北京市師大二附中2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線x﹣y+3＝0的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.150°2．閱讀如圖所示程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出S的結(jié)果是（）A.128 B.64C.16 D.323．如圖，是函數(shù)的部分圖象，且關(guān)于直線對稱，則（）A. B.C. D.4．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是A. B.C. D.5．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.6．命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.7．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1到平面ACD1的距離為（）A.1 B.C. D.8．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．在各項(xiàng)均為正數(shù)等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則=（）A. B.C. D.10．圓截直線所得弦的最短長度為（）A.2 B.C. D.411．若命題“對任意，使得成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知，則條件“”是條件“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)m的值為______14．已知集合，集合，則__________.15．已知函數(shù)，則的值是______.16．“直線和直線垂直”的充要條件是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知；.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于零，求a的取值范圍19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若時(shí)，對任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值22．（10分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝－，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先求斜率，再求傾斜角即可【詳解】解：直線的斜截式方程為，∴直線的斜率，∴傾斜角，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角與斜率，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯，其執(zhí)行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C3、C【解析】先根據(jù)條件確定為函數(shù)的極大值點(diǎn)，得到的值，再根據(jù)圖像的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)幾何意義得到和的正負(fù)即可判斷.【詳解】根據(jù)題意得，為函數(shù)部分函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，由圖像可知處切線斜率為銳角，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，由圖像可知處切線斜率為鈍角，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義所以.即.故選：C.4、D【解析】首先利用坐標(biāo)法，排除錯誤選項(xiàng)，然后對符合的選項(xiàng)驗(yàn)證存在使得，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】不妨設(shè).對于A選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故A選項(xiàng)錯誤.對于B選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故B選項(xiàng)錯誤.對于C選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)，故不在平面上，故C選項(xiàng)錯誤.對于D選項(xiàng)，，由于的豎坐標(biāo)為，故在平面上，也即四點(diǎn)共面.下面證明結(jié)論一定成立：由，得，即，故存在，使得成立，也即四點(diǎn)共面.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間四點(diǎn)共面的證明方法，考查空間向量的線性運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.5、C【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C6、B【解析】“存在，使得”為真命題，可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．再利用充要條件的判定方法即可得出.【詳解】解：因?yàn)椤按嬖?，使得”為真命題，所以，因此上述命題得個(gè)充分不必要條件是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.7、B【解析】先證明點(diǎn)A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以A1C1//平面ACD1，則點(diǎn)A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知＝(0,0,1)，由題得平面,所以平面,所以,同理,因?yàn)槠矫妫云矫?，所以是平面一個(gè)法向量，所以平面ACD1的一個(gè)法向量為＝(1,1,1)，故所求的距離為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離常用的方法有：（1）幾何法（找作證指求）；（2）向量法；（3）等體積法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.8、A【解析】由，結(jié)合基本不等式可得，由此可得，由此說明“”是“”的充分條件，再通過舉反例說明“”不是“”的必要條件，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），若，則，∴，所以“”是“”的充分條件，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴“”不是“”的必要條件，∴“”是“”的充分不必要條件，故選：A.9、A【解析】利用等差中項(xiàng)的定義以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵成等差數(shù)列，∴，即，解得或（舍去），∴，故選：.10、A【解析】由題知直線過定點(diǎn)，且在圓內(nèi)，進(jìn)而求解最值即可.【詳解】解：將直線化為，所以聯(lián)立方程得所以直線過定點(diǎn)將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，即圓心為，半徑為，由于，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以點(diǎn)與圓圓心間的距離為，所以圓截直線所得弦的最短長度為故選：A11、A【解析】由題得對任意恒成立，求出的最大值即可.【詳解】解：由題得對任意恒成立，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立)所以故選：A12、A【解析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由兩直線平行的判定可得求解即可，注意驗(yàn)證是否出現(xiàn)直線重合的情況.【詳解】由題設(shè)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè).故答案為：14、##（-1,2]【解析】根據(jù)兩集合的并集的含義，即可得答案.【詳解】因?yàn)榧希?，所?故答案為：15、【解析】求出，代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)?，則，因此，.故答案為：.16、或【解析】利用直線一般式方程表示垂直的方法求解.【詳解】因?yàn)橹本€和直線垂直，所以，解得或；故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】解不等式求得為真、為真分別對應(yīng)的解集；（1）由為真可得全真，兩解集取交集可得結(jié)果；（2）由和的真假性可得一真一假，則分為真假和假真兩種情況求得解集.【小問1詳解】若為真，則，即，即，所以或，若為真，則，所以，因?yàn)闉檎婷}，所以均為真命題.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】若為假命題，為真命題，則一真一假，若真假，則，解得或，若假真，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）對求導(dǎo)并求定義域，討論、分別判斷的符號，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間.（2）由題設(shè)，結(jié)合（1）所得的單調(diào)性，討論、、分別確定在給定區(qū)間上的最小值，根據(jù)最小值小于零求參數(shù)a的范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，且定義域?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，在上，即在上遞增；當(dāng)，即時(shí)，在上，在上，所以在上遞減，在上遞增；【小問2詳解】由（1）知：若，即時(shí)，則在上遞增，故，可得；若，即時(shí)，則在上遞減，在上遞增，故，不合題設(shè)；若，即時(shí)，則在上遞減，故，得；綜上，a的取值范圍.19、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)法可求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，.故原不等式得證.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此求得.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則,解得，.∴.【小問2詳解】由（1）知.∴.∴.21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分類討論即得；（2）由題可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，顯然，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得則有：極大值即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，對于滿足恒成立，在上恒成立，令，只需∴，，，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，存在唯一的，使得，即，兩邊取自然對數(shù)得，極小值，則的最大值為22、（