2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——時間序列分析與預(yù)測建?？荚嚂r間：______分鐘總分：______分姓名：______一、名詞解釋1.時間序列2.平穩(wěn)時間序列3.季節(jié)性4.ARIMA模型二、判斷題1.所有時間序列數(shù)據(jù)都包含趨勢成分。()2.移動平均法可以有效消除時間序列數(shù)據(jù)的季節(jié)性影響。()3.差分運算的主要目的是將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列。()4.自回歸模型（AR）的隨機項是白噪聲序列。()5.指數(shù)平滑法賦予近期觀測值比遠期觀測值更大的權(quán)重。()三、簡答題1.簡述時間序列分析中，為什么通常需要將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列？2.簡述乘法時間序列模型的結(jié)構(gòu)及其含義。3.簡述自回歸模型（AR）和移動平均模型（MA）的主要區(qū)別。4.簡述在構(gòu)建ARIMA模型后，進行模型診斷的主要目的和方法。四、計算題1.某時間序列數(shù)據(jù)如下：5,8,7,9,12,10,11,13,15,14。請計算其三階移動平均（簡單算術(shù)平均）。2.某產(chǎn)品月銷售量數(shù)據(jù)（單位：件）如下：100,120,110,130,115,140,125,135,120,145。假設(shè)數(shù)據(jù)具有線性趨勢和季節(jié)性，請使用二次指數(shù)平滑法（需給出平滑公式和初始值設(shè)定思路）預(yù)測下一期（第11期）的銷售量。3.假設(shè)對某個平穩(wěn)時間序列進行了差分處理，得到的一階差分序列如下：2,-1,3,-2,4。請估計該一階差分序列對應(yīng)的自回歸模型（AR(1)）的參數(shù)ω（即AR(1)模型中的系數(shù)）。4.某時間序列數(shù)據(jù)經(jīng)過差分后符合ARIMA(1,1,1)模型。假設(shè)模型已估計得到參數(shù)φ=0.6,θ=0.3(均假設(shè)已通過檢驗且殘差為白噪聲)。請寫出該模型的數(shù)學(xué)表達式，并計算當期觀測值為120時，下一期（t+1期）的預(yù)測值（不考慮常數(shù)項）。五、綜合應(yīng)用題1.假設(shè)你正在分析某城市月用電量數(shù)據(jù)，繪制了原始數(shù)據(jù)的時序圖，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的向上趨勢，且月度之間存在季節(jié)性波動。同時，繪制了其一階差分數(shù)據(jù)的ACF和PACF圖，如下所示（此處省略圖形，假設(shè)ACF圖呈現(xiàn)正弦波形狀且在1階和-1階處顯著，PACF圖在1階處顯著后迅速衰減）。請根據(jù)以上信息，選擇一個合適的預(yù)測模型，說明理由，并簡述選擇該模型進行預(yù)測的基本步驟。2.某分析師利用ARIMA(1,1,1)模型對某股票日收盤價進行了預(yù)測，得到的模型殘差序列如下：0.2,-0.1,0.3,-0.2,0.1,-0.3,0.2。請分析該殘差序列是否可能為白噪聲序列？說明你的判斷依據(jù)。---試卷答案一、名詞解釋1.時間序列:指按照時間順序排列的一系列數(shù)據(jù)，通常用于描述某個現(xiàn)象隨時間變化的狀態(tài)或行為。2.平穩(wěn)時間序列:指其統(tǒng)計特性（如均值、方差、自協(xié)方差函數(shù)）不隨時間變化的隨機過程。具體而言，弱平穩(wěn)（寬平穩(wěn)）要求均值恒定，方差有限且與時間無關(guān)，自協(xié)方差函數(shù)僅依賴于時間間隔。3.季節(jié)性:指時間序列數(shù)據(jù)在一年或更短周期內(nèi)出現(xiàn)的規(guī)律性波動。這種波動是由季節(jié)因素（如月份、季度、星期幾等）引起的。4.ARIMA模型:自回歸積分移動平均模型（AutoregressiveIntegratedMovingAveragemodel）的簡稱，是處理非平穩(wěn)時間序列的一種常用方法。它由自回歸（AR）、差分（I，Integrated）和移動平均（MA）三個部分組成，形式為ARIMA(p,d,q)。二、判斷題1.×*解析:時間序列數(shù)據(jù)可能只包含趨勢、季節(jié)性、周期性，或者隨機波動，也可能同時包含多種成分。并非所有時間序列都必然包含趨勢成分。2.×*解析:移動平均法（無論是簡單還是加權(quán)）主要是平滑時間序列數(shù)據(jù)，抑制隨機波動和短期不規(guī)律變化，有助于識別潛在的長期趨勢。它不能直接消除季節(jié)性影響，除非移動步長恰好等于季節(jié)周期長度。3.√*解析:許多實際的時間序列數(shù)據(jù)（如宏觀經(jīng)濟指標、公司銷售數(shù)據(jù)等）是非平穩(wěn)的，通常具有明顯的趨勢或季節(jié)性。差分運算（特別是差分到平穩(wěn)）是時間序列分析中常用的預(yù)處理步驟，目的是消除這些非平穩(wěn)性，使數(shù)據(jù)滿足平穩(wěn)性假設(shè)，從而可以使用更成熟的平穩(wěn)時間序列模型進行分析和預(yù)測。4.√*解析:自回歸模型（AR(p)）描述了當前觀測值與過去p期觀測值的線性關(guān)系。其隨機項（即差分后的序列或模型中的誤差項）通常被假設(shè)為白噪聲序列，即具有零均值、恒定方差和零自協(xié)方差（不相關(guān)）的特性。5.√*解析:指數(shù)平滑法中，平滑系數(shù)α(0<α<1)負責賦予最近觀測值的權(quán)重，而賦予前一期平滑值（代表歷史信息）的權(quán)重為(1-α)。由于0<α<1，因此α總是大于(1-α)，這意味著近期觀測值比遠期觀測值得到更大的權(quán)重。三、簡答題1.解析:將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列是進行時間序列分析的前提，主要原因在于：*許多經(jīng)典的統(tǒng)計理論和模型（如普通最小二乘法OLS）都建立在數(shù)據(jù)滿足平穩(wěn)性的假設(shè)之上。對非平穩(wěn)數(shù)據(jù)進行OLS估計可能導(dǎo)致偽回歸，即變量間似乎存在顯著關(guān)系，但實際上并無真實關(guān)聯(lián)，從而得出錯誤的結(jié)論。*平穩(wěn)性是許多時間序列模型（如ARIMA模型）有效性的基礎(chǔ)。只有數(shù)據(jù)平穩(wěn)，ARIMA模型才能捕捉數(shù)據(jù)中的真實結(jié)構(gòu)并進行可靠的預(yù)測。*平穩(wěn)時間序列通常具有更穩(wěn)定的統(tǒng)計特性，使得模型識別和參數(shù)估計更加可靠。2.解析:乘法時間序列模型的結(jié)構(gòu)為：Yt=Tt*Ss*Cc*εt，其中：*Yt是第t期的時間序列觀測值。*Tt代表趨勢成分，反映了數(shù)據(jù)隨時間長期增長或下降的形態(tài)。*Ss代表季節(jié)性成分，反映了數(shù)據(jù)在固定周期（如一年、一季度、一月）內(nèi)的規(guī)律性波動幅度，其值在0到1之間（或-1到1之間）。*Cc代表循環(huán)成分，反映了數(shù)據(jù)中周期性較長（通常超過一年）的波動，幅度可能較大，但不規(guī)則。*εt是白噪聲誤差項，代表了除去趨勢、季節(jié)性和循環(huán)成分后的隨機波動。*該模型假設(shè)趨勢、季節(jié)性、循環(huán)和隨機成分是相乘的關(guān)系，意味著各成分的波動會相互影響。例如，如果趨勢向上，且季節(jié)性在某個時期也處于高峰，那么該時期的觀測值可能會顯著高于趨勢線。3.解析:自回歸模型（AR(p)）和移動平均模型（MA(q)）的主要區(qū)別在于它們描述隨機項（誤差或擾動）的結(jié)構(gòu)：*自回歸模型(AR(p)):模型的當前隨機項εt與過去p期（t-1,t-2,...,t-p）的觀測值Yt-1,Yt-2,...,Yt-p線性相關(guān)。它捕捉的是數(shù)據(jù)序列自身滯后項對其當前值的影響。其本質(zhì)是利用歷史信息來預(yù)測未來。數(shù)學(xué)形式：Yt=c+φ1Yt-1+φ2Yt-2+...+φpYt-p+εt*移動平均模型(MA(q)):模型的當前隨機項εt與過去q期（t-1,t-2,...,t-q）的隨機項εt-1,εt-2,...,εt-q線性相關(guān)。它描述的是過去的誤差如何影響當前的觀測值。其本質(zhì)是當前觀測值在多大程度上受到過去隨機沖擊的“拖累”。數(shù)學(xué)形式：Yt=c+θ1εt-1+θ2εt-2+...+θqεt-q+εt*核心區(qū)別:AR模型關(guān)注滯后觀測值的影響，而MA模型關(guān)注滯后誤差項的影響。兩者都是線性模型，但信息來源不同。4.解析:在構(gòu)建ARIMA模型后進行模型診斷的主要目的和方法是：*目的:*驗證模型假設(shè)是否成立：檢查模型殘差是否為白噪聲序列，這是ARIMA模型有效性的關(guān)鍵。*評估模型擬合優(yōu)度：通過殘差分析判斷模型是否已充分捕捉數(shù)據(jù)中的信息。*發(fā)現(xiàn)模型缺陷：如果殘差不滿足白噪聲條件，可能意味著模型選擇不當（如階數(shù)p,d,q設(shè)置錯誤）或遺漏了重要信息（如季節(jié)性、非線性趨勢等）。*方法:*殘差圖觀察:繪制殘差序列的時序圖，觀察是否存在明顯的模式（如趨勢、季節(jié)性、周期性），或者殘差均值是否偏離零。*殘差自相關(guān)函數(shù)(ACF)和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)檢驗:計算并繪制殘差序列的ACF和PACF圖。如果模型設(shè)定正確，殘差的ACF和PACF圖應(yīng)迅速衰減至零（或落在置信區(qū)間內(nèi)），表明殘差序列是白噪聲。如果存在顯著拖尾或截尾，則表明模型不完整或存在設(shè)定錯誤。*正態(tài)性檢驗:檢查殘差是否近似服從正態(tài)分布（如使用Shapiro-Wilk檢驗、QQ圖）。*方差齊性檢驗:檢查殘差的方差是否恒定。*白噪聲檢驗:使用統(tǒng)計檢驗（如Ljung-BoxQ檢驗）來正式檢驗殘差序列是否為白噪聲。四、計算題1.解析:三階移動平均是取最近三個觀測值的平均值。計算如下：第2項移動平均=(5+8+7)/3=20/3第3項移動平均=(8+7+9)/3=24/3=8第4項移動平均=(7+9+12)/3=28/3...第9項移動平均=(12+10+11)/3=33/3=11第10項移動平均=(10+11+13)/3=34/3第11項移動平均=(11+13+15)/3=39/3=13第12項移動平均=(13+15+14)/3=42/3=14結(jié)果為：20/3,8,28/3,9,31/3,10,11,33/3,11,34/3,13,14(或6.67,8,9.33,10,10.33,10,11,11,11,11.33,13,14)。2.解析:*思路:二次指數(shù)平滑法適用于具有線性趨勢的時間序列。需要兩個平滑值：St（水平項）和S2t（趨勢項）。預(yù)測公式為:?t+1=St+b(t)。其中，b(t)是對趨勢的估計，常用公式為b(t)=2(S(t)-S(t-1))/(m-1)或b(t)=(S(t)-S(t-k))/k(k為數(shù)據(jù)點數(shù))。這里采用前者，并假設(shè)初始值S0和S1可根據(jù)前幾個數(shù)據(jù)點估算（例如，S0可取S1，S1可取第一和第二個觀測值的平均）。*計算:假設(shè)m=3(三期移動平均或指數(shù)平滑的周期),S0=110(或S1的估計),S1=(100+120)/2=110。計算各期指數(shù)平滑值（α=0.3）：S2=α*Y2+(1-α)*S1=0.3*110+0.7*110=110S3=α*Y3+(1-α)*S2=0.3*120+0.7*110=36+77=113S4=α*Y4+(1-α)*S3=0.3*130+0.7*113=39+79.1=118.1S5=α*Y5+(1-α)*S4=0.3*115+0.7*118.1=34.5+82.67=117.17S6=α*Y6+(1-α)*S5=0.3*140+0.7*117.17=42+81.82=123.82S7=α*Y7+(1-α)*S6=0.3*125+0.7*123.82=37.5+86.67=124.17S8=α*Y8+(1-α)*S7=0.3*135+0.7*124.17=40.5+86.92=127.42S9=α*Y9+(1-α)*S8=0.3*120+0.7*127.42=36+89.19=125.19S10=α*Y10+(1-α)*S9=0.3*145+0.7*125.19=43.5+87.63=131.13計算趨勢項：b(2)=2(S2-S1)/(m-1)=2(110-110)/(3-1)=0b(3)=2(S3-S2)/(3-1)=2(113-110)/2=3b(4)=2(S4-S3)/(3-1)=2(118.1-113)/2=5.1b(5)=2(S5-S4)/(3-1)=2(117.17-118.1)/2=-0.93b(6)=2(S6-S5)/(3-1)=2(123.82-117.17)/2=3.325b(7)=2(S7-S6)/(3-1)=2(124.17-123.82)/2=0.175b(8)=2(S8-S7)/(3-1)=2(127.42-124.17)/2=1.625b(9)=2(S9-S8)/(3-1)=2(125.19-127.42)/2=-1.115b(10)=2(S10-S9)/(3-1)=2(131.13-125.19)/2=2.97預(yù)測下一期（第11期）：?11=S10+b(10)=131.13+2.97=134.1*（注：平滑系數(shù)α的選擇會影響結(jié)果，此處α=0.3僅為示例。初始值設(shè)定也對結(jié)果有影響，具體可依據(jù)數(shù)據(jù)特性調(diào)整。）*3.解析:*思路:AR(1)模型的形式為Yt=c+ωYt-1+εt。其中，ω是需要估計的參數(shù)。通常使用最小二乘法進行估計。由于模型中只有滯后一期的變量Yt-1，可以通過計算Yt與Yt-1的相關(guān)系數(shù)來近似估計ω。在平穩(wěn)序列中，自相關(guān)系數(shù)ρ(1)=Cov(Yt,Yt-1)/Var(Yt)。如果模型完全符合Yt=ωYt-1+εt，且εt是白噪聲，則ρ(1)≈ω。差分序列ΔYt=Yt-Yt-1。*計算:已知一階差分序列：2,-1,3,-2,4。計算ΔYt的均值（理論上應(yīng)為0，用于中心化）:(2-1+3-2+4)/5=6/5=1.2。假設(shè)數(shù)據(jù)已中心化，或直接使用原始差分數(shù)據(jù)進行相關(guān)系數(shù)計算（結(jié)果應(yīng)一致）。計算差分序列的方差s2=[(2-1.2)2+(-1-1.2)2+(3-1.2)2+(-2-1.2)2+(4-1.2)2]/4=[0.64+5.76+3.84+11.04+7.84]/4=29.28/4=7.32。計算自相關(guān)系數(shù)ρ(1)=Cov(ΔYt,ΔYt-1)/s2。Cov(ΔYt,ΔYt-1)=[(2)(-1)+(-1)(3)+(3)(-2)+(-2)(4)+(4)(2)]/4=[-2-3-6-8+8]/4=-11/4=-2.75。ρ(1)=-2.75/7.32≈-0.377。由于AR(1)模型的參數(shù)ω與自相關(guān)系數(shù)ρ(1)近似相等，因此ω≈-0.377。4.解析:*思路:ARIMA(1,1,1)模型的完整形式為ΔYt=φ(Yt-1-Yt-2)+θεt-1+εt。其中，φ是AR部分的系數(shù)，θ是MA部分的系數(shù)。題目已給出φ=0.6,θ=0.3，并假設(shè)殘差為白噪聲。要求預(yù)測t+1期值，即預(yù)測Yt+1。根據(jù)模型，Yt+1=Yt+ΔYt+1。需要先求ΔYt+1。根據(jù)模型ΔYt=φYt-1+θεt-1+εt，將t替換為t+1，得到ΔYt+1=φYt+θεt+εt+1。*計算:預(yù)測ΔYt+1=φYt+θεt+εt+1。由于εt和εt+1是隨機誤差項，通常假設(shè)其期望為0。因此，ΔYt+1的期望值為E[ΔYt+1]=φE[Yt]+θE[εt]=φμ（如果Yt是平穩(wěn)的，則其均值為μ）。同時，εt+1是隨機變量，其期望為0。因此，ΔYt+1的期望值為φμ。預(yù)測Yt+1=Yt+E[ΔYt+1]=Yt+φμ。題目未給出Yt的具體值和均值μ。但題目要求計算“下一期（t+1期）的預(yù)測值”，通常在模型參數(shù)已知的情況下，預(yù)測值是基于模型結(jié)構(gòu)而非歷史數(shù)據(jù)點計算的。如果題目隱含Yt是已知的（例如Yt=120），且假設(shè)序列均值μ=0（常見于純隨機模型或差分后模型），則：ΔYt+1的期望值≈0.6*0+0.3*0+0=0。預(yù)測Yt+1=Yt+0=120+0=120。*（更嚴謹?shù)膶懛ㄊ牵篩t+1的預(yù)測值是Yt+φμ。因為Yt和μ都是未知量，所以不能給出一個具體的數(shù)值預(yù)測值，除非題目提供了Yt和μ的信息。但題目要求計算“下一期...預(yù)測值”，可能是在暗示使用模型參數(shù)進行結(jié)構(gòu)化預(yù)測。這里假設(shè)Yt=120且μ=0以完成計算。另一種可能是題目想考察即使知道參數(shù)，也必須結(jié)合Yt和μ才能預(yù)測Yt+1。）**（如果理解為求ΔYt+1的預(yù)測值，則為0.6*120+0.3*0+0=72。但題目問Yt+1。因此采用第一種解釋。）*最終預(yù)測值=Yt+0=120+0=120。五、綜合應(yīng)用題1.解析:*選擇模型:根據(jù)描述，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯趨勢和季節(jié)性，且一階差分數(shù)據(jù)的ACF在1階處顯著，PACF在1階處顯著后迅速衰減。這表明一階差分數(shù)據(jù)近似為白噪聲，且原始數(shù)據(jù)具有自回歸特性。因此，最合適的模型是自回歸模型，即ARIMA(p,d,q)=ARIMA(1,1,0)或ARIMA(1,1,1)（取決于殘差MA檢驗）。鑒于ACF在1階后迅速衰減，ARIMA(1,1,0)可能更合適。但若PACF在1階后未完全消失，或為簡化考慮，可選用ARIMA(1,1,1)。*理由:數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)符合ARIMA(1,1,q)模型特征。一階差分使非平穩(wěn)數(shù)據(jù)平穩(wěn)，且自相關(guān)圖顯示存在顯著的自回歸關(guān)系（1階），表明當期值與滯后一期的值有關(guān)。若MA部分不顯著，則ARIMA(1,1,0)足夠。若MA部分也顯著，則需ARIMA(1,1,1)。題目未提供完整的ACF/PACF圖，此處假設(shè)主要驅(qū)動力是自回歸。*步驟:1.對原始數(shù)據(jù)進行一階差分，得到ΔYt。2.繪制ΔYt的時序圖，確認其平穩(wěn)性。3.繪制ΔYt的ACF和PACF圖，識別自回歸階數(shù)p和移動平均階數(shù)q。4.選擇合適的ARIMA(p,d,q)模型（此處初步選擇ARIMA(1