2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的實踐技能與創(chuàng)新能力考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)的基本性質(zhì)。請分別舉例說明連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量各一種常見的概率分布，并說明其適用場景。二、假設(shè)某城市公共交通管理部門想要了解市民對地鐵晚高峰時段擁擠程度的滿意度。他們隨機(jī)抽取了100名乘坐地鐵晚高峰時段的乘客進(jìn)行問卷調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，65%的乘客表示對擁擠程度“非常不滿意”或“不滿意”。1.請指出本例中的總體、樣本、樣本量、以及一個可能的統(tǒng)計量。2.若該管理部門希望以95%的置信水平估計全市乘客對晚高峰地鐵擁擠程度“非常不滿意”或“不滿意”的比例，并要求置信區(qū)間寬度不超過0.05，問他們至少還需要隨機(jī)調(diào)查多少名乘客？（請說明計算過程中所依據(jù)的公式或原理）三、某公司人力資源部想要評估兩種不同的培訓(xùn)方法（方法A和方法B）對員工生產(chǎn)效率的影響。他們隨機(jī)選取了60名新入職員工，將其均分為兩組，每組30人。一組接受方法A的培訓(xùn)，另一組接受方法B的培訓(xùn)。培訓(xùn)結(jié)束后一個月，記錄了兩組員工的平均生產(chǎn)效率（單位：件/天）如下（數(shù)據(jù)僅為示例性描述，非真實數(shù)據(jù)）：*假設(shè)接受方法A培訓(xùn)的員工平均生產(chǎn)效率樣本均值為15件/天，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2件/天。*假設(shè)接受方法B培訓(xùn)的員工平均生產(chǎn)效率樣本均值為14件/天，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.5件/天。請設(shè)計一個統(tǒng)計檢驗方案，判斷這兩種培訓(xùn)方法在提高員工生產(chǎn)效率方面是否存在顯著差異。需要明確：1.檢驗的原假設(shè)和備擇假設(shè)。2.選擇何種檢驗方法（并說明理由）。3.簡述檢驗的步驟（包括計算檢驗統(tǒng)計量、確定拒絕域或P值等）。4.說明在什么情況下需要考慮使用Welch'st檢驗而不是標(biāo)準(zhǔn)的獨立樣本t檢驗。四、某零售商想要分析其網(wǎng)站上顧客購買行為與頁面瀏覽順序之間的關(guān)系。他們收集了1000名顧客的瀏覽和購買數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)顯示，有300名顧客按照“首頁->產(chǎn)品列表->購物車->結(jié)賬”的順序完成了購買，另有200名顧客按照“首頁->促銷頁->產(chǎn)品列表->購物車->結(jié)賬”的順序完成購買。其他瀏覽路徑組合也均有記錄，但此處僅列舉兩種。請?zhí)岢鲋辽賰煞N不同的統(tǒng)計方法或思路，用于分析頁面瀏覽順序?qū)ψ罱K是否完成購買（是/否二元變量）可能產(chǎn)生的影響。對于每種方法或思路，簡要說明其基本原理以及如何應(yīng)用上述數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。五、假設(shè)你是一名數(shù)據(jù)分析師，負(fù)責(zé)監(jiān)測某網(wǎng)站每日訪問量（PV）的變化趨勢。你收集了過去120天的每日PV數(shù)據(jù)。初步觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)一定的上升趨勢，但同時夾雜著明顯的周期性波動（可能每周有高峰低谷）。1.簡述時間序列分析中，確定趨勢、季節(jié)性和周期性的常用方法有哪些？2.假設(shè)你使用某種方法（如移動平均法或指數(shù)平滑法）擬合了數(shù)據(jù)的趨勢成分，并嘗試從中剔除趨勢和季節(jié)性影響，得到了一個“去趨勢去季節(jié)化”的序列。請解釋這個去趨勢去季節(jié)化序列可能反映了什么信息？分析這個序列的殘差項對于評估時間序列模型擬合效果有何意義？3.如果發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中存在異常值（如某一天因為特殊事件導(dǎo)致PV激增），請簡述你會如何處理這些異常值，以及處理前后對時間序列分析可能產(chǎn)生的影響。六、在一項關(guān)于消費者購買意愿的研究中，研究者收集了以下變量：*年齡（連續(xù)變量）*月收入（連續(xù)變量）*教育程度（分類變量：小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)、研究生）*購買意愿（二元變量：愿意/不愿意）*對產(chǎn)品品牌的認(rèn)知度（有序分類變量：非常不熟悉、不熟悉、一般、熟悉、非常熟悉）請分別說明如何計算以下統(tǒng)計量或指標(biāo)，并解釋其意義：1.年齡與購買意愿之間的相關(guān)系數(shù)（請說明選擇哪種相關(guān)系數(shù)，并解釋原因）。2.月收入對購買意愿的比值比（OddsRatio），并解釋其含義。3.教育程度與對產(chǎn)品品牌認(rèn)知度之間的關(guān)聯(lián)性度量（如Cramer'sV或Theil'sU等），并解釋其取值范圍和意義。4.根據(jù)上述變量，描述一個可能的統(tǒng)計模型，用于預(yù)測消費者的購買意愿，并說明選擇該模型的原因。試卷答案一、概率密度函數(shù)的基本性質(zhì)：①非負(fù)性，即f(x)≥0對所有x成立；②積分性質(zhì)，即∫_-∞^+∞f(x)dx=1。概率分布函數(shù)的基本性質(zhì)：①非減性，即F(x₁)≤F(x₂)當(dāng)x₁≤x₂時；②規(guī)范性，即F(-∞)=0，F(xiàn)(+∞)=1；③右連續(xù)性。連續(xù)型隨機(jī)變量例子：正態(tài)分布N(μ,σ2)，適用于描述測量誤差或自然現(xiàn)象。離散型隨機(jī)變量例子：二項分布B(n,p)，適用于描述n次獨立重復(fù)試驗中成功次數(shù)。適用場景說明略。二、1.總體：所有乘坐該城市地鐵晚高峰時段的乘客對擁擠程度的滿意度。樣本：被隨機(jī)抽取的100名乘坐地鐵晚高峰時段的乘客對擁擠程度的滿意度。樣本量：100。統(tǒng)計量：樣本中“非常不滿意”或“不滿意”乘客的比例p?=65%=0.65。2.計算所需樣本量n的公式為：n=(Z_α/22*p*(1-p))/E2，其中Z_α/2是置信水平對應(yīng)的臨界值（95%置信水平下Z_α/2≈1.96），p是樣本比例（0.65），(1-p)是1減去樣本比例（0.35），E是置信區(qū)間寬度的一半（0.05/2=0.025）。代入計算：n=(1.962*0.65*0.35)/0.0252≈(3.8416*0.2275)/0.000625≈0.8756/0.000625≈1409.76。由于樣本量必須為整數(shù)，且需滿足條件p≥0.5或(n-1)*E2≥p*(1-p)，0.65≥0.5且(1409.76-1)*0.0252≥0.65*0.35，計算滿足。向上取整，至少需要1410名乘客。依據(jù)是大樣本比例估計的樣本量公式。三、1.原假設(shè)H?：兩種培訓(xùn)方法對員工平均生產(chǎn)效率沒有顯著差異，即μ_A=μ_B。備擇假設(shè)H?：兩種培訓(xùn)方法對員工平均生產(chǎn)效率存在顯著差異，即μ_A≠μ_B。2.選擇獨立樣本t檢驗。理由：比較兩組（方法A組和方法B組）獨立樣本的均值差異，且樣本標(biāo)準(zhǔn)差已知（或雖未知但樣本量足夠大n>30，t檢驗仍適用）。若樣本量較?。ㄈ鏽<30）且兩組方差未知但相等，則用方差相等時的獨立樣本t檢驗；若方差不等，用Welch'st檢驗。3.檢驗步驟：①計算合并標(biāo)準(zhǔn)差s_pooled（若假設(shè)方差相等，公式為√[((n_A-1)s_A2+(n_B-1)s_B2)/(n_A+n_B-2)]，代入數(shù)據(jù)計算得到一個值，雖然題目未給n，但按標(biāo)準(zhǔn)流程寫；②計算t統(tǒng)計量t=(x?_A-x?_B)/s_pooled*√(1/n_A+1/n_B)，將均值和標(biāo)準(zhǔn)差代入（忽略n的具體值，寫出表達(dá)式）；③確定自由度df=n_A+n_B-2（若用合并方差t檢驗）；或df由Satterthwaite公式計算（若用Welch'st檢驗）；④查t分布表或計算P值，根據(jù)α水平（通常α=0.05）決定是否拒絕H?。拒絕域為|t|>t_α/2,df或P值<α。4.需要考慮使用Welch'st檢驗的情況：當(dāng)無法假設(shè)兩組數(shù)據(jù)的總體方差相等時。如果獨立樣本t檢驗（特別是假設(shè)方差相等時）的結(jié)果受到方差不齊的嚴(yán)重影響（如Levene's檢驗顯著），或者研究者本身就不假設(shè)方差相等，則應(yīng)使用Welch'st檢驗。Welch'st檢驗不假設(shè)方差相等，其自由度計算更復(fù)雜，但結(jié)果更穩(wěn)健。四、方法一：卡方獨立性檢驗。原理：檢驗兩個分類變量（瀏覽順序、是否完成購買）之間是否存在關(guān)聯(lián)性。應(yīng)用：將瀏覽順序分為幾類（如題目中的兩種，或更多），將是否完成購買分為兩類（是/否），構(gòu)建列聯(lián)表，計算卡方統(tǒng)計量χ2=Σ[(O_ij-E_ij)2/E_ij]，其中O_ij是觀測頻數(shù)，E_ij是期望頻數(shù)（基于行和列邊際總數(shù)計算）。比較χ2與臨界值或計算P值，判斷是否拒絕“瀏覽順序與購買完成無關(guān)”的零假設(shè)。方法二：有序分類變量的回歸模型（如累積logit模型）。原理：當(dāng)自變量是分類變量，因變量是二元變量，且分類變量有固有順序時，可使用此類模型。應(yīng)用：將頁面瀏覽順序（視為有序分類自變量）和購買完成（二元因變量：完成=1，未完成=0）代入模型，估計各瀏覽路徑對購買意愿影響的概率。例如，模型可能估計從“首頁”開始與從“促銷頁”開始相比，完成購買的累積概率差異?？梢苑治霾煌窂蕉蔚南禂?shù)是否顯著，判斷路徑對購買意愿的影響方向和程度。五、1.常用方法：移動平均法（簡單平滑、加權(quán)平滑）、指數(shù)平滑法（單指數(shù)、雙指數(shù)、三指數(shù)）、趨勢分解法（如STL）、ARIMA模型（自回歸積分滑動平均模型）。2.去趨勢去季節(jié)化序列反映了數(shù)據(jù)中除去長期趨勢和周期性重復(fù)模式后的“隨機(jī)波動”或“創(chuàng)新”成分。分析這個序列的殘差項對于評估時間序列模型擬合效果的意義在于：①殘差應(yīng)呈現(xiàn)“白噪聲”特性，即序列值之間不相關(guān)，均值接近0，方差穩(wěn)定，無自相關(guān)結(jié)構(gòu)。②如果殘差項仍然顯示出系統(tǒng)模式（如自相關(guān)性、趨勢或季節(jié)性），則說明原始的模型未能充分捕捉數(shù)據(jù)中的信息，模型擬合效果不佳，需要改進(jìn)模型（如增加解釋變量、改變模型形式等）。3.處理異常值方法：識別（基于統(tǒng)計方法如3σ準(zhǔn)則、箱線圖，或業(yè)務(wù)理解），處理（刪除、轉(zhuǎn)換（如對數(shù)轉(zhuǎn)換）、替換（用均值/中位數(shù)/預(yù)測值替代）、Winsorizing（將極端值限制在某個范圍內(nèi)））。處理前，異常值可能嚴(yán)重扭曲均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)等統(tǒng)計量，導(dǎo)致錯誤的趨勢或模式判斷。處理后，可以減少異常值對模型參數(shù)的過度影響，使模型更穩(wěn)定、更代表大多數(shù)數(shù)據(jù)的規(guī)律，但需要注意處理方法可能引入偏差。六、1.計算相關(guān)系數(shù)：選擇皮爾遜（Pearson）相關(guān)系數(shù)。理由：年齡是連續(xù)變量，購買意愿雖然二元，但在大樣本情況下，其分布可能近似正態(tài)，且存在有序性（愿意程度更高），滿足Pearson相關(guān)系數(shù)的適用條件之一（至少近似線性關(guān)系）。計算公式為r=Σ[(x_i-x?)(y_i-?)]/√[Σ(x_i-x?)2Σ(y_i-?)2]，其中x_i為年齡，y_i為購買意愿（編碼為0或1）。意義：r的取值在-1到1之間，衡量年齡與購買意愿之間的線性相關(guān)強(qiáng)度和方向。r>0表示正相關(guān)（年齡越大，購買意愿越傾向于愿意），r<0表示負(fù)相關(guān)，r=0表示無線性相關(guān)。2.計算比值比（OddsRatio）：構(gòu)建Logistic回歸模型，以購買意愿（Y=1）為因變量，年齡（X?，連續(xù)）、月收入（X?，連續(xù)）、教育程度（X?，分類）、品牌認(rèn)知度（X?，有序分類）為自變量。模型輸出中會給出各自變量的回歸系數(shù)（β）。月收入的OddsRatio為exp(β?)，意義是月收入每增加一個單位，其他變量不變時，購買意愿的odds（優(yōu)勢比，即P(Y=1|X)/P(Y=0|X)）變化的倍數(shù)。若exp(β?)>1，表示月收入越高，購買意愿的優(yōu)勢比越大；若exp(β?)<1，表示優(yōu)勢比越小。3.度量關(guān)聯(lián)性：使用Cramer'sV。理由：教育程度（分類）和品牌認(rèn)知度（有序分類）都是分類變量（即使有序，也常在卡方檢驗中使用作為分類處理）。Cramer'sV基于卡方統(tǒng)計量計算，取值范圍在0到1之間。V=0表示無關(guān)聯(lián)，V=1表示完全關(guān)聯(lián)。意義：V值越大，表示兩個變量之間的關(guān)聯(lián)性越強(qiáng)。計算公式V=√[χ2/(n*(min(r-