2025年大學《數理基礎科學》專業(yè)題庫——數理基礎科學中的不動點理論研究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空3分，共15分）1.設X為非空度量空間，T:X→X為映射，若存在x?∈X，使得T(x?)=x?，則稱x?為映射T的__________。2.Banach不動點定理要求度量空間X必須滿足__________和__________兩個條件。3.對于定義在非空完備度量空間X上的閉映射T，Schauder不動點定理保證T存在不動點的條件是__________。4.Kakutani不動點定理是Banach不動點定理在集合值映射情形下的推廣，它要求集合值映射的值域必須是__________。5.不動點理論在經濟學中常被用來證明__________的存在性。二、選擇題（每題4分，共20分，請將正確選項的字母填在題后括號內）1.下列哪個空間是完備度量空間？(A)R上的有理數集Q(B)所有收斂的實數序列的集合(C)平面直角坐標系R2中所有到原點距離小于1的點構成的集合(D)R上所有連續(xù)函數構成的集合C(R)2.設X是度量空間，T:X→X是壓縮映射（即存在常數q<1，使得d(T(x),T(y))≤qd(x,y)對所有x,y∈X成立），則Banach不動點定理斷言：(A)T至多有一個不動點(B)T至少有一個不動點，但可能不止一個(C)T存在唯一的不動點(D)T可能沒有不動點3.下列哪個定理是關于單個點值映射不動點的？(A)Schauder不動點定理(B)Brouwer不動點定理(C)Banach不動點定理(D)Kakutani不動點定理4.設X是有限維實向量空間，T:X→X是線性映射且滿足||T(x)||≤||x||對所有x∈X成立，則T必然有不動點，這主要依據：(A)Schauder不動點定理(B)Brouwer不動點定理(C)Banach不動點定理(D)Brouwer固定點定理（有限維情形）5.如果一個集合值映射T:X→2^X（X為度量空間，2^X表示X的所有子集構成的集合）滿足對每個x∈X，T(x)是X中的緊集，并且對幾乎所有的x∈X，T(x)是凸集，那么Kakutani不動點定理保證：(A)T存在一個不動點（即存在x∈X，使得x∈T(x)）(B)T存在唯一的不動點(C)T存在一個不動點，且該不動點屬于X的某個緊凸子集(D)T不存在不動點三、解答題（共65分）1.（10分）設X=(0,1)是度量空間，定義映射T:X→X為T(x)=x2。證明T是壓縮映射，并應用Banach不動點定理證明T存在唯一的不動點，指出該不動點是什么。2.（10分）簡述Banach不動點定理與Schauder不動點定理的主要區(qū)別。在什么條件下，Schauder定理可以保證為閉映射存在不動點？3.（15分）設X是完備度量空間，C(X)是X上所有連續(xù)實值函數構成的Banach空間，范數為||f||=sup_{x∈X}|f(x)|。對任意的f∈C(X)，定義映射T:C(X)→C(X)為T(f)(x)=f(x)+α(x)f(y?)，其中x,y?是X中固定的兩點，α∈(0,1)是常數。證明T是壓縮映射，并說明Banach不動點定理在此處適用性（或不適用性）。4.（15分）設E是Banach空間，C是E中非空、凸、閉的子集。定義映射T:C→C為T(x)=x+λφ(x)，其中x∈C，φ:E→E是連續(xù)的，λ∈(0,1)。證明T在C上的不動點與方程φ(x)=0的解有關，并給出此結論的證明思路。5.（15分）考慮二維歐幾里得空間R2，B={x∈R2|||x||≤1}是單位閉球。Brouwer不動點定理斷言，任何從B到自身的連續(xù)映射T:B→B都存在至少一個不動點。請描述一個從B到自身的連續(xù)映射T，使得T不是壓縮映射，并解釋為什么這個例子不違背Banach不動點定理。---試卷答案一、填空題（每空3分，共15分）1.不動點2.完備性；緊致性（或閉性與凸性，具體視X而定，但完備性是通用要求）3.X是Banach空間4.凸集5.納什均衡二、選擇題（每題4分，共20分）1.(B)2.(C)3.(C)4.(D)5.(A)三、解答題（共65分）1.證明T是壓縮映射：對任意的x,y∈(0,1)，有|T(x)-T(y)|=|x2-y2|=|x-y||x+y|。由于x,y∈(0,1)，所以0<x+y<2。因此，|x2-y2|≤2|x-y|。令q=2，顯然0<q<1。所以T是壓縮映射。應用Banach不動點定理：由于(0,1)是完備度量空間，且T是壓縮映射，根據Banach不動點定理，T存在唯一的不動點x?∈(0,1)。該不動點滿足x?2=x?，解得x?=0或x?=1。由于x?∈(0,1)，所以x?=0不在范圍內，唯一的不動點是x?=1。（注：此處嚴格來說，Banach定理保證的是在(0,1)的閉包[0,1]上存在唯一不動點，不動點為0或1。但題目區(qū)域為(0,1)，故唯一在(0,1)內的不動點需修正，此映射在(0,1)內無不動點。證明過程中壓縮性驗證無誤，但結論需修正為T在(0,1)內無不動點。）*修正結論：*由于x?2=x??x?(x?-1)=0，解得x?=0或x?=1。但0?(0,1)，1?(0,1)，因此映射T(x)=x2在開區(qū)間(0,1)內不存在不動點。Banach定理在[0,1]上保證存在唯一不動點x?=0或x?=1，但此題T在(0,1)內無不動點。2.主要區(qū)別與Schauder定理條件：*主要區(qū)別：*Banach定理適用于單個點值映射，并要求度量空間是完備且映射是壓縮映射（或完備度量空間上的連續(xù)壓縮映射）；Schauder定理適用于集合值映射（通常是上半連續(xù)的值域映射），并要求空間是完備度量空間，映射是閉映射。*Schauder定理保證條件：*通常要求集合值映射的值域是緊集（對每個x∈X，T(x)是緊集），并且映射是上半連續(xù)的。在更常見的版本中，還要求值域是凸集。特別地，當X是Banach空間且集合值映射是單值的、連續(xù)的、并且是壓縮映射時，Schauder定理的條件（值域緊凸）自動滿足，此時Schauder定理就等價于Banach定理。*適用性：*題中給出的T(f)(x)=f(x)+α(x)f(y?)定義在C(X)上，C(X)是完備Banach空間，f(y?)是固定值，α(x)是實數。若α(x)取值范圍受限（如bounded），T可視為C(X)上的壓縮映射，此時Banach定理適用。若α(x)無界，T可能不是壓縮映射，此時Banach定理不適用，但若能證明T是閉映射且值域具有緊凸性，則Schauder定理可能適用。3.證明T是壓縮映射：對任意的f,g∈C(X)，有||T(f)-T(g)||=sup_{x∈X}|T(f)(x)-T(g)(x)|=sup_{x∈X}|[f(x)+α(x)f(y?)]-[g(x)+α(x)g(y?)]|=sup_{x∈X}|f(x)-g(x)|=||f||-||g|||。由于范數的三角不等式，||T(f)-T(g)||≤||f-g||。令q=1，則d(T(f),T(g))≤d(f,g)。*修正：*此處證明有誤。正確證明如下：對任意的f,g∈C(X)，有||T(f)-T(g)||=sup_{x∈X}|T(f)(x)-T(g)(x)|=sup_{x∈X}|f(x)+α(x)f(y?)-g(x)-α(x)g(y?)|=sup_{x∈X}|f(x)-g(x)|=||f-g||。這表明映射T是恒等映射加上一個與f有關的項。對于壓縮映射，需要q<1。此映射T并非壓縮映射，除非α(x)滿足特定條件（如α(x)≡0或α(x)足夠小且與f無關）。因此，該映射本身一般不是壓縮映射，Banach不動點定理不適用。若要使其成為壓縮映射，需對α(x)施加額外限制，例如α(x)=λx?，其中λ∈(0,1)為常數。4.證明思路：*思路一（利用迭代法）：*考慮迭代序列{x?}，其中x?=x+λ?φ(x?)，取λ?=λ∈(0,1)。則有x?=x+λφ(x)，x?=x?+λφ(x?)=x+λφ(x)+λ2φ(x+λφ(x))。注意到x?-x=λ[φ(x)+λφ(x+λφ(x))-φ(x)]。若φ在C上連續(xù)，且φ(x)=0有解x?，則當x接近x?時，φ(x)接近0。設φ(x?)=0，則x+λφ(x)=x。即x?=x+λφ(x?)=x。若φ不為零，則需進一步分析，但不動點必然與φ(x)=0的解相關。*思路二（直接分析）：*T(x)-x=λφ(x)。若存在x?使得T(x?)=x?，則λφ(x?)=0。若λ≠0，則φ(x?)=0。若λ=0，則T(x)=x，對任意φ，x都是不動點。因此，非平凡情況（λ∈(0,1))下，不動點x?必須滿足φ(x?)=0。5.構造映射與解釋：*映射示例：*定義T:R2→R2為T(x,y)=(1-||(x,y)||2/2)(x,y)+(1/2)(1,0)。即先對單位球B內的點進行收縮（向原點靠近），對球面上的點收縮到球面上，然后加上一個固定的向量(1/2,0)。*解釋：*此映射T在R2中連續(xù)。在單位球面S1上，T(x,y)=(1-||(x,y)||2/2)(x,y)是一個壓縮映射（因為收縮因子1-||(x,y)||2/2在S1上取值在(