2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)學(xué)在生態(tài)環(huán)境監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用案例探討考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述總體、樣本、參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量的區(qū)別與聯(lián)系。在生態(tài)環(huán)境監(jiān)測(cè)中，為何通常需要使用樣本數(shù)據(jù)來(lái)推斷總體特征？二、假設(shè)某研究人員想調(diào)查某湖泊不同湖區(qū)的水體透明度（單位：米），他在每個(gè)湖區(qū)隨機(jī)采集了5個(gè)水樣進(jìn)行測(cè)量，得到以下數(shù)據(jù)：1.2,1.5,1.3,1.4,1.1。請(qǐng)計(jì)算該樣本的均值、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。并簡(jiǎn)述這些描述統(tǒng)計(jì)量的意義。三、在監(jiān)測(cè)某城市空氣中的PM2.5濃度時(shí)，研究人員收集了連續(xù)30天的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)PM2.5濃度呈波動(dòng)上升趨勢(shì)。請(qǐng)說(shuō)明判斷該趨勢(shì)是否具有統(tǒng)計(jì)意義的兩種主要推斷統(tǒng)計(jì)方法，并簡(jiǎn)述其基本原理。四、為了研究森林砍伐深度（X，單位：米）與后續(xù)某物種豐度指數(shù)（Y）之間的關(guān)系，研究人員收集了10個(gè)森林樣地的數(shù)據(jù)。分析顯示，X和Y之間存在正相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)r=0.75。請(qǐng)解釋相關(guān)系數(shù)r的意義，并說(shuō)明其局限性。五、某環(huán)保部門想比較兩種不同的污水處理方法（方法A和方法B）對(duì)水中COD（化學(xué)需氧量）去除效果是否存在顯著差異。他們選取了多個(gè)條件相似的污水處理廠，隨機(jī)將它們分為兩組，分別采用方法A和方法B進(jìn)行處理，測(cè)量處理后的出水COD濃度。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)合適的假設(shè)檢驗(yàn)方案，用于檢驗(yàn)兩種方法的去除效果是否存在顯著差異。需要明確說(shuō)明零假設(shè)和備擇假設(shè)，以及可能使用的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法。六、研究者收集了某區(qū)域過(guò)去20年的年平均氣溫（°C）和某種依賴溫度的浮游生物密度（個(gè)/升）數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)兩者之間存在明顯的線性關(guān)系。請(qǐng)簡(jiǎn)述如何建立年平均氣溫與浮游生物密度之間的簡(jiǎn)單線性回歸模型。并解釋回歸系數(shù)的含義。若預(yù)測(cè)未來(lái)某年氣溫為15°C時(shí)，該物種的密度大約是多少？（僅需寫出建模和預(yù)測(cè)的思路，無(wú)需計(jì)算）七、在對(duì)某河流進(jìn)行水質(zhì)綜合評(píng)價(jià)時(shí)，研究人員收集了多個(gè)水質(zhì)指標(biāo)（如溶解氧、氨氮、總磷、濁度等）的數(shù)據(jù)。由于指標(biāo)的單位不同，且各指標(biāo)的重要性可能不同，直接進(jìn)行綜合比較比較困難。請(qǐng)說(shuō)明主成分分析（PCA）在這種情況下可以如何應(yīng)用，并簡(jiǎn)述其基本原理和優(yōu)勢(shì)。八、為了評(píng)估某地區(qū)不同功能區(qū)（如工業(yè)區(qū)、居民區(qū)、綠化區(qū)）的土壤重金屬污染水平，研究人員采集了每個(gè)功能區(qū)多個(gè)土壤樣本的重金屬含量數(shù)據(jù)。請(qǐng)說(shuō)明可以使用哪些多元統(tǒng)計(jì)分析方法來(lái)比較不同功能區(qū)的土壤重金屬污染狀況或進(jìn)行聚類，并簡(jiǎn)述其中一種方法的基本原理。九、某課題組長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)某自然保護(hù)區(qū)鳥(niǎo)類數(shù)量，發(fā)現(xiàn)其數(shù)量呈現(xiàn)周期性波動(dòng)。請(qǐng)簡(jiǎn)述分析這種時(shí)間序列數(shù)據(jù)的方法，并說(shuō)明如何判斷其是否具有顯著的周期性。十、假設(shè)你是一名統(tǒng)計(jì)顧問(wèn)，被邀請(qǐng)參與一項(xiàng)關(guān)于“某流域農(nóng)業(yè)活動(dòng)對(duì)下游水體硝酸鹽濃度影響”的研究項(xiàng)目。請(qǐng)根據(jù)項(xiàng)目背景，列出在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，你可能需要考慮使用哪些統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，并簡(jiǎn)要說(shuō)明每個(gè)方法的目的。試卷答案一、總體是指研究對(duì)象的全體，樣本是從總體中隨機(jī)抽取的一部分。參數(shù)是描述總體特征的數(shù)值，統(tǒng)計(jì)量是描述樣本特征的數(shù)值。在生態(tài)環(huán)境監(jiān)測(cè)中，總體往往龐大或難以全面觀測(cè)，而樣本數(shù)據(jù)相對(duì)容易獲取，通過(guò)樣本統(tǒng)計(jì)量可以推斷總體的參數(shù)特征。使用樣本可以節(jié)省成本、時(shí)間和人力，并提高監(jiān)測(cè)效率。二、樣本均值：$\bar{x}=\frac{1.2+1.5+1.3+1.4+1.1}{5}=1.3$米。樣本中位數(shù)：排序后為1.1,1.1,1.3,1.4,1.5，中位數(shù)$M=1.3$米。樣本方差：$s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{(1.2-1.3)^2+(1.5-1.3)^2+(1.3-1.3)^2+(1.4-1.3)^2+(1.1-1.3)^2}{4}=0.0225$米$^2$。樣本標(biāo)準(zhǔn)差：$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{0.0225}=0.15$米。均值反映了樣本的中心位置，中位數(shù)也反映了樣本的中心位置，尤其在數(shù)據(jù)偏斜時(shí)更有代表性。方差衡量樣本數(shù)據(jù)的離散程度，標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，具有與原始數(shù)據(jù)相同的單位，更易解釋。三、兩種主要方法為：1)參數(shù)檢驗(yàn)，如配對(duì)樣本t檢驗(yàn)或獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，適用于數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布且方差已知或未知的情況，檢驗(yàn)總體均值是否存在顯著差異。2)非參數(shù)檢驗(yàn)，如符號(hào)檢驗(yàn)或秩和檢驗(yàn)，適用于數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)分布或?yàn)榈燃?jí)數(shù)據(jù)的情況，檢驗(yàn)總體分布位置是否存在顯著差異。推斷統(tǒng)計(jì)的基本原理是利用樣本信息，根據(jù)小概率反證法，判斷關(guān)于總體參數(shù)的假設(shè)是否成立。四、相關(guān)系數(shù)r=0.75表示變量X（森林砍伐深度）和Y（物種豐度指數(shù)）之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，即砍伐深度越大，物種豐度指數(shù)傾向于越高。其局限性在于：1)只能說(shuō)明變量間是否存在線性關(guān)系和關(guān)系的強(qiáng)度，不能證明因果關(guān)系。2)不適用于非線性關(guān)系。3)受異常值影響較大。4)相關(guān)不等于因果。五、零假設(shè)$H_0$：兩種污水處理方法的出水COD濃度總體均值相同，即$\mu_A=\mu_B$。備擇假設(shè)$H_1$：兩種污水處理方法的出水COD濃度總體均值不同，即$\mu_A\neq\mu_B$?？赡苁褂玫慕y(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法：如果兩組數(shù)據(jù)滿足正態(tài)性、方差齊性假設(shè)，可以使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)；如果不滿足方差齊性，可以使用Welch'st檢驗(yàn)；如果數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)性假設(shè)，可以使用Mann-WhitneyU檢驗(yàn)（非參數(shù)檢驗(yàn)）。六、建立簡(jiǎn)單線性回歸模型的步驟：1)繪制散點(diǎn)圖，觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)是否存在線性趨勢(shì)。2)使用最小二乘法計(jì)算回歸系數(shù)$b_1$（斜率）和截距$b_0$，得到回歸方程$\hat{Y}=b_0+b_1X$。3)解釋$b_1$的含義：當(dāng)年平均氣溫X每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)測(cè)的浮游生物密度Y平均變化$b_1$個(gè)單位。預(yù)測(cè)未來(lái)某年氣溫為15°C時(shí)，將X=15代入回歸方程$\hat{Y}=b_0+b_1\times15$，即可得到該物種密度的預(yù)測(cè)值。七、主成分分析（PCA）可以應(yīng)用于水質(zhì)綜合評(píng)價(jià)：將多個(gè)不同單位和量綱的水質(zhì)指標(biāo)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后，通過(guò)線性組合將原始多個(gè)變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)互不相關(guān)的新變量（主成分），這些主成分能夠保留原始數(shù)據(jù)的大部分信息量。其基本原理是最大化方差，即讓第一主成分解釋原始數(shù)據(jù)最大方差，第二主成分解釋次大方差，且各主成分之間正交不相關(guān)。優(yōu)勢(shì)在于降維，簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，突出主要影響因素，便于后續(xù)進(jìn)行主成分得分排序或與其他分析方法（如聚類分析）結(jié)合使用。八、可以使用的多元統(tǒng)計(jì)分析方法：1)多元方差分析（MANOVA）：用于比較不同功能區(qū)的多個(gè)土壤重金屬指標(biāo)均值向量是否存在顯著差異。2)聚類分析（如K-means，層次聚類）：根據(jù)多個(gè)土壤重金屬指標(biāo)的數(shù)據(jù)相似性，將不同的功能區(qū)聚類，識(shí)別出具有相似污染特征的組別。3)主成分分析（PCA）：如同第七題所述，可以用于降維，識(shí)別主要的污染因子，并分析各功能區(qū)在這些因子上的表現(xiàn)。其中一種方法（如MANOVA）的基本原理是檢驗(yàn)多個(gè)響應(yīng)變量與一個(gè)或多個(gè)分類變量之間的線性關(guān)系是否顯著，它將多個(gè)F檢驗(yàn)結(jié)合為一個(gè)綜合檢驗(yàn)，控制整體第一類錯(cuò)誤率。九、分析時(shí)間序列數(shù)據(jù)的方法：1)時(shí)間序列圖：繪制數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)圖，直觀觀察是否存在趨勢(shì)、周期性或季節(jié)性。2)描述性統(tǒng)計(jì)：計(jì)算均值、標(biāo)準(zhǔn)差等隨時(shí)間的變化。3)自相關(guān)分析（ACF）和偏自相關(guān)分析（PACF）：分析數(shù)據(jù)自身在不同滯后期的相關(guān)程度，有助于識(shí)別數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性以及潛在的autoregressive(AR),movingaverage(MA)或ARIMA模型結(jié)構(gòu)。4)周期性檢驗(yàn)：使用傅里葉分析或季節(jié)性分解方法，檢測(cè)是否存在顯著的周期性成分。判斷是否具有顯著周期性的方法可以通過(guò)觀察ACF/PACF圖是否有在特定周期滯后處截尾或緩慢衰減的特征，或通過(guò)方差分析（ANOVA）比較不同時(shí)間段的均值是否存在顯著差異。十、可能使用的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法及其目的：1)描述統(tǒng)計(jì)：計(jì)算不同農(nóng)業(yè)活動(dòng)強(qiáng)度區(qū)域（如施肥量、農(nóng)藥使用量）的水體硝酸鹽濃度均值、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等，描述數(shù)據(jù)的基本分布特征。2)相關(guān)性分析：計(jì)算農(nóng)業(yè)活動(dòng)指標(biāo)（如化肥施用量）與水體硝酸鹽濃度之間的相關(guān)系數(shù)，初步判斷兩者是否存在關(guān)聯(lián)及關(guān)系強(qiáng)度。3)回歸分析：建立水體硝酸鹽濃度關(guān)于農(nóng)業(yè)活動(dòng)指標(biāo)（可能是一個(gè)或多個(gè)）的回歸模型（如多元線性回歸），定量評(píng)估農(nóng)業(yè)活動(dòng)對(duì)硝酸鹽濃度的解釋程度和影響方向（正向或負(fù)向）。4)