高等數(shù)學(xué)b下期末考試題庫(kù)及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微，則在該點(diǎn)處函數(shù)\(z\)（）A.必有極限B.不一定連續(xù)C.偏導(dǎo)數(shù)不存在D.以上都不對(duì)2.已知\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)在點(diǎn)\((1,2)\)的值為（）A.2B.4C.1D.03.交換二次積分\(\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy\)的積分次序后為（）A.\(\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx\)B.\(\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)C.\(\int_{1}^{0}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx\)D.\(\int_{1}^{0}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)4.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)當(dāng)（）時(shí)收斂。A.\(p\leq1\)B.\(p\gt1\)C.\(p\lt1\)D.\(p\geq1\)5.設(shè)\(L\)是從點(diǎn)\((0,0)\)到點(diǎn)\((1,1)\)的直線段，則\(\int_{L}xdy+ydx\)的值為（）A.1B.2C.0D.-16.若\(z=e^{xy}\)，則\(dz\)等于（）A.\(e^{xy}dx+e^{xy}dy\)B.\(ye^{xy}dx+xe^{xy}dy\)C.\(xe^{xy}dx+ye^{xy}dy\)D.\(e^{xy}(x+y)dx+e^{xy}(x+y)dy\)7.函數(shù)\(f(x,y)=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處（）A.取得極大值B.取得極小值C.無(wú)極值D.無(wú)法確定8.設(shè)\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)所圍成的區(qū)域，則\(\iint_{D}dxdy\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.\(\frac{1}{4}\)9.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑\(R\)的求法是（）A.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert\)（若極限存在）B.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\vert\)（若極限存在）C.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\)D.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\)10.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與向量\(\vec=(-1,-2,-3)\)（）A.平行B.垂直C.夾角為\(\frac{\pi}{4}\)D.夾角為\(\frac{\pi}{3}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在某點(diǎn)可微，則在該點(diǎn)連續(xù)B.函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點(diǎn)可微C.函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在D.函數(shù)在某點(diǎn)可微，則在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在2.設(shè)\(z=f(x,y)\)，則求\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)時(shí)（）A.先對(duì)\(x\)求偏導(dǎo)再對(duì)\(y\)求偏導(dǎo)B.先對(duì)\(y\)求偏導(dǎo)再對(duì)\(x\)求偏導(dǎo)C.當(dāng)二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)順序可交換D.求導(dǎo)順序不可交換3.下列哪些是計(jì)算二重積分的方法（）A.直角坐標(biāo)法B.極坐標(biāo)法C.柱坐標(biāo)法D.球坐標(biāo)法4.對(duì)于級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)，則級(jí)數(shù)一定收斂B.若\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n\neq0\)，則級(jí)數(shù)一定發(fā)散C.若級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)D.若級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)發(fā)散，則\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n\neq0\)5.設(shè)\(L\)是平面曲線，下列哪些是曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)與路徑無(wú)關(guān)的條件（）A.\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)在\(L\)所圍區(qū)域內(nèi)處處成立B.存在函數(shù)\(u(x,y)\)，使得\(du=Pdx+Qdy\)C.對(duì)于\(L\)所圍區(qū)域內(nèi)任意閉曲線\(C\)，\(\oint_{C}Pdx+Qdy=0\)D.\(P(x,y)\)和\(Q(x,y)\)在\(L\)所圍區(qū)域內(nèi)連續(xù)6.下列函數(shù)中，哪些是多元函數(shù)（）A.\(z=x+y\)B.\(z=\sin(x^2+y^2)\)C.\(y=x^2\)D.\(u=xyz\)7.設(shè)\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處取得極值，則（）A.\(f_x(x_0,y_0)=0\)B.\(f_y(x_0,y_0)=0\)C.\(A=f_{xx}(x_0,y_0)\)，\(B=f_{xy}(x_0,y_0)\)，\(C=f_{yy}(x_0,y_0)\)滿足\(AC-B^2\gt0\)D.以上都不對(duì)8.下列哪些是常見(jiàn)的空間曲面（）A.球面B.柱面C.錐面D.拋物面9.對(duì)于冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)，其收斂區(qū)間可能是（）A.\((x_0-R,x_0+R)\)B.\([x_0-R,x_0+R]\)C.\((x_0-R,x_0+R]\)D.\([x_0-R,x_0+R)\)10.向量\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)與向量\(\vec=(b_1,b_2,b_3)\)的數(shù)量積為（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)B.\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為兩向量夾角）C.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)垂直D.向量數(shù)量積滿足交換律三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點(diǎn)一定連續(xù)。（）2.若\(z=x^y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^y\lnx\)。（）3.二重積分\(\iint_{D}f(x,y)dxdy\)的值與積分區(qū)域\(D\)的劃分方式無(wú)關(guān)。（）4.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是收斂的。（）5.曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)只與曲線\(L\)的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。（）6.函數(shù)\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處取得極值，則\(f_x(x_0,y_0)=0\)且\(f_y(x_0,y_0)=0\)。（）7.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)的收斂半徑為\(1\)。（）8.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)與向量\(\vec=(0,1,0)\)的夾角為\(\frac{\pi}{2}\)。（）9.若\(z=f(x,y)\)的全微分\(dz=0\)，則\(z\)為常數(shù)。（）10.對(duì)于空間中的兩個(gè)向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)，\(\vec{a}\times\vec=-\vec\times\vec{a}\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微的定義。答案：若函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)的全增量\(\Deltaz=f(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)-f(x_0,y_0)\)可表示為\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)，其中\(zhòng)(A\)、\(B\)與\(\Deltax\)、\(\Deltay\)無(wú)關(guān)，\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)，則稱函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微。2.簡(jiǎn)述判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂的比較判別法。答案：設(shè)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且\(u_n\leqv_n(n=1,2,\cdots)\)。若\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收斂，則\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂；若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)發(fā)散，則\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)發(fā)散。3.簡(jiǎn)述格林公式及其應(yīng)用條件。答案：設(shè)閉區(qū)域\(D\)由分段光滑的曲線\(L\)圍成，函數(shù)\(P(x,y)\)及\(Q(x,y)\)在\(D\)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有\(zhòng)(\oint_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy})dxdy\)。應(yīng)用條件：\(P\)、\(Q\)在\(D\)上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，\(L\)是\(D\)的正向邊界。4.簡(jiǎn)述求函數(shù)\(z=f(x,y)\)極值的步驟。答案：第一步，求偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)，并令\(f_x(x,y)=0\)，\(f_y(x,y)=0\)，解方程組得駐點(diǎn)；第二步，求二階偏導(dǎo)數(shù)\(f_{xx}(x,y)\)，\(f_{xy}(x,y)\)，\(f_{yy}(x,y)\)；第三步，對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)，計(jì)算\(A=f_{xx}\)，\(B=f_{xy}\)，\(C=f_{yy}\)，根據(jù)\(AC-B^2\)的正負(fù)判斷是否為極值及極值類型。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。答案：可微能推出連續(xù)和可偏導(dǎo)，即若函數(shù)可微，則一定連續(xù)且可偏導(dǎo)；但連續(xù)不一定可偏導(dǎo)，可偏導(dǎo)也不一定可微。連續(xù)是最弱條件，可微要求最高，可偏導(dǎo)是中間過(guò)渡。例如，某些函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在，有些函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微。2.討論冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間端點(diǎn)處的收斂情況。答案：冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性需單獨(dú)判斷?？赡茉谝欢它c(diǎn)收斂，另一端點(diǎn)發(fā)散；也可能兩端點(diǎn)都收斂或都發(fā)散。比如\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)在\(x=-1\)處收斂，\(x=1\)處發(fā)散。通過(guò)將端點(diǎn)值代入冪級(jí)數(shù)，利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法判斷收斂性。3.討論曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。答案：在實(shí)際中，若曲線積分與路徑無(wú)關(guān)