2025年大學(xué)《物理學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——電荷傳輸與電子結(jié)構(gòu)研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.一根帶電細(xì)線彎成半徑為R的半圓形，電荷線密度均勻，電荷量為Q。求圓心O點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向。2.一平行板電容器，板面積為S，板間距為d，兩板間充滿介電常數(shù)為ε的電介質(zhì)。當(dāng)兩板間電壓為U時(shí)，求此電容器儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量。3.解釋什么是“電介質(zhì)極化”，并簡(jiǎn)述電介質(zhì)對(duì)靜電場(chǎng)的影響。二、1.一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻帶電細(xì)棒，電荷線密度為λ。求距離棒一端垂直距離為d的P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。2.簡(jiǎn)述歐姆定律的微分形式及其物理意義。3.一個(gè)電路由一個(gè)電動(dòng)勢(shì)為ε、內(nèi)阻為r的電源和一個(gè)阻值為R的電阻連接而成。求電路中的電流以及電阻R兩端的電壓。三、1.根據(jù)玻爾模型，計(jì)算氫原子處于基態(tài)時(shí)，電子的動(dòng)能、勢(shì)能以及總能量。2.簡(jiǎn)述量子力學(xué)中描述粒子狀態(tài)的基本特征——波函數(shù)的意義和必須滿足的條件。3.解釋什么是能帶，并說(shuō)明導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體在能帶結(jié)構(gòu)上的主要區(qū)別。四、1.根據(jù)一維無(wú)限深勢(shì)阱模型，計(jì)算阱寬為a的勢(shì)阱中，能量為n=2的態(tài)對(duì)應(yīng)的波函數(shù)表達(dá)式（用正弦或余弦函數(shù)表示）。2.在能帶理論框架下，解釋為什么金屬導(dǎo)體容易導(dǎo)電，而絕緣體不易導(dǎo)電。3.簡(jiǎn)述什么是“自旋”，并說(shuō)明泡利不相容原理的內(nèi)容及其對(duì)多電子原子結(jié)構(gòu)的意義。五、1.一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的導(dǎo)線，通有穩(wěn)恒電流I，電流在導(dǎo)線內(nèi)均勻分布。求距離導(dǎo)線垂直距離為d的P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。紤]d遠(yuǎn)小于L的情況）。2.半導(dǎo)體中有兩種載流子：電子和空穴。簡(jiǎn)述它們各自如何參與導(dǎo)電。3.簡(jiǎn)要說(shuō)明掃描隧道顯微鏡（STM）的基本工作原理及其在研究物質(zhì)表面電子結(jié)構(gòu)方面的優(yōu)勢(shì)。試卷答案一、1.E=λ/(2πε?R)，方向沿半圓的垂直平分線，背離圓心（假設(shè)Q為正電荷）。解析思路：將半圓環(huán)分割為無(wú)數(shù)微小電流元，利用庫(kù)侖定律和矢量疊加求合場(chǎng)強(qiáng)。由對(duì)稱性可知，水平方向分量為零，垂直方向分量疊加。取對(duì)稱軸為x軸，圓心為原點(diǎn)，則dE=λdL/(4πε?R2)sinθ，其中θ為電流元到場(chǎng)心的張角。由于對(duì)稱，dEx=0，dEy=dEsinθ。合場(chǎng)強(qiáng)Ex=∫dEx=0，Ey=∫dEy=∫(λdL/(4πε?R2))sinθ=λ/(4πε?R2)∫dsinθ。積分范圍從0到π，∫sinθdθ=-cosθ|?^π=2。故E=Ey=λ/(2πε?R)。2.W=(ε?εS/2d)U2=(εS/2κd)U2。解析思路：電容器儲(chǔ)存的能量公式W=(1/2)CV2。先求電容C=(ε?εS)/d(平行板電容器公式)，再代入U(xiǎn)2，得到W=(1/2)×(ε?εS/d)×U2=(ε?εS/2d)U2。其中κ=ε/ε?為相對(duì)介電常數(shù)。3.電介質(zhì)在電場(chǎng)作用下，其內(nèi)部或表面出現(xiàn)宏觀上電荷分布的現(xiàn)象。電介質(zhì)會(huì)削弱在外電場(chǎng)中自由電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，使得電介質(zhì)內(nèi)部的合電場(chǎng)減小。二、1.E=λ/(2πε?√(R2+d2))，方向沿細(xì)棒垂直并指向遠(yuǎn)離棒的方向（假設(shè)Q為正電荷）。解析思路：將帶電細(xì)棒視為無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的極限情況。利用無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線在距離r處的場(chǎng)強(qiáng)公式E=λ/(2πε?r)，其中r為場(chǎng)點(diǎn)P到細(xì)棒軸線的距離，r=√(R2+d2)。方向上，由于棒是半圓形，場(chǎng)強(qiáng)方向會(huì)偏向遠(yuǎn)離棒的方向。2.j=E/ρ，描述了空間某點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E與該點(diǎn)材料的電導(dǎo)率ρ之比，等于該點(diǎn)電流密度j。它表示了材料內(nèi)部電場(chǎng)力驅(qū)動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)的能力。解析思路：歐姆定律的微分形式是j=σE，其中σ=1/ρ是材料的電導(dǎo)率。將j和E代入，得到j(luò)=E/ρ。該公式表明電流密度的大小和方向由電場(chǎng)強(qiáng)度決定，并且與材料的導(dǎo)電性能（電導(dǎo)率）有關(guān)。3.電路中的總電流I=ε/(R+r)，電阻R兩端的電壓U=IR=εR/(R+r)。解析思路：應(yīng)用閉合電路歐姆定律，電路的總電阻為內(nèi)阻r和外電阻R之和。總電流I=ε/(R+r)。電阻R兩端的電壓U為通過(guò)電阻R的電流I乘以R，即U=IR。將I代入得到U=εR/(R+r)。三、1.動(dòng)能T=me2/(2n2h2)，勢(shì)能V=-me2/(n2h2)，總能量E=me2/(2n2h2)。解析思路：根據(jù)玻爾模型，電子在半徑為r?的軌道上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能由向心力提供T=mv?2/2=me2/r?2。勢(shì)能V=-me2/r??？偰芰縀=T+V=me2/r?-me2/2r?=-me2/2r?。根據(jù)量子化條件，角動(dòng)量L=mvr?=n?，其中n為主量子數(shù)。對(duì)于氫原子，me2/ε?r?2=mω2r?，ω是電子的角速度。結(jié)合L2=m2v?2r?2=n2?2，可以解出r?=n2ε??2/me2。代入動(dòng)能和勢(shì)能公式，得到T=me2/(2n2ε?2h?)，V=-me2/(n2ε?2h?)。因?yàn)棣?h=?/mc，所以動(dòng)能T=me2/(2n2h2c2)，勢(shì)能V=-me2/(n2h2c2)，總能量E=T+V=me2/(2n2h2)。2.波函數(shù)ψ(x,t)的模平方|ψ(x,t)|2代表在時(shí)刻t、位置x附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率密度。波函數(shù)必須滿足單值性、連續(xù)性和有限性，并滿足薛定諤方程。解析思路：波函數(shù)是量子力學(xué)的核心概念，描述了粒子的狀態(tài)。其物理意義在于模平方與概率密度相關(guān)。波函數(shù)作為概率幅，必須滿足數(shù)學(xué)上作為解的必要條件：?jiǎn)沃担ㄔ诳臻g每一點(diǎn)概率只有一個(gè)值）、連續(xù)（概率密度和概率流密度不能躍變）、有限（概率不能無(wú)限大）。對(duì)于定態(tài)問(wèn)題，波函數(shù)還需滿足時(shí)間相關(guān)的薛定諤方程。3.能帶是由固體中大量原子能級(jí)在相互作用下擴(kuò)展、重疊形成的一系列能量不連續(xù)的區(qū)間。導(dǎo)體具有較寬的導(dǎo)帶且導(dǎo)帶與價(jià)帶重疊或價(jià)帶為空帶，允許電子易被激發(fā)而導(dǎo)電；半導(dǎo)體導(dǎo)帶與價(jià)帶之間存在較窄的禁帶，常溫下電子不易被激發(fā)，但溫度升高或在光照下可導(dǎo)電；絕緣體具有很寬的禁帶，電子難以被激發(fā)到導(dǎo)帶，常溫下基本不導(dǎo)電。四、1.ψ?(x)=√(2/a)sin(nπx/a)，其中0<x<a。解析思路：一維無(wú)限深勢(shì)阱中，粒子狀態(tài)由量子數(shù)n決定。對(duì)于n=2，對(duì)應(yīng)的波函數(shù)為ψ?(x)=Asin(2πx/a)。歸一化條件∫??|ψ?(x)|2dx=1，可得A2(∫??sin2(2πx/a)dx)=1。利用積分公式∫sin2(kx)dx=(x/2)-(sin(2kx)/(4k))，計(jì)算得到A2(a/2)=1，故A=√(2/a)。因此ψ?(x)=√(2/a)sin(2πx/a)。2.金屬導(dǎo)體中存在未被填滿的導(dǎo)帶（或價(jià)帶為空帶），電子只需較小的能量就能被激發(fā)到更高的空能級(jí)上自由移動(dòng)，形成電流。絕緣體中價(jià)帶被電子完全填滿，且與導(dǎo)帶之間存在很寬的禁帶，電子難以被激發(fā)到導(dǎo)帶，因此不導(dǎo)電。半導(dǎo)體與絕緣體類似，但禁帶寬度較小，室溫下有少量電子能被激發(fā)到導(dǎo)帶，可以導(dǎo)電。解析思路：根據(jù)能帶理論，材料的導(dǎo)電性取決于其能帶結(jié)構(gòu)。導(dǎo)體有可供電子自由移動(dòng)的能級(jí)（導(dǎo)帶），電子易在外電場(chǎng)作用下定向移動(dòng)形成電流。絕緣體價(jià)帶全滿，導(dǎo)帶空缺且禁帶寬度很大，電子難以躍遷到導(dǎo)帶。半導(dǎo)體類似絕緣體，但禁帶寬度較小，室溫下有少量載流子。3.STM利用量子隧穿效應(yīng)。當(dāng)極細(xì)的金屬針尖在樣品表面掃描時(shí)，針尖與樣品表面之間形成極小的空氣間隙（幾納米）。若針尖和樣品表面有導(dǎo)電特性，電子可以穿過(guò)間隙發(fā)生隧道電流。隧道電流對(duì)針