2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學(xué)如何支持社會公益事業(yè)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述概率抽樣在獲取社會公益項目數(shù)據(jù)時的優(yōu)勢，并列舉至少三種常見的概率抽樣方法。二、某公益組織希望了解志愿者每周投入在志愿服務(wù)上的平均小時數(shù)。隨機(jī)抽取了50名志愿者，得到樣本數(shù)據(jù)。請簡述如何使用樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差來描述這50名志愿者每周志愿服務(wù)時數(shù)的集中趨勢和離散程度。在描述中，需要說明你所選用的指標(biāo)及其理由。三、一項研究旨在探究不同宣傳方式（方式A、方式B、方式C）對公眾參與某項公益活動意愿的影響。隨機(jī)抽取了300名公眾，分別接觸不同的宣傳方式后，調(diào)查其參與意愿（是/否）。請設(shè)計一個假設(shè)檢驗方案，以判斷三種宣傳方式的平均參與意愿是否存在顯著差異。需要寫出原假設(shè)和備擇假設(shè)，并說明將選用哪種（或哪些）統(tǒng)計檢驗方法，以及理由。四、某基金會想知道捐贈金額（Y，單位：元）與捐贈者年收入（X，單位：元）之間是否存在線性關(guān)系。他們收集了100份有效捐贈記錄的數(shù)據(jù)。請簡述如果使用簡單線性回歸分析來研究這個問題，需要計算哪些關(guān)鍵統(tǒng)計量，并解釋這些統(tǒng)計量（如回歸系數(shù)、R方）在實際問題中的含義。五、假設(shè)通過簡單線性回歸分析得到捐贈金額（Y）對年收入（X）的回歸方程為Y?=500+0.05X。請解釋回歸系數(shù)0.05的含義。如果某位捐贈者的年收入為80,000元，根據(jù)此方程預(yù)測其平均捐贈金額約為多少？請說明預(yù)測結(jié)果的含義（注意：僅要求寫出預(yù)測值，無需解釋含義）。六、某社區(qū)希望評估一項針對青少年的扶貧項目效果。項目前隨機(jī)抽取100名青少年進(jìn)行測試，平均成績?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分。項目持續(xù)一年后，對相同群體再次測試，隨機(jī)抽取了100名，平均成績?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)差仍為10分。請計算項目前后成績變化的點估計值（平均成績差），并構(gòu)建一個95%的置信區(qū)間來估計平均成績提升的區(qū)間范圍。假設(shè)數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布。七、一家公益書店統(tǒng)計了近一個月內(nèi)每周周末（周六、周日）售出的公益類書籍?dāng)?shù)量（單位：本），數(shù)據(jù)如下（此處僅作描述，非真實數(shù)據(jù)）：15,20,18,22,19,21,17,23,16,24,20,18。請計算該書店每周周末售出公益類書籍?dāng)?shù)量的樣本均值、樣本中位數(shù)和樣本方差。根據(jù)計算結(jié)果，簡要描述這些書籍銷售量的集中趨勢和波動情況。八、某項調(diào)查發(fā)現(xiàn)，支持某項社會公益政策的受訪者中，有60%是女性。在所有受訪者中，女性占比為52%。請解釋什么是“抽樣偏差”，并簡要分析在這項調(diào)查中，是否存在支持該公益政策的受訪者樣本可能存在的性別抽樣偏差？說明理由。九、一個非營利組織想要了解其會員對某項新服務(wù)的滿意度。他們計劃進(jìn)行一項抽樣調(diào)查。請比較“簡單隨機(jī)抽樣”和“分層隨機(jī)抽樣”在本次調(diào)查中的應(yīng)用場景和可能的優(yōu)勢。如果該組織的會員分為青年組、中年組和老年組，你會建議采用哪種抽樣方法？并說明選擇理由。十、假設(shè)一項研究旨在分析影響慈善捐贈額度的因素，研究者收集了捐贈者的年齡、年收入、教育程度（分類變量：小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)、研究生）和每月捐贈時間（小時）等數(shù)據(jù)。請簡述如果要分析哪些因素與捐贈額度顯著相關(guān)，可以考慮使用哪些統(tǒng)計方法，并說明選擇這些方法的原因。試卷答案一、概率抽樣能夠確保樣本能夠代表總體，從而使得基于樣本得出的結(jié)論更可靠，能夠有效避免抽樣過程中的主觀偏見。常見的概率抽樣方法包括：1.簡單隨機(jī)抽樣：總體中每個單位被抽中的概率相等，方法如抽簽、隨機(jī)數(shù)表。2.系統(tǒng)抽樣：將總體單位按一定順序排列，按固定間隔抽取樣本。3.分層抽樣：將總體按某個特征劃分為若干層，每層內(nèi)隨機(jī)抽取樣本，確保各層代表性。4.整群抽樣：將總體劃分為若干群組，隨機(jī)抽取群組，群內(nèi)所有單位均入選樣本。二、使用樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差描述集中趨勢和離散程度：1.集中趨勢：使用樣本均值（\(\bar{x}\)）來描述。均值計算簡單，能反映數(shù)據(jù)整體的平均水平。公式為\(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)。將計算出的均值解釋為這50名志愿者每周平均投入的志愿服務(wù)小時數(shù)。2.離散程度：使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差（s）來描述。標(biāo)準(zhǔn)差衡量數(shù)據(jù)圍繞均值的波動大小，能反映數(shù)據(jù)的變異性。公式為\(s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\)。將計算出的標(biāo)準(zhǔn)差解釋為這50名志愿者每周志愿服務(wù)時數(shù)偏離平均時數(shù)的平均幅度。較大的標(biāo)準(zhǔn)差表示時數(shù)分布較分散，較小的標(biāo)準(zhǔn)差表示時數(shù)分布較集中。三、假設(shè)檢驗方案：1.原假設(shè)（H?）：三種宣傳方式的平均參與意愿無顯著差異。即\(\mu_A=\mu_B=\mu_C\)。2.備擇假設(shè)（H?）：至少有兩種宣傳方式的平均參與意愿存在顯著差異。即\(\mu_A,\mu_B,\mu_C\)不全相等。3.統(tǒng)計檢驗方法：應(yīng)選用單因素方差分析（One-wayANOVA）。理由：該檢驗適用于比較三個或以上組別（本例中為三種宣傳方式）的均值是否存在顯著差異。如果數(shù)據(jù)不符合正態(tài)性或方差齊性假設(shè)，可考慮使用非參數(shù)檢驗如Kruskal-Wallis檢驗。四、需要計算的關(guān)鍵統(tǒng)計量及其含義：1.回歸系數(shù)（β?或b?）：表示自變量（年收入X）每增加一個單位，因變量（捐贈金額Y）平均變化多少個單位。在本問題中，其含義是捐贈者年收入每增加1元，其平均捐贈金額預(yù)計增加多少元。2.截距（β?或b?）：表示當(dāng)自變量（年收入X）為0時，因變量（捐贈金額Y）的預(yù)測值。但在實際應(yīng)用中，年收入為0不現(xiàn)實，截距的解釋意義較弱，通常用于確定回歸直線在Y軸上的截點。3.判定系數(shù)（R2或r2）：表示因變量的總變異中，有多少比例可以被自變量（年收入X）與因變量（捐贈金額Y）之間的線性關(guān)系所解釋。在本問題中，R2的含義是年收入對捐贈金額變異的解釋程度。R2越接近1，說明年收入與捐贈金額的線性關(guān)系越強(qiáng)。五、1.回歸系數(shù)0.05的含義：捐贈者年收入每增加1元，其平均捐贈金額預(yù)計增加0.05元。2.預(yù)測值：預(yù)測該捐贈者的平均捐贈金額為\(Y?=500+0.05\times80000=500+4000=4500\)元。六、1.點估計值：平均成績變化的點估計值為項目后平均成績減去項目前平均成績，即\(75-70=5\)分。這表示估計的項目效果是平均成績提升了5分。2.置信區(qū)間構(gòu)建：需要計算標(biāo)準(zhǔn)誤（SE），對于獨立樣本均值差，SE的計算涉及合并方差（如果假設(shè)方差相等）或使用樣本方差（如果假設(shè)不等）。公式為\(\text{SE}=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\)（假設(shè)不等，s?=s?=s=10,n?=n?=100）。計算得到\(\text{SE}=\sqrt{\frac{10^2}{100}+\frac{10^2}{100}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\approx1.414\)分。查t分布表，自由度df=n?+n?-2=198，α/2=0.025，對應(yīng)的t值約為1.98（可用z值近似2）。置信區(qū)間=差值±t*SE=5±1.98*1.414=5±2.795。95%的置信區(qū)間為(5-2.795,5+2.795)即(2.205,7.795)分。這意味著可以95%的置信度認(rèn)為，該扶貧項目使青少年平均成績提升了2.205分到7.795分。七、1.樣本均值：\(\bar{x}=\frac{15+20+18+22+19+21+17+23+16+24+20+18}{12}=\frac{240}{12}=20\)本。2.樣本中位數(shù)：將數(shù)據(jù)排序：15,16,17,18,18,19,20,20,21,22,23,24。中位數(shù)位置在第(12+1)/2=6.5個，取第6和第7個數(shù)的平均數(shù)，即(19+20)/2=19.5本。3.樣本方差：\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{11}[(15-20)^2+(16-20)^2+...+(18-20)^2]\)\(=\frac{1}{11}[(25+16+9+4+1+0+9+9+16+16+0+4)]=\frac{1}{11}[110]=10\)。樣本標(biāo)準(zhǔn)差\(s=\sqrt{10}\approx3.162\)本2。描述：樣本均值為20本，中位數(shù)為19.5本，表明銷售量中心值在20本左右。樣本方差為10，標(biāo)準(zhǔn)差約為3.16本，表明每周銷售量圍繞均值20本上下波動約3.16本的范圍。數(shù)據(jù)相對集中。八、1.抽樣偏差定義：抽樣偏差是指樣本統(tǒng)計量（如樣本比例）與總體參數(shù)（總體比例）之間存在的系統(tǒng)性差異，這種差異并非由隨機(jī)抽樣誤差引起，而是由于抽樣方法或樣本選擇過程存在固有缺陷導(dǎo)致。2.是否存在偏差分析：在這項調(diào)查中，如果支持該政策的受訪者樣本中女性比例（60%）顯著高于總體受訪者中的女性比例（52%），則可能存在性別抽樣偏差。這可能是因為抽樣方法（如僅在線上調(diào)查且主要在社交媒體推廣）導(dǎo)致支持該政策的女性用戶更易被接觸到，或者支持該政策的女性更愿意參與此類調(diào)查。這種偏差會使得調(diào)查結(jié)果高估支持該政策的人群中女性的比例，從而影響對政策支持度的全面評估。九、1.比較：*簡單隨機(jī)抽樣：操作簡單，概念清晰。但可能存在抽樣框不完整或成本高的問題，且如果總體內(nèi)部差異大，可能需要很大樣本量才能保證代表性。*分層隨機(jī)抽樣：將總體按重要特征（如年齡）劃分層次，可在保證各層代表性前提下，減少樣本量，提高估計精度。特別適用于總體內(nèi)部各層間差異較大，而層內(nèi)差異較小的情況。2.建議與方法：對于該組織的會員分為青年組、中年組和老年組的情況，建議采用分層隨機(jī)抽樣。理由：不同年齡段的會員可能在參與意愿、消費能力等方面存在顯著差異。分層抽樣可以確保每個年齡段（層）的會員都能被代表，使得樣本結(jié)構(gòu)更接近總體結(jié)構(gòu)，提高調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性和代表性，從而更有效地分析年齡因素對捐贈額度的影響。十、可以考慮使用的統(tǒng)計方法及原因：1.相關(guān)分析（如Pearson相關(guān)系數(shù)）：用于分析連續(xù)型自變量（如年齡、每月捐贈時間）與連續(xù)型因變量（捐贈額度）之間是否存在線性關(guān)系及關(guān)系強(qiáng)度。原因：快速初步判斷變量間關(guān)聯(lián)程度。2.單因素方差分析（ANOVA）