能態(tài)密度和費(fèi)米面

一、能態(tài)密度1.定義能態(tài)密度：dSdk

kxkyEE+dEdZ：能量在E－E+dE兩等能面間的能態(tài)數(shù)（考慮了電子自旋）能態(tài)密度：能帶中單位能量間隔內(nèi)的電子能態(tài)數(shù)dZ=2

(k)(k空間中能量在E－E+dE兩等能面間的體積)2.近自由電子的能態(tài)密度對(duì)于自由電子：能量為E的等能面是半徑為在球面上的球面

在近自由電子情況下，周期場(chǎng)的影響主要表現(xiàn)在布里淵區(qū)邊界附近，而離布里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)處，周期場(chǎng)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的影響很小。

以簡(jiǎn)單立方晶體為例，考察第一布里淵區(qū)中等能面的一個(gè)二維截面。在布里淵區(qū)邊界面的內(nèi)側(cè)：對(duì)自由電子：EP(0)=EQ(0)考慮周期場(chǎng)的影響：EQ(0)>EQ，EP(0)EP在布里淵區(qū)邊界面的外側(cè)：對(duì)自由電子：EN(0)=EM(0),考慮周期場(chǎng)影響：EM(0)<EM，EN(0)EN，

考慮周期場(chǎng)影響后，在布里淵區(qū)邊界面的內(nèi)側(cè)與外側(cè)等能面均形成向外突出的凸面。EP>EQEM>ENPQQ’M’MN0Gn近自由電子的等能面近自由電子的能態(tài)密度EAkxkyACN(E)EECⅠEBⅡN(E)EECⅠEBⅡ當(dāng)ECⅠ<EBⅡ時(shí)：有能隙（禁帶）當(dāng)ECⅠ>EBⅡ時(shí)：出現(xiàn)能帶重疊3.緊束縛近似的能態(tài)密度以簡(jiǎn)單立方晶格s帶為例:

在k=0，即能帶底附近，等能面近似為球面，隨著E的增大，等能面明顯偏離球面。N(E)E0E0–6J1E0–2J1E0+6J1E0+2J1E(Γ)E(X)E(M)E(R)

在

、X、M和R點(diǎn)處，

kE=0，稱為VanHove奇點(diǎn)，這些點(diǎn)都是布里淵區(qū)中的高對(duì)稱點(diǎn)。二、費(fèi)米面討論近自由電子的費(fèi)米面結(jié)構(gòu):

對(duì)金屬：EＦ０>>KBT，在T>0時(shí)，只有費(fèi)米面附近的少量電子受到熱激發(fā)。費(fèi)米半徑的相對(duì)變化：在室溫下：a.費(fèi)米面的構(gòu)造步驟

按電子濃度求出相應(yīng)的費(fèi)米半徑，并作出費(fèi)米球（圓）；1.近自由電子費(fèi)米面的構(gòu)造法

按照近自由電子作必要的修正。

將處在各個(gè)布里淵區(qū)中的費(fèi)米球（圓）分塊按倒格

矢平移到簡(jiǎn)約區(qū)中，來(lái)自第n個(gè)布里淵區(qū)的對(duì)應(yīng)于第

n個(gè)能帶，于是在簡(jiǎn)約區(qū)中得到對(duì)應(yīng)于各個(gè)能帶的費(fèi)

米面圖形；

根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)畫出倒易空間中擴(kuò)展的布里淵區(qū)圖形；b.修正的依據(jù)

電子的能量只在布里淵區(qū)邊界附近偏離自由電子能

量，周期場(chǎng)的影響使等能面在布里淵區(qū)邊界面附近發(fā)

生畸變，形成向外突出的凸包；

周期場(chǎng)的影響使費(fèi)米面上的尖銳角圓滑化。

費(fèi)米面所包圍的總體積僅依賴于電子濃度，而不取決

于電子與晶格相互作用的細(xì)節(jié)；

等能面幾乎總是與布里淵區(qū)邊界面垂直相交；證明在一般情況下，等能面與布里淵區(qū)邊界面垂直相交：在布里淵區(qū)邊界面上：En(k)具有反演對(duì)稱性：En(k)的平移對(duì)稱性：在布里淵區(qū)邊界面附近：沿布里淵區(qū)邊界面的法線方向上，如果沿一個(gè)邊界面的法線方向上處處都有那么，與該邊界面相交的等能面必與此邊界面垂直。例：二維正方晶格近自由電子的費(fèi)米面圖形。設(shè)二維晶格的晶格常數(shù)為a，晶體的原胞數(shù)為N，k的分布密度：設(shè)平均每個(gè)原子有

個(gè)價(jià)電子，即電子濃度為

電子/原子。對(duì)于簡(jiǎn)單晶格：其中為簡(jiǎn)約區(qū)的內(nèi)切圓半徑電子濃度

kF/k110.79821.12831.38241.59651.78461.954kxky簡(jiǎn)約區(qū)中自由電子的費(fèi)米面

=1第一能帶

=2,3

=4,5,6第二能帶第三能帶第四能帶簡(jiǎn)約區(qū)中近自由電子的費(fèi)米面

=2,3

=4,5,6第四能帶

=1第一能帶第二能帶第三能帶2.Hume－Rothery定律

純Cu的晶體是立方密排結(jié)構(gòu)，當(dāng)摻入Zn后，隨Zn含量的逐漸增加，其結(jié)構(gòu)將發(fā)生一系列變化：

由

相

相

相

相

相。

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在許多合金體系中，電子濃度是決定合金具有什么相結(jié)構(gòu)的重要參量。一定的電子濃度將出現(xiàn)一定的相，這種現(xiàn)象稱為Hume－Rothery定律。具有一定電子濃度的合金相稱為電子化合物以Cu－Zn合金相圖為例：

當(dāng)Zn的原子濃度大于50％時(shí)出現(xiàn)

相，為復(fù)雜立方

結(jié)構(gòu)，每個(gè)晶胞中有52個(gè)原子，其化學(xué)式為Cu5Zn8，

電子－原子比（電子濃度）為21/13；

當(dāng)Zn的原子濃度在~38％以下時(shí)，是以Cu為基的fcc

固溶體，稱為

相；

當(dāng)Zn的原子濃度在38－50％之間時(shí)，將出現(xiàn)新相，

稱為

相，是bcc格子，其化學(xué)式為CuZn，電子－原

子比（即電子濃度）為3/2，是一種電子化合物；

在純Zn附近，形成以Zn為基的固溶體

相，為近似

密排六方結(jié)構(gòu)，c/a>1.633。

當(dāng)Zn的原子濃度~67％時(shí)，出現(xiàn)

相，為密排六方結(jié)

構(gòu)，c/a<1.633，化學(xué)式為CuZn3，電子濃度為7/4；

當(dāng)考慮電子填充時(shí)，隨著電子濃度的增加，費(fèi)米面逐

漸靠近布里淵區(qū)邊界面；當(dāng)電子濃度達(dá)到一定值時(shí)，

費(fèi)米面將與布里淵區(qū)邊界面相切。

在近自由電子情況下，當(dāng)離布里淵區(qū)邊界面較遠(yuǎn)時(shí)，

其等能面與自由電子基本相同，近似為球面。

當(dāng)?shù)饶苊婵拷祭餃Y區(qū)邊界面時(shí)，由于周期場(chǎng)的影

響，等能面將發(fā)生畸變，形成向外突出的凸包，從而

使其能態(tài)密度大于自由電子的能態(tài)密度。

當(dāng)?shù)饶苊媾c布里淵區(qū)邊界面相切時(shí)，能態(tài)密度達(dá)到極

大值。其后，能態(tài)密度隨能量的增加而迅速減小。

如電子濃度繼續(xù)增加，由于能態(tài)密度隨能量的增加而

迅速減小，電子將不得不往更高的能態(tài)上填，從而使

系統(tǒng)的總能量升高，這種結(jié)構(gòu)將不再是穩(wěn)定的，而趨

于轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N可使系統(tǒng)的總能量降低的結(jié)構(gòu)，即發(fā)

生相變。純Cu的晶體結(jié)構(gòu)：密排立方結(jié)構(gòu)（fcc）

當(dāng)摻入的Zn含量較少時(shí)，其晶體結(jié)構(gòu)是以Cu為基的fcc固溶體（

相）。

設(shè)fcc的晶格常數(shù)為a，則其倒格子是格常數(shù)為4/a的bcc。

簡(jiǎn)約區(qū)內(nèi)切球的半徑k1()及內(nèi)切球所對(duì)應(yīng)的飽和電子濃度（電子－原子比）

1()。其簡(jiǎn)約區(qū)是由8個(gè){111}面和6個(gè){100}面所圍成的十四面體。

當(dāng)體系的電子濃度大于

1()時(shí)，

相固溶體將不再穩(wěn)定，而趨于轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N其內(nèi)切球中可以填充更多電子的

相（bcc）。這時(shí)，

相比

相更穩(wěn)定，于是，發(fā)生了從

相向

相轉(zhuǎn)變的相變。

對(duì)于

相（bcc結(jié)構(gòu)），同樣可求出其簡(jiǎn)約區(qū)的內(nèi)切球半徑k1()及其相應(yīng)的飽和電子濃度

1()。

當(dāng)電子濃度大于

相簡(jiǎn)約區(qū)內(nèi)切球的飽和電子濃度

1()時(shí)，

相將不穩(wěn)定，趨于轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌€(wěn)定的新相。同理可解釋當(dāng)Zn的原子濃度繼續(xù)增加時(shí)，合金的相結(jié)構(gòu)將發(fā)生由

相

相

相的相變過(guò)程。第七章晶體中電子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

在一定條件下，把晶體中電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作

準(zhǔn)經(jīng)典粒子來(lái)處理。

解含外場(chǎng)的波動(dòng)方程處理晶體中電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)所采用的方法：條件：外場(chǎng)較弱、恒定，不考慮電子在不同能帶間的

躍遷，不涉及電子的衍射和干涉等?！?.1準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)一、波包與電子速度

設(shè)波包由以k0為中心，在

k的范圍內(nèi)的波函數(shù)組成，并假設(shè)

k很小，近似認(rèn)為不隨k而變對(duì)于一確定的k

，含時(shí)的Bloch函數(shù)為在晶體中，可以用含時(shí)間的Bloch函數(shù)來(lái)組成波包。一維情況：波包令分析波包的運(yùn)動(dòng)，只需分析

2，即概率分布即可。令0波函數(shù)主要集中在尺度為

的范圍內(nèi)，波包中心為：w＝0即若將波包看成一個(gè)準(zhǔn)粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：2/a即三維情況：電子速度為條件：

k很小以a為周期，并不會(huì)改變波包的形狀。

電子速度的方向?yàn)閗空間中能量梯度的方向，即沿等

能面的法線方向。

在一般情況下，在k空間中，等能面并不是球面，因

此，v的方向一般并不是k的方向；電子的運(yùn)動(dòng)方向決定于等能面的形狀

有當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎?，或在某些特殊方向上，v才與k的

方向相同。kxkykv

電子運(yùn)動(dòng)速度的大小與k的關(guān)系以一維為例：

在能帶底和能帶頂，E(k)取極值，在能帶底和能帶頂，電子速度v＝0

在能帶中的某處，電子速度的數(shù)值最大與自由電子的速度總是隨能量的增加而單調(diào)上升是完全不同的。二、電子的準(zhǔn)動(dòng)量功能原理：

當(dāng)F與速度v垂直時(shí)，可由沖量定理證明在垂直于v

的方向上，和外力F的分量也相等。

在平行于v的方向上，和F的分量相等；

在外場(chǎng)中，電子所受的力為F，在dt時(shí)間內(nèi)，外場(chǎng)對(duì)電子所做的功為這是電子在外場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的基本公式，具有與經(jīng)典力學(xué)中牛頓定律相似的形式?！娮拥臏?zhǔn)動(dòng)量

晶體中的電子在碰撞過(guò)程中所貢獻(xiàn)的動(dòng)量為。Bloch電子的行為類似于波長(zhǎng)為

的平面波，再由deBroglie關(guān)系得其具有的動(dòng)量。三、電子的加速度和有效質(zhì)量晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系式：{由以上兩式可直接導(dǎo)出在外力作用下電子的加速度。1.一維情況引入電子的有效質(zhì)量：在周期場(chǎng)中電子的有效質(zhì)量m*與k有關(guān)E(k)取極小值，E(k)取極大值，

在能帶底：

在能帶頂：m*>0；m*<02.三維情況

分量形式：

＝1,2,3

矩陣形式：牛頓定律：這里用二階張量代替了電子的加速度方向并不一定與外力的方向一致。

倒有效質(zhì)量張量是對(duì)稱張量，如將kx、ky、kz取為張量的主軸方向，可將其對(duì)角化。倒有效質(zhì)量張量：在主軸坐標(biāo)系中：例：簡(jiǎn)單立方晶體中，緊束縛近似下s帶電子的有效質(zhì)量,1,2,3即kx

,ky,kz為張量的主軸方向

有效質(zhì)量的三個(gè)主分量均與J1成反比，若原子間距越大，J1越小，則有效質(zhì)量就越大。有效質(zhì)量張量退化為一個(gè)標(biāo)量

在能帶底

點(diǎn)：

在能帶頂R點(diǎn)：

在能帶底和能帶頂電子的有效質(zhì)量是各向同性的，退化為一標(biāo)量，這是立方對(duì)稱的結(jié)果。

在X點(diǎn)：

有效質(zhì)量不僅可以取正，也可以取負(fù)，在能帶底附近

（E(k)極?。?，有效質(zhì)量總是正的；而在能帶頂附近

（E(k)極大），有效質(zhì)量總是負(fù)的。

有效質(zhì)量是一個(gè)很重要的概念，它把晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的加速度與外力聯(lián)系起來(lái)。

有效質(zhì)量中包含了周期場(chǎng)對(duì)電子的作用。在一般情況下，

有效質(zhì)量是一個(gè)張量，在特殊情況下可以退化為標(biāo)量。四、有效質(zhì)量的物理解釋電子的真實(shí)動(dòng)量：

一維情況下：

由于周期場(chǎng)對(duì)電子的作用力（晶格力）比較復(fù)雜，并且往往事先不能知道，而且晶格對(duì)電子的作用是量子效應(yīng)，是不能用經(jīng)典的方法來(lái)處理。牛頓定律：F外：外場(chǎng)對(duì)電子的作用力F晶：周期場(chǎng)即晶格對(duì)電子的作用力，稱為晶格力即其中——電子有效質(zhì)量

有效質(zhì)量包含了周期場(chǎng)的影響，所以，有效質(zhì)量有別于電子的慣性質(zhì)量。對(duì)于自由電子：F晶＝0，所以，m*＝m。

周期場(chǎng)中的電子已不是自由電子，它在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總是受到周期場(chǎng)的作用，即F晶

0。我們只是為了討論電子運(yùn)動(dòng)的方便，在形式上把它看成一個(gè)“自由粒子”，將周期場(chǎng)的作用歸并到有效質(zhì)量中，而將電子對(duì)外場(chǎng)的響應(yīng)寫成類似于經(jīng)典牛頓定律的形式。這時(shí)，有效質(zhì)量在電子運(yùn)動(dòng)中所起的作用就類似于粒子質(zhì)量的作用。這就是電子的有效質(zhì)量m*為何與電子的真實(shí)質(zhì)量m可以有很大