試卷第=page99頁，共=sectionpages1111頁試卷第=page1010頁，共=sectionpages1111頁2025-2026學(xué)年青島市西海岸新區(qū)九年級(jí)自主招生考試專題專題二、實(shí)數(shù)問題（適中版）一、單選題1．對(duì)任意的整數(shù)，，定義，則使得的整數(shù)組的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】，由對(duì)稱性，同樣可得，．所以，由已知可得，即．所以，，，為整數(shù)時(shí)，只能有以下幾種情況：，或，或，或，所以，或或或，故共有4個(gè)符合要求的整數(shù)組．2．若正整數(shù)，，滿足且，則稱為好數(shù)組．那么，好數(shù)組的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】若為好數(shù)組，則，所以，顯然，只能為1或2．若，由可得或3，時(shí)可得，時(shí)可得（不是整數(shù)）；若，則，于是可得，可求得或．綜合可知：共有3個(gè)好數(shù)組，分別為，和．3．對(duì)于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，，則（

）A．28062 B．28065 C．28067 D．28068【答案】D【詳解】解：將0，1，2，…，999這1000個(gè)自然數(shù)分為500個(gè)數(shù)組：、、、…、．注意到：這500個(gè)數(shù)組中，每個(gè)數(shù)組的兩個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字之和均為，故0，1，2，…，999這1000個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字之和等于．于是，1000，1001，1002，…，1999這1000個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字之和等于．從而．顯然：，故：．4．已知，則A與1的大小關(guān)系是（

）．A． B． C． D．無法確定【答案】C【詳解】解

因．故選C5．已知有理數(shù)a，b，c，d滿足，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因，故，所以選C6．若關(guān)于的方程的解是整數(shù)解，是整數(shù)，則所有的值加起來為（

）A． B． C． D．18【答案】C【分析】根據(jù)解一元一次方程的一般步驟表示出的代數(shù)式，分析解答即可．【詳解】解：解方程，得：，根據(jù)題意可知為整數(shù)，是整數(shù)，當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，為整數(shù)，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)一元一次方程解的情況求參數(shù)，熟練掌握解一元一次方程的一半步驟是解本題的關(guān)鍵．7．若n為任意整數(shù)，如果的值總能被4整除，則整數(shù)k不能取（

）A． B．1 C．2 D．5【答案】C【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，先利用完全平方公式計(jì)算，再將代數(shù)式分組為一定被4整除的一組和需要確定范圍的一組，找到能被整除的數(shù)即可得答案．【詳解】解：．∵的值總能被4整除，n為任意整數(shù)，∴總能被整除．整數(shù)k為、1、5均滿足條件，故選項(xiàng)A、B、D不符合題意，整數(shù)k為，，不能滿足n為任意整數(shù)時(shí)的值總能被4整除，故選：C．8．已知為非負(fù)整數(shù)，關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，則的可能取值的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查了含二次根式的一元方程整數(shù)根的求解及非負(fù)整數(shù)參數(shù)的確定，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)二次根式有意義的條件確定未知數(shù)的取值范圍，再結(jié)合整數(shù)根的特征列舉可能的整數(shù)解，代入方程求解參數(shù)并驗(yàn)證其非負(fù)整數(shù)屬性．由二次根式有意義得，即，列舉的整數(shù)；將每個(gè)整數(shù)代入方程解出；判斷是否為非負(fù)整數(shù)，統(tǒng)計(jì)符合條件的的個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定選項(xiàng)．【詳解】解：∵有意義，∴，即；又方程至少有一個(gè)整數(shù)根，故為的整數(shù)，代入方程求：當(dāng)時(shí)，，即，解得，是非負(fù)整數(shù)，符合條件；當(dāng)時(shí)，，即，解得，是非負(fù)整數(shù)，符合條件；當(dāng)時(shí)，，即，解得，非整數(shù)，不符合；當(dāng)時(shí)，，即，解得，是非負(fù)整數(shù)，符合條件；當(dāng)時(shí)，代入方程得為負(fù)數(shù)或非整數(shù)，均不符合．綜上，符合條件的的值有、、，共個(gè)．故選：D．二、填空題9．五個(gè)互不相同的正奇數(shù)，，，，滿足，則的個(gè)位數(shù)字為．【答案】【分析】本題考查了奇數(shù)和偶數(shù)，奇偶性分析，、、、、為五個(gè)互不相等的偶數(shù)，再結(jié)合，令，，，，，從而可得，，，，，分別求出、、、、的個(gè)位數(shù)字，求和即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，，為五個(gè)互不相同的正奇數(shù)，∴、、、、為五個(gè)互不相等的偶數(shù)，∵，∴令，，，，，∴，，，，，∴的個(gè)位數(shù)字為，的個(gè)位數(shù)字為，的個(gè)位數(shù)字為，的個(gè)位數(shù)字為，的個(gè)位數(shù)字為，求和末位為，故的個(gè)位數(shù)字為，故答案為：．10．計(jì)算機(jī)的發(fā)明與應(yīng)用被稱作20世紀(jì)第三次科技革命的重要標(biāo)志之一，計(jì)算機(jī)能識(shí)別和處理由“0”“1”符號(hào)串組成的代碼，其運(yùn)算模式是二進(jìn)制．計(jì)數(shù)的進(jìn)位方法是“逢二進(jìn)一”，例如：二進(jìn)制數(shù)100110記為，通過式子可以轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)38．將十進(jìn)制數(shù)89轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的方法，進(jìn)行計(jì)算即可．熟練掌握十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的方法，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，，，，∴十進(jìn)制數(shù)89轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)是．故答案為：．11．如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且，并滿足，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“長(zhǎng)壽數(shù)”，例如：四位數(shù)4128，，是“長(zhǎng)壽數(shù)”；又如四位數(shù)7143，，不是“長(zhǎng)壽數(shù)”，則最小的“長(zhǎng)壽數(shù)”是；已知“長(zhǎng)壽數(shù)”（其中），將的千位數(shù)字與百位數(shù)字的和記為，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差記為，若能被14整除，則滿足條件的的最小值為．【答案】2108【分析】本題考查列代數(shù)式以及數(shù)字變化類的問題，由于為“長(zhǎng)壽數(shù)”，因?yàn)?，所以，可得最小的“長(zhǎng)壽數(shù)”；因?yàn)镸可被14整除，則M可被2整除，可被7整除，可得或8或2，由題意得：，且，，，要使盡可能小，即，即盡可能小，分類討論即可．【詳解】解：∵為“長(zhǎng)壽數(shù)”，∴，∵，∴，∴最小的“長(zhǎng)壽數(shù)”是2108；又∵M(jìn)可被14整除，∴M可被2整除，可被7整除，∴或6或4或2，由題意得：，且，，，∵，，∴，，要使盡可能小，即盡可能小，∴，此時(shí)，十位和百位數(shù)字相同，不合題意；，此時(shí)，不能被14整除，不合題意；，此時(shí)，符合題意，∴，，∴的最小值為：，故答案為：2108；．12．立方體的每一個(gè)面都寫著一個(gè)自然數(shù)，并且相對(duì)兩個(gè)面所寫兩個(gè)數(shù)之和相等，10，12，15是相鄰三面上的數(shù)，若10的對(duì)面寫的是質(zhì)數(shù)a，12的對(duì)面寫的是質(zhì)數(shù)b，15的對(duì)面寫的是質(zhì)數(shù)c，則的值等于．【答案】19．【詳解】易知．13．以表示不大于的最大整數(shù)，例如，則．【答案】【詳解】解：設(shè)，則，于是．又，故，于是．故答案為：．14．已知是四個(gè)不同的有理數(shù)，且，，則．【答案】【詳解】設(shè)，則，由已知條件得，兩式相減得．因是四個(gè)不同的有理數(shù)，故，從而，故，即．故答案為：．三、解答題15．已知整數(shù)，，，．滿足，．(1)求證：為正數(shù)；(2)若為偶數(shù)，判斷是否可以為奇數(shù)，說明你理由．【答案】(1)證明見詳解(2)不可以，理由見詳解【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、奇數(shù)和偶數(shù)的識(shí)別等知識(shí)，熟練掌握完全平方公式的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．（1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非負(fù)性質(zhì)即可證明．（2）由，，，為整數(shù)，為偶數(shù)，可得出為偶數(shù)，進(jìn)而可得出為偶數(shù)，為偶數(shù)，若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則為奇數(shù)，與為偶數(shù)矛盾，則不可以為奇數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，∴∵，則∴為正數(shù)．（2）不可以，理由如下：∵，，，為整數(shù)，為偶數(shù)，∴為偶數(shù)，∵，∴為偶數(shù)，∴，同為偶數(shù)或者同為奇數(shù)，∴為偶數(shù)，若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，∴為奇數(shù)，∴為奇數(shù)與為偶數(shù)矛盾，∴不可以為奇數(shù)．16．已知實(shí)數(shù)滿足．(1)求證：為非負(fù)數(shù)；(2)若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．【答案】(1)證明見解析；(2)不可能都為整數(shù)，理由見解析．【分析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)：考查運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力．（1）根據(jù)題意得出，進(jìn)而計(jì)算，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）分情況討論，①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析即可．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以．則．因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，所以為非負(fù)數(shù)．（2）不可能都為整數(shù)．理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)．①當(dāng)都為奇數(shù)時(shí)，則必為偶數(shù)．又，所以．因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．②當(dāng)為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則必為偶數(shù)．又因?yàn)椋裕驗(yàn)闉槠鏀?shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．綜上所述，不可能都為整數(shù)．17．一個(gè)四位正整數(shù)A滿足百位上的數(shù)字比千位上的數(shù)字小5，且個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小5，則稱A為“隊(duì)伍數(shù)”，將“隊(duì)伍數(shù)”A的千位和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)與百位和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)的和記為，將“隊(duì)伍數(shù)”A的千位和百位數(shù)字組成的兩位數(shù)與十位和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)的差記為．例如：四位正整數(shù)7261，，∴7261是“隊(duì)伍數(shù)”，此時(shí)，．(1)判斷：9483，6132是否是“隊(duì)伍數(shù)”，并說明理由，如果是，求；(2)若A是“隊(duì)伍數(shù)”，且滿足能被7整除，求出所有符合條件的A．【答案】(1)9483是“隊(duì)伍數(shù)”，6132不是“隊(duì)伍數(shù)”，，(2)符合條件的A為6161或7294或8350或9483【分析】（1）根據(jù)“隊(duì)伍數(shù)”的定義即可判斷；然后根據(jù)、的運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算即可；（2）設(shè)（，，，均為正整數(shù)），則，由題意可得能被7整除，再根據(jù)、確定，的可能取值，進(jìn)而完成解答．【詳解】（1）解：∵，，，∴9483是“隊(duì)伍數(shù)”，6132不是“隊(duì)伍數(shù)”，．（2）設(shè)（，，，均為正整數(shù)）則，則，∵能被7整除∴能被7整除∵，∴或或或∴符合條件的A為6161或7294或8350或9483．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算、整式的運(yùn)算、整除的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確應(yīng)用新定義運(yùn)算和整除的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．已知正整數(shù)m，n滿足，求n的最大值．【答案】104【詳解】設(shè)，則原式為，兩邊平方易得，于是（b是正整數(shù)），則．由于和同奇偶，即為偶數(shù)，所以最大值為，n的最大值為104.19．若x．y為正數(shù)但都不為整數(shù)且（m為正整數(shù)），則．求的值．【答案】【詳解】（1）設(shè)，依題意，且，故為整數(shù)，又，所