2025年大學《數(shù)理基礎(chǔ)科學》專業(yè)題庫——組合數(shù)學在邏輯理論中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分）1.從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素，不考慮元素順序的取法稱為（）。A.排列B.組合C.排列數(shù)D.組合數(shù)2.二項式定理（）的展開式中，第r項（r=0,1,2,...,n）的系數(shù)為$C_n^r$。A.$(x+y)^n$B.$(x-y)^n$C.$(x+y)^{n+1}$D.$(x-y)^{n+1}$3.鴿巢原理的另一種表述是：如果將n+1個物體放入n個盒子里，那么至少有一個盒子里至少有兩個物體。這個表述是（）。A.正確的B.錯誤的C.有時正確，有時錯誤D.無法判斷4.設(shè)命題p為“今天是星期一”，命題q為“今天是星期二”，則命題“今天不是星期一”可以表示為（）。A.$p\landq$B.$p\lorq$C.$\negp$D.$\negq$5.下列命題公式中，為重言式的是（）。A.$p\land\negp$B.$p\lor\negp$C.$p\rightarrow\negp$D.$\neg(p\landq)\rightarrow(\negp\lor\negq)$二、填空題（每題4分，共16分）1.計算：$C_7^3=$_________。2.計算：$C_{10}^6+C_{10}^7=$_________。3.設(shè)命題p為“他喜歡數(shù)學”，命題q為“他喜歡物理”，則命題“他不喜歡數(shù)學或物理”可以表示為_________。4.謂詞邏輯中的全稱量詞“?”表示_________。三、計算題（每題6分，共18分）1.計算：$C_{100}^{98}$。2.證明組合恒等式：$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n=2^n$。3.有5個男生和4個女生，要組成一個委員會，委員會中有3個男生和2個女生，問有多少種不同的組成方法？四、證明題（每題7分，共14分）1.用鴿巢原理證明：在一個邊長為n（n≥2）的正方形內(nèi)部，任意放置$n^2+1$個點，其中必有兩個點的距離不超過$\sqrt{2}$。2.在命題邏輯中，證明命題公式$p\rightarrowq$和$\negq\rightarrow\negp$是等價的。五、綜合題（每題8分，共16分）1.有n個不同的元素，從中取出m個元素組成一個集合，求這個集合的子集個數(shù)。2.在謂詞邏輯中，解釋命題“所有的人都是自私的”的含義，并用謂詞邏輯符號表示該命題。試卷答案一、選擇題1.B2.A3.A4.C5.B二、填空題1.352.2103.$\negp\lor\negq$4.全稱量化三、計算題1.解：$C_{100}^{98}=C_{100}^{2}=\frac{100\times99}{2\times1}=4950$2.證明：左邊$=C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n=(1+1)^n=2^n$=右邊。得證。3.解：從5個男生中選出3個，有$C_5^3$種方法；從4個女生中選出2個，有$C_4^2$種方法。根據(jù)乘法原理，總的組成方法數(shù)為$C_5^3\timesC_4^2=10\times6=60$種。四、證明題1.證明：將正方形的每條邊的中點連接，將正方形分成4個邊長為$\frac{n}{2}$的小正方形。每個小正方形的對角線長度為$\frac{\sqrt{2}}{2}n$，因此每個小正方形內(nèi)部任意兩點的距離都不超過$\frac{\sqrt{2}}{2}n$。根據(jù)鴿巢原理，將$n^2+1$個點放入4個小正方形中，必有兩個點在同一小正方形內(nèi)，這兩個點的距離不超過$\frac{\sqrt{2}}{2}n$，而$\frac{\sqrt{2}}{2}n\le\sqrt{2}$（當$n=2$時，$\frac{\sqrt{2}}{2}n=\sqrt{2}$）。因此，必有兩個點的距離不超過$\sqrt{2}$。得證。2.證明：證明$p\rightarrowq\Leftrightarrow\negq\rightarrow\negp$方法一：真值表法（略）方法二：反證法假設(shè)$p\rightarrowq$和$\negq\rightarrow\negp$不全為真，則存在一種真值賦值使得其中一個為假。若$p\rightarrowq$為假，則$p$為真，$q$為假。若$\negq\rightarrow\negp$為假，則$\negq$為真，$\negp$為假，即$p$為真，$q$為真。這與$p$為真，$q$為假矛盾。因此，$p\rightarrowq$和$\negq\rightarrow\negp$必同時為真，即它們等價。得證。五、綜合題1.解：一個集合有$2^n$個子集。因為每個元素都有兩種狀態(tài)：在集合內(nèi)或不在集合內(nèi)，n個元素就有$2^n$種不同的組合方式，對應$n$個元素的$2^n$個子集。2.解：設(shè)個體域為U，“所有的人”表示U中