2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)定義及性質(zhì)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.下列各命題中，正確的是（）。（A）無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。（B）實(shí)數(shù)集對(duì)于加法運(yùn)算是封閉的。（C）任何兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和都大于零。（D）若實(shí)數(shù)a滿足|a|<1，則a2<1。2.設(shè)a為實(shí)數(shù)，則“a>0”是“|a|>1”的（）條件。（A）充分不必要。（B）必要不充分。（C）充要。（D）既不充分也不必要。3.若復(fù)數(shù)z=(2-i)/(1+i)，其中i為虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）。（A）第一象限。（B）第二象限。（C）第三象限。（D）第四象限。4.已知復(fù)數(shù)z?=3+4i，z?=-1-2i，則復(fù)數(shù)z=z?z?的模等于（）。（A）5。（B）25。（C）√5。（D）√25。5.若復(fù)數(shù)ω=-1+√3i，則ω3的值等于（）。（A）1。（B）ω。（C）-1。（D）-ω。二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。）6.若實(shí)數(shù)x滿足x2-3x+2≤0，則|x|的取值范圍是__________。7.已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2+b2=0，則a，b滿足的關(guān)系是__________。8.復(fù)數(shù)z=√2+√3i的模|z|等于__________。9.若復(fù)數(shù)z?=1-i，z?=1+i，則(z?+z?)2的實(shí)部是__________。10.設(shè)S為實(shí)數(shù)集R的非空子集，若對(duì)任意x?,x?∈S，都有x?+x?∈S且x?-x?∈S，則稱S對(duì)于減法運(yùn)算封閉。給出下列集合：M={x|x>0,x∈R}，N={x|x<0,x∈R}，P={0}，Q={x|x=n2,n∈Z}。其中對(duì)于減法運(yùn)算封閉的集合是__________。（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)集合的字母代號(hào)）三、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題7分，共21分。）11.設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且滿足a2+b2-4a+6b+9=0。求a2+b2的值。12.計(jì)算復(fù)數(shù)z=(1+i)3/(1-i)2，其中i為虛數(shù)單位。13.設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi（x,y為實(shí)數(shù)），且|z-2|=|z+2|。求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程。四、證明題（本大題共2小題，共24分。）14.設(shè)S為非空實(shí)數(shù)子集，且滿足：若x,y∈S，則x+y∈S，x-y∈S。證明：S對(duì)于加法運(yùn)算封閉。15.設(shè)a>0。證明：實(shí)數(shù)集R完備性定理中的阿基米德性質(zhì)：存在正整數(shù)n，使得n>a。試卷答案一、選擇題1.A2.A3.B4.B5.C二、填空題6.[0,3]7.a=0且b=08.√(2+3)=√59.010.M三、計(jì)算題11.解：a2+b2-4a+6b+9=(a2-4a+4)+(b2+6b+9)=(a-2)2+(b+3)2=0。由于平方和非負(fù)，故(a-2)2=0且(b+3)2=0，解得a=2,b=-3。因此，a2+b2=22+(-3)2=4+9=13。12.解：z=[(1+i)2*(1+i)]/(1-i)2=[(1+2i-1)*(1+i)]/(1-2i+i2)=[2i*(1+i)]/(1-2i-1)=[2i+2i2]/(-2i)=[2i-2]/(-2i)=(-2+2i)/(-2i)=(-1+i)/i=(-i-1)/1=-1-i。13.解：|z-2|=|z+2|等價(jià)于|x+yi-2|=|x+yi+2|。即√((x-2)2+y2)=√((x+2)2+y2)。兩邊平方得(x-2)2+y2=(x+2)2+y2。整理得x2-4x+4=x2+4x+4。解得-4x=4x，即0=8x，所以x=0。因此，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為x=0。四、證明題14.證明：任取x?,x?∈S。由已知，x?-x?∈S。又由已知，x?+(x?-x?)∈S，即x?∈S。同樣，x?∈S。則x?+x?∈S。因此，S對(duì)于加法運(yùn)算封閉。15.證明：假設(shè)不存在正整數(shù)n，使得n>a。由實(shí)數(shù)的稠密性，存在實(shí)數(shù)β>a，且β<n+1對(duì)所有正整數(shù)n成立。取ε=β-a