2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——泛函分析在量子力學(xué)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。每小題3分，共15分）1.設(shè)H是一個(gè)希爾伯特空間，x,y∈H。下列哪個(gè)表達(dá)式總是實(shí)數(shù)？(A)\|x+y\|^2(B)?x,y?+?y,x?(C)?x,x?+?y,y?(D)?x-y,x+y?2.下列哪個(gè)算子在無(wú)限維希爾伯特空間H上是自伴的？(A)移位算子S(x?,x?,x?,...)=(0,x?,x?,...)(B)細(xì)分算子D(x?,x?,x?,...)=(x?,0,x?,...)(C)厄米算子A=?u|v?u-?v|u?v（u,v為H中任意向量）(D)算子B定義為B(x)=i?u|x?u（u為H中固定向量）3.設(shè)T是希爾伯特空間H上的有界線性算子。下列哪個(gè)性質(zhì)對(duì)于T的自伴性是必要的？(A)T是可逆的(B)T的像T(H)是閉集(C)T適合?Tx,y?=?x,Ty?對(duì)所有x,y∈H(D)T是緊算子4.在量子力學(xué)中，一個(gè)自伴算符A的譜σ(A)是什么？(A)A的所有本征值的集合(B)A的所有實(shí)本征值的集合(C)A的所有實(shí)數(shù)λ使得(A-λI)是奇異算子的λ的集合(D)A的所有復(fù)數(shù)λ使得(A-λI)是無(wú)界算子的λ的集合5.下列哪個(gè)算子在L2([0,1])上是希爾伯特-施密特算子？(A)算子T定義為T(mén)(f)(x)=xf(x)(B)算子S定義為S(f)(x)=∫??f(t)dt(C)算子K定義為K(f)(x)=√xf(x)(D)算子E定義為E(f)(x)=sin(x)f(x)二、填空題（請(qǐng)將答案填在題后的橫線上。每小題4分，共20分）6.如果?x,y?是希爾伯特空間H中向量x和y的內(nèi)積，則Cauchy-Schwarz不等式表述為：|?x,y?|≤__________。7.設(shè)H是希爾伯特空間，T是H上的有界線性算子。如果對(duì)任意x∈H，都有?Tx,x?≥0，并且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=0，則稱(chēng)T是__________算子。8.在量子力學(xué)中，狀態(tài)空間通常被取為某個(gè)__________空間，其上的內(nèi)積?ψ|φ?定義了態(tài)ψ和φ之間的關(guān)聯(lián)。9.如果一個(gè)有界線性算子T在H的任意有限維子空間上都是自伴的，則T是__________算子。10.設(shè)A是無(wú)限維希爾伯特空間H上的自伴算子，其譜σ(A)是一個(gè)非空__________且是R的一個(gè)子集。三、計(jì)算題（請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的計(jì)算步驟。每小題10分，共30分）11.在L2([0,1])空間中，考慮算子T定義為T(mén)(f)(x)=xf(x)。證明T是無(wú)界算子，并求T的定義域D(T)。12.在二維希爾伯特空間H=C2上，設(shè)基矢為|0?=(1,0)?和|1?=(0,1)??？紤]算子A=(21;12)。求算子A的本征值和對(duì)應(yīng)的本征向量。13.設(shè)H是希爾伯特空間，T是H上的有界線性算子，滿足T2=T。證明T是緊算子。四、證明題（請(qǐng)給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明。每小題12分，共24分）14.設(shè)A是希爾伯特空間H上的自伴算子。證明：對(duì)任意x,y∈H，都有?(Ax),y?=?x,(Ay)?。15.設(shè)H是無(wú)限維希爾伯特空間，T是H上的自伴算子。證明：T的譜σ(A)是R的一個(gè)閉子集。---試卷答案一、選擇題1.(B)2.(C)3.(C)4.(C)5.(B)二、填空題6.\|x\|\|y\|7.正定8.希爾伯特9.埃爾米特10.實(shí)數(shù)三、計(jì)算題11.證明T是無(wú)界算子，并求T的定義域D(T)。*證明T無(wú)界：考慮L2([0,1])中序列f_n(x)=χ[0,1/n](x)，即f_n(x)=1當(dāng)0≤x≤1/n，否則f_n(x)=0。易得\|f_n\|?=√(∫?1/n|f_n(x)|2dx)=1/√n。計(jì)算T(f_n)(x)=xf_n(x)=xχ[0,1/n](x)。\|T(f_n)\|?=√(∫?1|T(f_n)(x)|2dx)=√(∫?1/n(xχ[0,1/n](x))2dx)=√(∫?1/nx2dx)=√((1/n3)/3)=(1/√3)(1/n3/?)。因此，(T(f_n)/\|f_n\|?)?=[(1/√3)(1/n3/?)]/(1/√n)=(1/√3)n1/?/n3/?=(1/√3)/n1?/?。當(dāng)n→∞時(shí)，該比值的極限為0，說(shuō)明T不是有界算子。*求T的定義域D(T)：根據(jù)有界線性算子的定義域是所有使得T(x)有定義（即T(x)∈L2([0,1])且范數(shù)有界）的x構(gòu)成的集合。對(duì)任意f∈D(T)，需∫?1|xf(x)|2dx<∞。由于|x|2≥0，這等價(jià)于要求∫?1x2|f(x)|2dx<∞。因此，D(T)={f∈L2([0,1])|∫?1x2|f(x)|2dx<∞}。12.求算子A的本征值和對(duì)應(yīng)的本征向量。*求本征值：解det(A-λI)=0。(2-λ)(2-λ)-(1)(1)=0=>λ2-4λ+3=0=>(λ-3)(λ-1)=0。本征值λ?=3,λ?=1。*求對(duì)應(yīng)λ?=3的本征向量：解(A-3I)x=0。(-11;1-1)x=0=>-x?+x?=0=>x?=x?。本征向量形式為c?(1,1)?，其中c?≠0。*求對(duì)應(yīng)λ?=1的本征向量：解(A-I)x=0。(11;11)x=0=>x?+x?=0=>x?=-x?。本征向量形式為c?(-1,1)?，其中c?≠0。13.證明T是緊算子。*證明方法一：利用有限維算子是緊算子的性質(zhì)。對(duì)任意有限維子空間V?H，任取x∈V。由于V是有限維的，任何有界線性算子T|_V在V上都是緊算子。特別地，T|_V將V映到L2([0,1])的一個(gè)緊子集（因?yàn)橛邢蘧S空間的有界線性像總是緊的）。因此，對(duì)任意x∈V，T(x)是一個(gè)在L2([0,1])中有界的、屬于某個(gè)緊集的向量。由于V是V中任意有限維子空間，這表明T將H中任意有界集B(0,R)={x∈H||x||≤R}映到一個(gè)具有“緊性”性質(zhì)的集合：T(B(0,R))的“直徑”隨著R→∞而趨于0。這符合緊算子的定義。*證明方法二：利用Riesz表示定理。對(duì)任意f,g∈L2([0,1])，由Riesz表示定理，存在唯一的h∈L2([0,1])使得g(x)=∫?1?h,φ(x)?dφ(x)，其中φ(x)是f(x)對(duì)應(yīng)的函數(shù)。T是滿足T2=T的算子，故T是冪等算子。對(duì)任意f∈L2([0,1])，令g=T(f)。則T(g)=T(T(f))=T(f)=g。由Riesz表示定理，存在h_g∈L2([0,1])使得g(x)=∫?1?h_g,φ(x)?dφ(x)。由于g=T(f)，存在h_f∈L2([0,1])使得f(x)=∫?1?h_f,φ(x)?dφ(x)。T(f)(x)=∫?1?T(h_f),φ(x)?dφ(x)。由于T是線性的，且T2=T，所以T(h_f)=h_f。因此，T(f)(x)=∫?1?h_f,φ(x)?dφ(x)=f(x)。這表明T將L2([0,1])映到其自身。設(shè)B(0,R)={f∈L2([0,1])||f||≤R}。則T(B(0,R))?L2([0,1])。對(duì)任意f∈B(0,R)，||T(f)||≤||T||||f||≤||f||≤R。因此，T(B(0,R))是L2([0,1])中有界集。下面證明T(B(0,R))的“直徑”趨于0。即證對(duì)任意ε>0，存在R'>0，當(dāng)R≥R'時(shí)，對(duì)任意f,g∈B(0,R)，有||T(f)-T(g)||<ε。對(duì)任意f,g∈B(0,R)，f-g∈B(0,2R)。||T(f)-T(g)||=||T(f-g)||。由于T是冪等算子，T(f-g)=T(f)-T(g)。||T(f-g)||=||T(f-g)||。由于T是冪等算子，對(duì)L2([0,1])中的函數(shù)f，有||T(f)||2=∫?1|T(f)(x)|2dx=∫?1|f(x)|2dx=||f||2。因此，||T(f-g)||=||f-g||。對(duì)任意ε>0，存在R'>0，當(dāng)R≥R'且||f-g||<ε時(shí)，有||T(f-g)||=||f-g||<ε。這表明T將||f-g||<ε的集合映到||T(f)-T(g)||<ε的集合。由此可知，T是緊算子。四、證明題14.證明：對(duì)任意x,y∈H，都有?(Ax),y?=?x,(Ay)?。*證明：由A是自伴算子的定義，即A*=A。根據(jù)內(nèi)積的性質(zhì)，?Ax,y?=?x,A*y?。代入A*=A，得到?Ax,y?=?x,Ay?。因此，對(duì)任意x,y∈H，都有?(Ax),y?=?x,(Ay)?。15.證明：設(shè)H是無(wú)限維希爾伯特空間，T是H上的自伴算子。證明：T的譜σ(A)是R的一個(gè)閉子集。*證明：1.σ(A)是R的子集：根據(jù)自伴算子的譜定理，T的譜σ(A)是其本征值集合與連續(xù)譜的并集。本征值是實(shí)數(shù)，連續(xù)譜也是由滿足(A-λI)無(wú)解或(A-λI)不是滿射的λ組成，這些λ也必定是實(shí)數(shù)。因此，σ(A)?R。2.σ(A)是閉集：根據(jù)自伴算子的譜定理，σ(A)可以表示為其點(diǎn)譜Σ(A)和剩余譜R(A)的并集：σ(A)=Σ(A)∪R(A)。*點(diǎn)譜Σ(A)是T的本征值集合，本征值是