2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)建模對實(shí)際問題的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______第一題考慮一個(gè)簡單的經(jīng)濟(jì)模型，描述一個(gè)封閉經(jīng)濟(jì)體中的商品流。假設(shè)該經(jīng)濟(jì)體只生產(chǎn)兩種商品：A和B。商品A的產(chǎn)量決定于投入的勞動力L_A和資本K_A，生產(chǎn)函數(shù)為A=10L_A^0.6*K_A^0.4。商品B的產(chǎn)量決定于投入的勞動力L_B和資本K_B，生產(chǎn)函數(shù)為B=8L_B^0.5*K_B^0.5。經(jīng)濟(jì)體中總勞動力L和總資本K是固定的，分別為L=100和K=120。勞動力可以在兩種商品的生產(chǎn)間自由流動，資本同樣可以自由流動，但每種商品有最小資本需求，商品A至少需要2單位資本，商品B至少需要3單位資本。1.建立數(shù)學(xué)模型，確定在給定勞動力L和資本K的約束下，能夠生產(chǎn)的商品A和商品B的最大組合。請明確你的模型類型（如優(yōu)化模型、方程組等），并列出所有相關(guān)的數(shù)學(xué)方程（目標(biāo)函數(shù)、約束條件）。2.分析你的模型，討論是否存在多種最優(yōu)生產(chǎn)組合的可能性。如果存在，請解釋其經(jīng)濟(jì)意義。如果不存在，請說明理由。3.假設(shè)由于技術(shù)進(jìn)步，商品A的生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)锳=12L_A^0.6*K_A^0.4。重新建立模型，確定新的最大商品組合。比較新舊模型的最優(yōu)解，分析技術(shù)進(jìn)步對經(jīng)濟(jì)體產(chǎn)出的影響。第二題某城市希望優(yōu)化其交通信號燈配時(shí)方案，以緩解特定十字路口的交通擁堵。假設(shè)在高峰時(shí)段，南北方向和東西方向的車流量分別近似為到達(dá)率λ_S=300輛/小時(shí)和λ_E=250輛/小時(shí)。信號燈每周期T=60秒切換一次，其中綠燈時(shí)間分別為t_S和t_E。當(dāng)方向綠燈時(shí)，車輛按泊松流到達(dá)，通過路口的平均時(shí)間（包括等待和通過）為15秒/輛。紅燈時(shí)，車輛無法通過。信號燈配時(shí)方案采用“綠燈-紅燈”交替模式，無黃燈時(shí)間。1.建立數(shù)學(xué)模型，描述在給定周期T和一個(gè)方向綠燈時(shí)間t_S的情況下，南北方向和東西方向未能通過路口的車輛期望數(shù)量。請說明模型中涉及的隨機(jī)變量及其分布。2.目標(biāo)是找到一個(gè)信號燈配時(shí)方案（即確定t_S和t_E的值），使得總等待車輛數(shù)量（南北方向等待車輛數(shù)與東西方向等待車輛數(shù)之和）最小。請建立該問題的優(yōu)化模型，明確目標(biāo)函數(shù)和約束條件。3.假設(shè)東西方向的車流量增加到λ_E'=280輛/小時(shí)。在不改變周期T和南北方向綠燈時(shí)間t_S的情況下，分析該變化對東西方向等待車輛數(shù)量的影響。為了緩解新的擁堵，你是否建議調(diào)整信號燈周期T或南北方向的綠燈時(shí)間t_S？請簡述理由。第三題為了監(jiān)控一個(gè)湖泊的污染狀況，環(huán)保部門在湖中設(shè)置了若干個(gè)監(jiān)測點(diǎn)。假設(shè)湖中有主要污染物X，其濃度隨時(shí)間變化。為了簡化模型，考慮一個(gè)二維湖面（以x-y平面表示），假設(shè)污染物X在湖面擴(kuò)散，且湖中心（原點(diǎn)）的污染物濃度最高，隨時(shí)間衰減。我們使用一個(gè)簡化的數(shù)學(xué)模型來描述這一過程：污染物濃度C(x,y,t)滿足如下的偏微分方程初值問題：?C/?t=D(?2C/?x2+?2C/?y2)-kC其中D是擴(kuò)散系數(shù)（假設(shè)在x和y方向相同），k是衰減率，t是時(shí)間，C(x,y,0)=C?*exp(-x2-y2)是初始濃度分布，C?是湖中心的初始濃度。1.解釋該偏微分方程中各項(xiàng)的物理意義。該方程屬于哪種類型的偏微分方程（如熱傳導(dǎo)方程、擴(kuò)散方程等）？2.假設(shè)湖面是圓形的，半徑為R。當(dāng)監(jiān)測點(diǎn)位于湖心(0,0)時(shí)，請建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測污染物濃度C(0,0,t)隨時(shí)間t的變化規(guī)律。你需要確定模型中涉及的參數(shù)（D,k）的意義，并簡述確定這些參數(shù)的可能的途徑（如實(shí)驗(yàn)測定、文獻(xiàn)參考等）。3.現(xiàn)在需要在湖邊設(shè)置一個(gè)或多個(gè)監(jiān)測站，以盡可能精確地掌握湖心區(qū)域的污染物濃度變化。請?zhí)岢鲆粋€(gè)監(jiān)測站（或站點(diǎn)）布局的初步方案。你的方案應(yīng)基于你對污染物擴(kuò)散和衰減規(guī)律的理解，并說明選擇該布局的理由。第四題某公司計(jì)劃開發(fā)一種新產(chǎn)品的生產(chǎn)和銷售。生產(chǎn)該產(chǎn)品需要兩種原材料A和B，其單位產(chǎn)品消耗量分別為2kg和3kg。原材料A的單位成本為10元/kg，原材料B的單位成本為8元/kg。公司每月可用于生產(chǎn)的總工時(shí)為1500小時(shí)，每單位產(chǎn)品生產(chǎn)工時(shí)為5小時(shí)。產(chǎn)品銷售價(jià)格為50元/單位。生產(chǎn)過程中產(chǎn)生一定的廢料，廢料可以回收出售，每單位產(chǎn)品可獲得廢料收入3元。假設(shè)廢料處理成本忽略不計(jì)。1.建立數(shù)學(xué)模型，確定每月生產(chǎn)該產(chǎn)品的最優(yōu)數(shù)量（即產(chǎn)量），以使公司月利潤最大化。請明確你的模型類型，并列出所有相關(guān)的數(shù)學(xué)方程（目標(biāo)函數(shù)、約束條件）。2.分析你的模型，討論是否存在多種最優(yōu)產(chǎn)量解的可能性。如果存在，請解釋其經(jīng)濟(jì)含義。如果不存在，請說明理由。3.假設(shè)公司可以通過技術(shù)改造，提高生產(chǎn)效率，使得每單位產(chǎn)品生產(chǎn)工時(shí)減少到4小時(shí)。同時(shí)，由于技術(shù)進(jìn)步，廢料回收價(jià)值提高至每單位產(chǎn)品4元。在原材料成本、銷售價(jià)格、總工時(shí)（1500小時(shí)）不變的情況下，重新建立模型，確定新的最優(yōu)產(chǎn)量。比較新舊模型的最優(yōu)解，分析技術(shù)改造對公司利潤的影響。第五題近年來，城市共享單車的數(shù)量激增，給城市管理帶來了挑戰(zhàn)。假設(shè)在一個(gè)特定區(qū)域，共享單車需求受到時(shí)間（白天/夜晚）和天氣（晴天/雨天/雪天）的影響。我們用隨機(jī)變量D來表示單位時(shí)間內(nèi)（如每小時(shí)）在該區(qū)域出現(xiàn)的租車需求。D的概率分布如下：P(D=0)=0.1(無需求)P(D=1)=0.3(低需求)P(D=2)=0.4(中需求)P(D=3)=0.2(高需求)每次租用（無論需求高低）的成本為2元，每次歸還（無論是否在指定區(qū)域）的成本為1元。區(qū)域內(nèi)有M個(gè)指定的租車點(diǎn)，單車總數(shù)為N。為了平衡各點(diǎn)車輛分布，當(dāng)某點(diǎn)車輛過多時(shí)，會自動派車到需求較低或車輛不足的點(diǎn)。我們關(guān)注的是單車的整體運(yùn)營成本，包括租用成本和歸還成本。假設(shè)單車在區(qū)域內(nèi)均勻分布，且需求的實(shí)現(xiàn)是相互獨(dú)立的。1.建立數(shù)學(xué)模型，描述在給定單車總數(shù)N和需求分布的情況下，該區(qū)域共享單車系統(tǒng)的平均單位時(shí)間運(yùn)營成本。請說明模型中涉及的隨機(jī)變量及其分布。2.假設(shè)目前該區(qū)域有N=500輛共享單車，且需求分布如上所示。請計(jì)算該區(qū)域共享單車系統(tǒng)的平均單位時(shí)間運(yùn)營成本。3.為了提高運(yùn)營效率，管理者考慮調(diào)整單車總數(shù)N。請建立優(yōu)化模型，確定使平均單位時(shí)間運(yùn)營成本最小化的最優(yōu)單車總數(shù)N。需要明確目標(biāo)函數(shù)和約束條件。你的模型是否允許N為非整數(shù)？如果是，需要如何處理？如果不是，請說明理由。試卷答案第一題1.模型類型：優(yōu)化模型（線性規(guī)劃）。數(shù)學(xué)方程：*目標(biāo)函數(shù)：MaximizeZ=A+B*約束條件：*A=10L_A^0.6*K_A^0.4*B=8L_B^0.5*K_B^0.5*L_A+L_B=100*K_A+K_B=120*K_A≥2*K_B≥3*L_A≥0,L_B≥0,K_A≥0,K_B≥02.分析：該模型為線性規(guī)劃問題。目標(biāo)函數(shù)Z=A+B是線性的。約束條件中，資源總量約束(L_A+L_B=100,K_A+K_B=120)是線性的；勞動力、資本非負(fù)約束(L_A≥0,L_B≥0,K_A≥0,K_B≥0)也是線性的；最小資本需求約束(K_A≥2,K_B≥3)通過引入新變量或調(diào)整形式也可以轉(zhuǎn)化為線性約束。因此，模型屬于線性規(guī)劃。由于目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性，不存在多個(gè)最優(yōu)解（除非存在退化的情況，即多個(gè)基本解對應(yīng)相同的目標(biāo)函數(shù)值，但這不影響最優(yōu)方向）。3.新模型：*目標(biāo)函數(shù)：MaximizeZ'=12L_A^0.6*K_A^0.4+8L_B^0.5*K_B^0.5*約束條件：同上（L_A+L_B=100,K_A+K_B=120,K_A≥2,K_B≥3,L_A≥0,L_B≥0,K_A≥0,K_B≥0）比較：新模型的目標(biāo)函數(shù)不再是線性的。由于生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)榉蔷€性形式，該問題不再是線性規(guī)劃，求解方法需要使用非線性優(yōu)化技術(shù)（如梯度下降法、K-T條件等）。技術(shù)進(jìn)步使得在相同資源下，商品A的潛在產(chǎn)量提高了。根據(jù)凸分析（如果可行域和目標(biāo)函數(shù)為凸集），可以判斷最優(yōu)解的存在性和唯一性，并利用非線性優(yōu)化算法求解新的最大組合。通常，技術(shù)進(jìn)步會使得新的最優(yōu)解相比舊解，在商品A的產(chǎn)量上有所增加（可能伴隨商品B產(chǎn)量的調(diào)整）。第二題1.模型：隨機(jī)過程模型（排隊(duì)論/流體模型）。隨機(jī)變量：N_S和N_E分別表示南北方向和東西方向在信號周期內(nèi)未能通過路口的車輛數(shù)。它們是隨機(jī)變量。南北方向車輛到達(dá)過程服從參數(shù)為λ_S*T=300*60=18000輛/周期的泊松過程。東西方向車輛到達(dá)過程服從參數(shù)為λ_E*T=250*60=15000輛/周期的泊松過程。在一個(gè)周期內(nèi)，未能通過路口的車輛數(shù)可以看作是到達(dá)車輛數(shù)與系統(tǒng)中能通過的最大車輛數(shù)之差（或系統(tǒng)中等待車輛數(shù)的期望值，如果考慮排隊(duì)系統(tǒng)）。在綠燈時(shí)間t_S內(nèi)，南北方向最多能通過t_S/15輛；在綠燈時(shí)間t_E內(nèi)，東西方向最多能通過t_E/15輛。模型描述：N_S的期望值E[N_S]可以近似為(周期內(nèi)到達(dá)數(shù))-(綠燈時(shí)間內(nèi)能通過數(shù))=λ_S*T-(t_S/15)。N_E的期望值E[N_E]可以近似為λ_E*T-(t_E/15)?？偟却囕v期望數(shù)量為E[N_S]+E[N_E]。2.優(yōu)化模型：*目標(biāo)函數(shù)：MinimizeZ=λ_S*T-(t_S/15)+λ_E*T-(t_E/15)*約束條件：*t_S+t_E=T*0≤t_S≤T*0≤t_E≤T說明：該模型是線性規(guī)劃問題。目標(biāo)函數(shù)關(guān)于t_S和t_E是線性的。約束條件中，周期時(shí)長約束是線性的；綠燈時(shí)間非負(fù)約束也是線性的。模型允許t_S和t_E為非整數(shù)。3.分析：λ_E'=280輛/小時(shí)。東西方向等待車輛期望增加E[N_E]'=λ_E'*T-(t_E/15)=280*60-(t_E/15)=16800-(t_E/15)。調(diào)整建議：在不改變T和t_S的情況下，東西方向等待車輛顯著增加。為了緩解擁堵，建議調(diào)整。方案一：增加周期T。這會增加所有方向的綠燈時(shí)間，從而減少等待車輛。方案二：減少南北方向綠燈時(shí)間t_S（前提是南北方向車流量不大或可以接受更高等待）。方案三：結(jié)合調(diào)整T和t_S。或者，最根本的方案是調(diào)整東西方向的綠燈時(shí)間t_E（例如，適當(dāng)延長t_E）。選擇哪種方案取決于具體交通狀況和管理目標(biāo)。調(diào)整T或t_S會導(dǎo)致南北方向等待車輛增加，因此需要權(quán)衡。延長t_E是直接針對問題原因的解決方案。第三題1.解釋：*?C/?t：污染物濃度C隨時(shí)間t的變化率。*D(?2C/?x2+?2C/?y2)：D是擴(kuò)散系數(shù)，表示污染物在空間中擴(kuò)散的速率。(?2C/?x2+?2C/?y2)是濃度C在x和y方向上的二階空間導(dǎo)數(shù)之和，表示濃度梯度的散度，即凈流出或流入某個(gè)微小區(qū)域的污染物量。該項(xiàng)描述了污染物由于濃度梯度而引起的擴(kuò)散現(xiàn)象。*-kC：k是衰減率，表示污染物自身分解、吸附或其他去除過程的速率。該項(xiàng)表示污染物濃度越高，衰減越快。*該方程是一個(gè)二階線性偏微分方程，描述了擴(kuò)散和衰減共同作用下物質(zhì)濃度隨時(shí)間和空間的變化，是典型的熱傳導(dǎo)方程或擴(kuò)散方程形式。2.模型建立：*在湖心(0,0)，x=0,y=0。方程變?yōu)?C/?t=D*(?2C/?x2+?2C/?y2)-kC。*由于對稱性，在原點(diǎn)處，?C/?x和?C/?y均為0。因此，?2C/?x2和?2C/?y2在原點(diǎn)處可以合并考慮為二階導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處的值。*初始條件為C(0,0,0)=C?*exp(0)=C?。*模型簡化為：?C/?t=-kC，初始條件C(0,0,0)=C?。*這是一個(gè)一階線性常微分方程。解為：C(0,0,t)=C?*exp(-kt)。*參數(shù)D,k的意義與確定：*D：湖面擴(kuò)散系數(shù)。其物理意義是污染物濃度梯度為1時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積擴(kuò)散的物質(zhì)量。確定D的途徑包括：實(shí)驗(yàn)室小規(guī)模模擬實(shí)驗(yàn)測定、現(xiàn)場觀測（測量已知源強(qiáng)下的濃度衰減）、參考類似環(huán)境下的文獻(xiàn)數(shù)據(jù)、理論估算（基于分子擴(kuò)散或湍流擴(kuò)散理論）。*k：污染物衰減率。其物理意義是單位時(shí)間內(nèi)污染物濃度的衰減百分比或絕對量。確定k的途徑包括：現(xiàn)場觀測（測量污染物濃度隨時(shí)間的衰減曲線，擬合得到k）、實(shí)驗(yàn)室降解實(shí)驗(yàn)測定、參考污染物特性手冊或文獻(xiàn)數(shù)據(jù)。3.監(jiān)測站布局方案：*方案：在湖的邊界，特別是與污染源方向相反的一側(cè)，設(shè)置監(jiān)測站?？梢栽O(shè)置2-3個(gè)監(jiān)測站，分別位于邊界不同位置。*理由：污染物從中心向外擴(kuò)散。湖心濃度最高，最先受到影響的區(qū)域應(yīng)該是緊鄰湖心的邊界區(qū)域。在遠(yuǎn)離污染源、位于下游的邊界位置設(shè)置監(jiān)測站，可以最早接收到從湖心擴(kuò)散出來的污染物。通過監(jiān)測這些邊界點(diǎn)的濃度變化，可以反推湖心區(qū)域的污染動態(tài)。同時(shí)，多個(gè)監(jiān)測站可以提供空間信息，幫助判斷污染物的擴(kuò)散方向和速度。這種布局能有效利用擴(kuò)散規(guī)律，實(shí)現(xiàn)對湖心區(qū)域狀況的早期預(yù)警和監(jiān)測。第四題1.模型類型：優(yōu)化模型（線性規(guī)劃）。數(shù)學(xué)方程：*目標(biāo)函數(shù)：MaximizeProfit=(50-10*2-8*3-1*2+3)*Q=(50-20-24-2+3)*Q=7*Q*約束條件：*2*Q≤1500(工時(shí)約束)*3*Q≤120(原材料B約束)*Q≥0(產(chǎn)量非負(fù))2.分析：該模型為線性規(guī)劃問題。目標(biāo)函數(shù)Profit=7*Q是關(guān)于Q的線性函數(shù)。約束條件中，工時(shí)約束2*Q≤1500是線性的；原材料B約束3*Q≤120是線性的；產(chǎn)量非負(fù)約束Q≥0也是線性的。因此，模型屬于線性規(guī)劃。由于目標(biāo)函數(shù)系數(shù)（7）為正，且只有一個(gè)有效約束（2Q=1500或3Q=120，取決于哪個(gè)更緊），不存在多個(gè)最優(yōu)解。最優(yōu)解發(fā)生在約束邊界上，即產(chǎn)量Q等于