DG=EG,乙GEF=4=42。時(shí).

:.LDEG=Z.D=39。，

ZF=180°一匕0—Z.DEF=180°-3X39°=63°,

當(dāng)。E=DG,乙FGE==39。時(shí)，

。―。

???LDGE=乙DEG=180%39=705。，

???zF=LDGE-LFEG=70.5°-39。=31.5°,

當(dāng)dEPG是等腰三角形，△OEG與△OEF相似時(shí),

如圖3,

當(dāng)￡G="G,乙DEG=匕卜時(shí),

zF=Z-FEG,

1800-39°

???LF=乙FEG=乙DEG=-/=47°,

如圖4,

當(dāng)EF="G,4DEG=4F時(shí)，

:.乙FEG=乙FGE,

設(shè)NF=乙DEG=x。，

LFEG=Z-FGE=(39+x)0,

:.x+2(39+%)=180,

???x=34°,

LF=34°,

綜上所述：乙F=63?；?1.5?；?7°或34。，

故答案為：63?；?1.5?；?7?；?4。.

三、解答題(本大題共7小題，共78分)

19.(本題10分)已知：如圖，BE、C尸分別是△48C的邊4C、48上的高，與CF相交于點(diǎn)。.

(2)如果.24=60。，求嚴(yán)的值

'△ABC

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2步

【解析】(1)證明：IE,C尸分別是△4BC的高線,

.?.乙AE8=Z,AFC=90°.

?.2A=乙4,

：.^ACF^^ABEx

(2)在RtzSABE中，LA=60°,

,"BE=30°,

.-.AE=^AB.

4ACFFABE,

ACAF

：''AE='AE'

???ZJ4=ZJ1,

△4EF?△48C,

?AE——1

"'AB2>

'S^ABC4,

20.(本題10分)已知：如圖，平行四邊形/BCD的對(duì)角線4c和8D相交十點(diǎn)。，DE1BC交BC的延長(zhǎng)線十點(diǎn)

(1)求證：四邊形A8CD為菱形；

(2)連結(jié)4E交DC于點(diǎn)F,如果4E1CD,求證：箓=器

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【解析】(1),:BOBD=BC-BE,

..H.穿t=黑Ml)，乙OBC=LEBD,

:.ABOC?ABED,

'：DE_LBC,

3EB=90°,

."BOC=乙DEB=90°,

?.?匹邊形力BCD為平行四邊形,

???匹邊形為BCD為菱形.

(2)如圖:

?.?匹邊形力BCD為菱形，

??BC—CD—AD1乙BCO—乙OCD,

“E1CD,

"FE=90°,

-：AD||CE,

?.zFCE=乙DCE,乙CFE=乙DEC,

:.4CFE?ACEO,

備群陪題

由①X②得，DF=CE,

?叱AFD=乙DEC=900,AD=CD,

：.4CEDe4DFA,

.-.DF=AF,

?.28。。=〃"=90。，

△BOCAFC,

BOCO

?9=彳

BOAFCFOC

'CO=CFn^nDE=BO-

21.（本題10分）在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)E是4。的中點(diǎn)，BE、AC相交于點(diǎn)凡

BC

（1）設(shè)4百=&,4。=3,試用6、9表示EF：

（2）先化簡(jiǎn)，再求作：（2G+及一阻五+勵(lì)（直接作在圖中）.

【答案】（1即一至

（2）一五一歲，見(jiàn)解析

【解析】（1）解：???四邊形48CD為平行四邊形，

"DIIBC,BC=AD,

:.AAFEFCFB,

則些=竺，

AJfiCFB'

???點(diǎn)E是40的中點(diǎn)，

：.AE=；力0,

則EF=；FB,

..質(zhì)=抨=癖=*而+硝=黑府+而），

?:AB=a,AD=b,

?痂=3（-的+五）與一5?

（2）（2d+b）—|（2a+b）=2五十1—3a—|b=-a—

,:AB=a,AD=b,

...一五一貨=一AB-^AD=-AB-AE=-（AB+荏），

過(guò)點(diǎn)E作EG||AB,則荏=麗，

.-.-a-^b=-（ABAE}=-（AB+86）=-AG=GA,如圖，出即為所求.

22.（本題10分）小明在學(xué)習(xí)了相似以后，嘗試用平面鏡的反射原理測(cè)學(xué)校小廣場(chǎng)旗桿的高度，如圖，CD

是旗桿，8。是水平地面，河是平放地面的一面平面鏡，48是眼睛到地面的距離，調(diào)整為8和M的位置，通

過(guò)鏡面反射（法線MN1地面8D,乙AMN=LCMN）,當(dāng)眼睛力正好在平面鏡中看到旗桿頂端。時(shí)，測(cè)出

AB=1.7m,BM=1.2m,DM=8m.

⑴求旗桿CD的高度（精確到0.1m）

（2）為了減少誤差，請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)合理化的建議.

【答案】（1）旗桿CO的高度為11.3m；

（2）多次測(cè)量，求平均值（答案不唯一）

【解析】（1）解：-Z-AMN=/.CMN,MNlBDf

???LBMA=乙DMC.

v2.MBA=iCDM=90°,

ABBM

:.—=--,

CDMD

1.71.2

,CD=T*

CD工11.3（m）；

答：旗桿CD的高度為11.3m；

（2）解：多次測(cè)量，求平均值（答案不唯一）.

23.（本題12分）閱讀理解，并解決問(wèn)題：

小明同學(xué)在一次教學(xué)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，存在一組都不為0的數(shù)a,b,c,d,使得￡成立（即a,b,c,d成比

例）.小明同學(xué)還有新的發(fā)現(xiàn)：若;=?則-=可（分比性質(zhì)）.

已知?麟/

問(wèn)題解決：

（1）為照上例，從①②中選一組數(shù)據(jù)寫出分比性質(zhì)等式；

（2）證明（1）中的分比性質(zhì)等式成立.

【答案】⑴①若號(hào)左則呼=等；②若"g則等=?

(2)見(jiàn)解析

【解析】⑴解：①若￡4,則叩=等;

②若MS則等=等

(2)解：①若?T，則(=等.

證明：設(shè)肄"匕則。=3b=kd.

a-ckc-c..b-dkd-d

???—=---=k—1

cc9~=~=k—1,

a-cb-d

~=~

②鎧=g則等=_.

證明：設(shè)g=;=n,則b=na,d=nc,

b-ana-ad-cnc-c

k=n—l,—=—=n-

h-ad-c

:.-a-=--c-?

24.(本題12分)已知：在梯形"C。中，ADWBC,zJBC=90°,48=6,BC：AD=l：3,。是力。的中

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OE1O8,交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)8C=EC時(shí)，求證：AB=OE；

(2)設(shè)8C=a,用含Q的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)，并寫由a的取值范圍：

(3)聯(lián)結(jié)O。、DE,當(dāng)△。。石是以。石為直角邊的直角三角形時(shí)，求6C的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵BE=噤(0VQ<6)

(3)8C的長(zhǎng)為26或行

【解析】(1)證明：???乙4BC=90。，。是jC的中點(diǎn),

：.B0=CO,Z-OBC=Z.OCB.

?.?OE_LOB,

??/BOE=90°.

?：BC=EC,

?-CO=BC,

:.BO=BC.

乙H8c=(BOE=90°,

△ABC=△EOB,

：.AB=EO.

(2)解：?:乙OBC=LOCB,/.ABC=/.BOE,

:.AABCsAEOB.

BCAC

：'"OB="BE'

,:BC=a,AB=6,

?，-AC=yja2+36.

.,a_V^+36

丹加+36-

.■.BE=%W()<a<6).

(3)解：設(shè)8C=a,則4。=3a.

①當(dāng)zOED-90。時(shí)，延長(zhǎng)4。交/。于點(diǎn)G,如圖,

：.Z-BOE=乙OED,

.-.BGWED.

-BEWAD,

四邊形4GOE是平行四邊形,

：.BE=GD.

'.-BCWAD,

_CO

?‘友―茄'

：.BC=AG=a.

=3a—a,

:.a=2痘（負(fù)根舍）.

②當(dāng)NODE=90。時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)0、￡作?！ǎ?。，ENLADt庭足分別為點(diǎn)M、延長(zhǎng)BO交AD于點(diǎn)、

G,如圖，

由/"C=90。及8cli/。知，四邊形"EN是矩形,

:.EN=AB=6,AN=BE.

???8CII4D,

BCCOOB

''AG~AO~~OGf

???Q4=OC,

：.OB=OG=^BG,AG=BC.

??/OMD=乙DNE,乙MOD=乙EDN,

：.40MD~4DNE,

OM_MD

''~DN-~EN'

-ABWOM,

OMMG_OG

''~AB~~AG~~BG~2

:.MG=AM=\BC=1a,OM=；AB=3,

:.MD=|a,

vD.V=AN-AD=空網(wǎng)-3a,

Za

.,3

?"?a^-363c-^