2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——大學(xué)數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)的微分代數(shù)拓?fù)淇荚嚂r(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)M是n維光滑流形，X是M上的一個(gè)向量場(chǎng)。證明：存在M上的一個(gè)光滑函數(shù)f，使得X在任意點(diǎn)p∈M的值與df(p)成正比（即存在一個(gè)常數(shù)γ(p)≥0，使得X(p)=γ(p)df(p)）。二、設(shè)M是緊致、無(wú)向、連通的光滑流形。證明其上存在一個(gè)光滑向量場(chǎng)X，使得其上任何點(diǎn)p處的向量X(p)都垂直于該點(diǎn)的切空間T_pM（即X(p)與T_pM的任何向量v都滿足g(X(p),v)=0，其中g(shù)是M上的Riemannian度量）。三、設(shè)π:E→B是一個(gè)光滑向量叢，L是E上的一個(gè)光滑聯(lián)絡(luò)形式。定義L在E的截面σ:B→E上的作用為σ^*L。證明：對(duì)于B上的任何光滑函數(shù)f，有(df)*L=f*(σ^*L)。四、設(shè)M是一個(gè)n維緊致、可定向的光滑流形。證明：M的上同調(diào)群H^(n)(M;Z)同構(gòu)于Z。給出這個(gè)同構(gòu)的具體形式。五、設(shè)M是一個(gè)n維緊致、無(wú)向的光滑流形。定義M的Euler示性數(shù)χ(M)為其基本群的Abel化群的階數(shù)的(-1)^(n-1)倍。證明：對(duì)于M上的任何閉n形式ω，都有∫_Mω=χ(M)*(1form的單位)。六、設(shè)E→B是一個(gè)光滑向量叢，C^∞(E)和C^∞(B)分別是E和B上的光滑函數(shù)全體。定義C^∞(E)上的一個(gè)微分形式為Λ^k(E)=C^∞(E)?...?C^∞(E)(k次，向量場(chǎng)ε_(tái)i與函數(shù)f_i配對(duì))→C^∞(E)的一個(gè)k-線性映射，滿足對(duì)任意X_1,...,X_k∈Γ(E)(E的截面)和f_1,...,f_k∈C^∞(B)，有Λ^k(E)(X_1,...,X_k)(f_1,...,f_k)=det(g(X_i,X_j)*f_i)，其中g(shù)是叢上的Riemannian度量。證明：這個(gè)Λ^k(E)是一個(gè)光滑的k-形式（即對(duì)截面和函數(shù)的微分化是線性的）。七、設(shè)M是一個(gè)n維緊致光滑流形，L_M是M上的龐特里亞金類P_k(M)。證明：對(duì)于M上的任何閉(k-1)-形式ω，都有dω∧L_M是一個(gè)整數(shù)倍的L_{k+1}(M)。八、設(shè)E→B是一個(gè)具有結(jié)構(gòu)群G的纖維叢，F(xiàn)是E的一個(gè)子叢（即F是G的一個(gè)子群，且π(F)=B，且π|_F的限制是G/F的主叢）。定義E/F為商叢。證明：如果L是E上的一個(gè)聯(lián)絡(luò)形式，那么E/F上存在一個(gè)自然的聯(lián)絡(luò)形式L_F，使得對(duì)于E的任何截面σ，有π^*(L_F)=(L-σ^*dσ)|_F，其中π:E→E/F是商叢投影。九、設(shè)M是一個(gè)4維緊致、可定向的光滑流形。證明：如果H^(1)(M;Z)=0且H^(3)(M;Z)=0，則M的Euler示性數(shù)χ(M)=0。十、設(shè)π:E→B是一個(gè)光滑向量叢，F(xiàn)?E是一個(gè)子叢?？紤]E上的Stiefel-Whitney類w_F。證明：對(duì)于B上的任何光滑函數(shù)f，有f*w_F是E/F上的一個(gè)Stiefel-Whitney類。試卷答案一、證明：由于X是M上的向量場(chǎng)，可以定義一個(gè)函數(shù)f:M→R滿足f(p)=α(p)||X(p)||，其中α(p)是X(p)與df(p)方向相同的單位向量（如果X(p)=0，則可以取f(p)為任意常數(shù)）。那么對(duì)于任意點(diǎn)p，有X(p)=f(p)*(df(p)/||df(p)||)=f(p)*γ(p)*df(p)，其中γ(p)=1/||df(p)||>0。因此X(p)=γ(p)df(p)，其中γ(p)=1/||df(p)||是點(diǎn)p的函數(shù)。二、證明：由于M是緊致的，向量場(chǎng)X的某個(gè)整流形（flow）會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)將點(diǎn)推向無(wú)窮遠(yuǎn)或某個(gè)固定點(diǎn)（Liouville定理的推論）。如果推向無(wú)窮遠(yuǎn)，則X在其軌跡上是非零的，且方向一致，矛盾于M的緊致性。如果推向固定點(diǎn)，設(shè)固定點(diǎn)為q，則X(q)=0。考慮在q處的切空間T_qM，由于X在q處為0，其任何分量在此處均為0，即X的值與T_qM垂直。由于M連通，這個(gè)局部性質(zhì)可以通過緊致連通性延拓到全局。因此存在一個(gè)局部標(biāo)量場(chǎng)γ，使得X=γ(df)。由于M是緊致的，γ必須是常數(shù)。若γ=0，則X=0，矛盾。故存在全局光滑函數(shù)f，使得X=df。三、證明：由聯(lián)絡(luò)形式的定義，L是E的一個(gè)截面π^*L'的對(duì)偶（在切空間內(nèi)）。對(duì)于E的截面σ，σ^*L是σ(T_pE)上的一個(gè)1-形式。對(duì)于B上的一個(gè)向量場(chǎng)X，(σ^*L)(X)=L(π_*X)。由截面定義，π_*X是T_pE中的一個(gè)向量。另一方面，(f*(σ^*L))(X)=f(p)*(σ^*L)(X)=f(p)*L(π_*X)=L(π_*X)*f(p)。由于L是在E的切空間上定義的，而π_*X是E在p處的切向量，L(π_*X)是一個(gè)實(shí)數(shù)。所以(df)*L=L*(df|_E)=f*(σ^*L)。四、證明：由于M是緊致的，其上存在一個(gè)閉n形式ω_n，其同調(diào)類[ω_n]≠0?？紤]映射φ:H^n(M;Z)→Z，φ([ω_n])=∫_Mω_n。這個(gè)映射是良定義的（因?yàn)橥{(diào)類唯一）。同時(shí)，根據(jù)Euler示性數(shù)的定義，∫_Mω_n=χ(M)。因此φ([ω_n])=χ(M)。由于[ω_n]是H^n(M;Z)中的生成元，φ是滿射。又因?yàn)镸可定向，H^n(M;Z)?Z，且φ是同態(tài)，所以φ是同構(gòu)。具體形式為φ([ω])=∫_Mω。五、證明：根據(jù)Poincaré-Hopf定理，對(duì)于M上的任何光滑向量場(chǎng)X，∫_M(i_Xdθ)=(-1)^(n-1)|FundamentalGroupofM|。這里θ是M的體積形式。令X=?/?x_i，則i_Xθ=θ_i。所以∫_Mθ_i=(-1)^(n-1)|FundamentalGroupofM|。根據(jù)上題，∫_Mdf=χ(M)。令f為M的一個(gè)體積函數(shù)，則df=∑θ_i。所以∫_Mdf=∫_M∑θ_i=∑∫_Mθ_i=∑(-1)^(n-1)|FundamentalGroupofM|。由于M是可定向的，Euler示性數(shù)χ(M)=(-1)^(n-1)*∫_Mdf。六、證明：需要證明Λ^k(E)對(duì)截面和函數(shù)的微分化是線性的。設(shè)X_1,X_2,...,X_k,X_1',...,X_k'是截面，f,g是函數(shù)。考慮線性性對(duì)函數(shù)的微分：(Λ^k(E)(X_1,...,X_k))(f+g)=det(g(X_i,X_j)+h(X_i,X_j))=det(g(X_i,X_j))+det(h(X_i,X_j))=Λ^k(E)(X_1,...,X_k)(f)+Λ^k(E)(X_1,...,X_k)(g)?？紤]線性性對(duì)截面的微分：(Λ^k(E)(X_1+X_1',...,X_k+X_k')(f))=det(g(X_i+X_i',X_j))=det(g(X_i,X_j)+g(X_i',X_j))=det(g(X_i,X_j))+det(g(X_i',X_j))=Λ^k(E)(X_1,...,X_k)(f)+Λ^k(E)(X_1',...,X_k')(f)。因此Λ^k(E)對(duì)截面和函數(shù)的微分化是線性的，即Λ^k(E)是一個(gè)光滑的k-形式。七、證明：根據(jù)龐特里亞金類的定義，P_k(M)是k-形式θ的同調(diào)類的代表，其中θ滿足dθ=(1/k!)*(vol(M)∧L_k)，其中vol(M)是M的頂點(diǎn)形式。對(duì)于任何閉(k-1)-形式ω，考慮(dω∧L_k)。由于d(dω)=0，ω∧L_k是(k+1)-形式。由上題，∫_M(ω∧L_k)=χ(M)*∫_Mω_*(vol(M))。其中ω_*是ω的拉回映射。由于ω是(k-1)-形式，ω_*(vol(M))是一個(gè)(k+1)-形式。又由于L_k是(k+1)-形式，ω_*(vol(M))與L_k的拉回(vol(M)∧L_k)在M上積分的結(jié)果是一個(gè)整數(shù)。所以(dω∧L_k)是龐特里亞金類L_{k+1}的整數(shù)倍。八、證明：考慮E/F上的一個(gè)截面σ_F，它是E的截面σ在商叢E/F上的投影。對(duì)于B上的一個(gè)向量場(chǎng)X，π_*(X)是E上的一個(gè)截面。我們需要證明L_F(σ_F)=(L-σ^*dσ)|_F。計(jì)算L_F(σ_F)：L_F(σ_F)=(π^*L_F)(X)=L(π_*X)。另一方面，(L-σ^*dσ)|_F=(π^*L-π^*(σ^*dσ))|_F=(π^*L-(σ^*π^*)dσ)|_F=(π^*L-(π_*(σ))dσ)|_F。由于π_*(σ)是E的截面，所以(π_*(σ))dσ是E上的一個(gè)截面。因此(π_*(σ))dσ|_F=(π_*(σ))dσ|_{π(F)}=0。所以(L-σ^*dσ)|_F=(π^*L)|_F=π^*L_F。因此L_F(σ_F)=L(π_*X)=(L-σ^*dσ)|_F。九、證明：由上題，如果E是B上的實(shí)向量叢，那么H^(k)(E;Z)=H^(k)(B;Z)?？紤]E的Whitney覆蓋{U_i}，以及每個(gè)U_i上的標(biāo)準(zhǔn)正交補(bǔ)叢E_i^⊥。商叢E/U_i?E_i^⊥。由上題，E_i^⊥上的Stiefel-Whitney類w_{E_i^⊥}=w_{E_i}(1form的單位)。由Whitney拼接定理，E上的Stiefel-Whitney類w_E是所有U_i上的w_{E_i}的上極限。由于H^(1)(M;Z)=0，E_i^⊥是可定向的，所以w_{E_i^⊥}=0。因此w_E=0。由Stiefel-Whitney類的乘法，w_E=w_F∧w_{E/F}。所以w_{E/F}=w_E/w_F=0。由龐特里亞金類的定義，如果商叢E/F是可定向的，則其上的龐特里亞金類P_k(E/F)=0。由上題，對(duì)于任何閉(k-1)-形式ω，有∫_M(ω∧L_{k+1}(E/F))=χ(M)*∫_Mω_*(vol(M))。由于w_{E/F}=P_k(E/F)=0，所以對(duì)于任何閉(k-1)-形式ω，有∫_M(ω∧0)=0。這表明M是可定向的。因此M的Euler示性數(shù)χ(M)=∫_Mvol(M)=0。十、證明：設(shè)π:E→B是一個(gè)光滑向量叢，F(xiàn)?E是一個(gè)子叢?？紤]商叢E/F。根據(jù)Stiefel-Whitney類的定義，w_F是F的對(duì)偶叢F^*上的一個(gè)上同調(diào)類，滿足w_F*w_F^c=w_{E/F}，其中w_F^c是F^*上的類，w_{E/F}是E/F上的類。對(duì)于B上的一個(gè)光滑函數(shù)f，f*w_F是E/F上的一個(gè)類。根據(jù)Whitney拼接定理，E/F上的Stiefel-Whitney類是所有U_i上的Stiefel-Whitney類的上極限。對(duì)于每個(gè)U_i，F(xiàn)在U_i上的局部化F_i是E_i上的一個(gè)子叢。根據(jù)子叢的Stiefel-Whitney類的性質(zhì)，w_{F_i}=w_{E_i}*w_{E_i/F_i}。由于E_i/F_i是F_i的商叢，且F_i是E_i的子叢，所以w_{E_i/F_i}=w_F^c。因此w_{F_i}=w_{E_i}*w_F^c。所以f*w_F在每個(gè)U_i上等于f*(w_{E_i}*w_F^c)。由上題，E_i上的St