2025-2026學年柳州鐵路第一中學數(shù)學高二第一學期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（）A. B.C. D.2．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.3．拋擲兩枚硬幣，若記出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是（）.A. B.C. D.4．已知x是上的一個隨機的實數(shù)，則使x滿足的概率為（）A. B.C. D.5．若數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為（）A.5 B.C.3 D.3或6．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.7．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，則乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.12 B.10C.8 D.68．過點且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.9．圓關于直線l：對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.10．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點與兩定點的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點為軸上一點，定點的坐標為，若點，則的最小值為（）A. B.C. D.11．設函數(shù)的圖象為C，則下面結論中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.圖象C關于點對稱C.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)D.圖象C可由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到12．若拋物線與直線：相交于兩點，則弦的長為（）A.6 B.8C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小值為______.14．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于A，B兩點（點B在第一象限），與準線交于點P.若，，則____________.15．如圖是用斜二測畫法畫出水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為______.16．等差數(shù)列前項之和為，若，則________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項公式；（2）設的前項和，求的值.18．（12分）已知圓C經(jīng)過點，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求三角形PMN的面積.19．（12分）已知拋物線C：，直線l經(jīng)過點，且與拋物線C交于M，N兩點，其中.（1）若，且，求點M的坐標；（2）是否存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，若存在，請求出正數(shù)m，若不存在，請說明理由.20．（12分）在平面直角坐標系中，過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設曲線與直線交于，兩點，求線段的中點的直角坐標及的值21．（12分）設：實數(shù)滿足，：實數(shù)滿足.（1）若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題得，進而根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：依題意，即，所以，所以，由于，所以故選：A2、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.3、A【解析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來，利用古典概型的計算公式，把，，算出來，判斷四個選項的正誤.【詳解】兩枚硬幣，記為與，則拋擲兩枚硬幣，一共會出現(xiàn)的情況有四種，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，則，，，所以A錯誤，BCD正確故選：A4、B【解析】先解不等式得到的范圍，再利用幾何概型的概率公式進行求解.【詳解】由得，即，所以使x滿足的概率為故選：B.5、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項公式求解【詳解】解：設該等比數(shù)列公比為q，∵數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，∴，，∴，故，解得，∴故選：C6、D【解析】根據(jù)共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進而求出的值，即可求出結果.【詳解】因為，所以又，所以.故選：D.7、A【解析】根據(jù)眾數(shù)的概念，求得的值，再根據(jù)平均數(shù)的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，得，所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為故選：A.8、A【解析】設直線的方程為，代入點的坐標即得解.【詳解】解：設直線的方程為，把點坐標代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A9、A【解析】首先求出圓的圓心坐標與半徑，再設圓心關于直線對稱的點的坐標為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標，從而求出對稱圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設圓心關于直線對稱的點的坐標為，則，解得，即圓關于直線對稱的圓的圓心為，半徑，所以對稱圓的方程為；故選：A10、D【解析】設，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標求出即可.【詳解】設，，所以，由，所以，因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值，當M在位置或時等號成立.故選：D11、B【解析】化簡函數(shù)解析式，求解最小正周期，判斷選項A，利用整體法求解函數(shù)的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間，判斷選項BC，再由圖象變換法則判斷選項D.【詳解】，所以函數(shù)的最小正周期為，A錯；令，得，所以函數(shù)圖象關于點對稱，B正確；由，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，C錯；函數(shù)的圖象向右平移個單位得，D錯.故選：B12、B【解析】由題得拋物線的焦點坐標為剛好在直線上，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達定理和拋物線的定義求解.【詳解】解：由題得.由題得拋物線的焦點坐標為剛好在直線上，設，聯(lián)立直線和拋物線方程得,所以.所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由解析式知定義域為，討論、、，并結合導數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.14、【解析】過點作，垂足為，過點作，垂足為，然后根據(jù)拋物線的定義和三角形相似的關系可求得結果【詳解】過點作，垂足為，過點作，垂足為，由拋物線的定義可知，，不妨設，因為，所以，因為∽，所以，即，所以，所以，因為與反向，所以.故答案為：15、【解析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關系可求出，進而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.16、【解析】直接利用等差數(shù)列前項和公式和等差數(shù)列的性質求解即可.【詳解】由已知條件得,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，利用題中等式建立、的方程組，求出、的值，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的通項公式；（2）利用等差數(shù)列前項和公式求出，然后由求出的值.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，解得，，數(shù)列的通項為；（2）數(shù)列的前項和，由，化簡得，即，.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求解，考查等差數(shù)列的前項和公式，常用的方法就是利用首項和公差建立方程組求解，考查運算求解能力，屬于中等題.18、（1）；（2）.【解析】（1）由題設知，設圓心，應用兩點距離公式列方程求參數(shù)a，進而確定圓心坐標、半徑，寫出圓C的方程；（2）利用兩點距離公式、切線的性質可得、，再應用三角形面積公式求三角形PMN的面積.【小問1詳解】由已知，可設圓心，且，從而有，解得.所以圓心，半徑.所以，圓C的方程為.【小問2詳解】連接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圓心，半徑.所以.又PM，PN是圓C的切線，所以，，則，，所以，所以.19、（1）或（2）存在，【解析】（1）確定點為拋物線的焦點，則根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結合拋物線方程，求得答案;（2）假設存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，可推得，由此可設直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)的關系，代入到中，可得結論.【小問1詳解】依題意得為的焦點,故，解得,故，則∴點的坐標或;【小問2詳解】假設存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點,∴，設直線：，，，由,得,則，,∵，,∴,解得或（舍去）所以存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點.20、（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程.（2）【解析】（1）直接利用轉換關系，在參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換；（2）利用中點坐標公式和一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用求出結果【小問1詳解】解：過點的直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉換為普通方程為，即直線的普通方程為；曲線的極坐標方程為，即，即，根據(jù)，轉換為直角坐標方程為，即曲線的直角坐標方程【小問2詳解】解：把代入，整理得，所以，設，，；故，代入，解得，故中點坐標為；把直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）代入，設和對應的參數(shù)為和，得到，整理得，所以21、（1）（2）【解析】（1）首先分別求出、為真時參數(shù)的取值范圍，再由為真，取并集即可；（2）首先解一元二次不等式，依題意是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，即可得到不等式組，解得即可；【小問1詳解】解：當時，，即，解得，即為真時，實數(shù)的取值范圍為實數(shù)滿足，即，解得：，即為真時，實數(shù)的取值范圍為因，所以，即；【小問2詳解】解：由，即，所以，因