2025年自考本科數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-2}}\)的定義域是（）A.\(x\gt2\)B.\(x\geq2\)C.\(x\lt2\)D.\(x\leq2\)答案：A2.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.\(y=x+1\)B.\(y=-x^3\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=x^3\)答案：D3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)的值為（）A.5B.11C.10D.7答案：B4.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)答案：B5.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=2n-1\)，則\(a_5\)的值為（）A.9B.11C.13D.15答案：A6.不等式\(x^2-3x+2\lt0\)的解集是（）A.\((1,2)\)B.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)C.\((-2,-1)\)D.\((-\infty,-2)\cup(-1,+\infty)\)答案：A7.函數(shù)\(y=2^x\)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,0)\)D.\((1,1)\)答案：A8.已知圓的方程為\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)，則圓心坐標(biāo)為（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)答案：A9.若直線\(y=kx+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)相切，則\(k\)的值為（）A.0B.1C.-1D.\(\pm1\)答案：D10.從\(5\)名學(xué)生中選\(2\)名參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有（）種選法。A.5B.10C.15D.20答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=2x\)C.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)D.\(y=\frac{1}{x^2}\)答案：ACD2.已知向量\(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec=(0,1)\)，則下列向量中與\(\vec{a}+\vec\)垂直的有（）A.\((-1,1)\)B.\((1,-1)\)C.\((0,0)\)D.\((-1,-1)\)答案：AB3.下列三角函數(shù)值中，為正數(shù)的有（）A.\(\sin150^{\circ}\)B.\(\cos225^{\circ}\)C.\(\tan30^{\circ}\)D.\(\sin(-60^{\circ})\)答案：AC4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，其公差\(d\neq0\)，若\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則（）A.\(d=2\)B.\(a_2=3\)C.\(a_5=9\)D.\(a_n=2n-1\)答案：ABCD5.下列不等式中，正確的有（）A.\(x^2+1\geq2x\)B.\(x^2+4\gt4x\)C.\(\frac{x^2+1}{2}\geqx\)D.\(x^2+9\geq6x\)答案：ACD6.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域?yàn)椋ǎ〢.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)答案：A7.已知圓\(x^2+y^2=4\)，直線\(y=x+b\)，當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，\(b\)的取值范圍是（）A.\([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)B.\([-2,2]\)C.\([-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]\)D.\([-4,4]\)答案：C8.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：B9.已知函數(shù)\(y=f(x)\)是偶函數(shù)，且當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，則當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(f(x)\)的表達(dá)式為（）A.\(x^2+2x\)B.\(x^2-2x\)C.\(-x^2+2x\)D.\(-x^2-2x\)答案：A10.若\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式中成立的有（）A.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)B.\(a^2\gtb^2\)C.\(\lga\gt\lgb\)D.\(2^a\gt2^b\)答案：ABCD三、判斷題1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2}\)是偶函數(shù)。（）答案：正確2.若向量\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=0\)或\(\vec=0\)。（）答案：錯(cuò)誤3.\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)對(duì)任意角\(\alpha\)都成立。（）答案：正確4.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一定是關(guān)于\(n\)的一次函數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤5.不等式\(x^2\gt4\)的解集是\(x\gt2\)或\(x\lt-2\)。（）答案：正確6.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是\(x\geq1\)。（）答案：正確7.圓\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)的圓心坐標(biāo)是\((a,b)\)，半徑是\(r\)。（）答案：正確8.若直線\(l_1\)與\(l_2\)平行，則它們的斜率相等。（）答案：錯(cuò)誤9.從\(n\)個(gè)不同元素中取出\(m\)個(gè)元素的組合數(shù)\(C_n^m\)與排列數(shù)\(A_n^m\)的關(guān)系是\(A_n^m=m!C_n^m\)。（）答案：正確10.函數(shù)\(y=\sinx\)在\([0,\pi]\)上是單調(diào)遞增的。（）答案：錯(cuò)誤四、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述函數(shù)單調(diào)性的定義。答案：一般地,設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(I\)：如果對(duì)于定義域\(I\)內(nèi)的某個(gè)區(qū)間\(D\)上的任意兩個(gè)自變量的值\(x_1\)、\(x_2\)，當(dāng)\(x_1\ltx_2\)時(shí)，都有\(zhòng)(f(x_1)\ltf(x_2)\)，那么就說(shuō)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是增函數(shù)；當(dāng)\(x_1\ltx_2\)時(shí)，都有\(zhòng)(f(x_1)\gtf(x_2)\)，那么就說(shuō)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)上是減函數(shù)。2.求向量\(\vec{a}=(3,4)\)的模。答案：向量\(\vec{a}=(3,4)\)，其模\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。3.寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。答案：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(zhòng)(a_1\)為首項(xiàng)，\(d\)為公差，\(n\)為項(xiàng)數(shù)。4.簡(jiǎn)述對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。答案：對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0,a\neq1\)），定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)。當(dāng)\(a\gt1\)時(shí)，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\lta\lt1\)時(shí)，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。且對(duì)數(shù)函數(shù)圖象恒過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=x^2\)與\(y=2^x\)的增長(zhǎng)差異。答案：在\(x\)較小時(shí)，\(y=x^2\)增長(zhǎng)相對(duì)較慢，\(y=2^x\)增長(zhǎng)也較慢但比\(y=x^2\)快一點(diǎn)。隨著\(x\)增大，\(y=2^x\)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)\(y=x^2\)。比如當(dāng)\(x=4\)時(shí)，\(x^2=16\)，\(2^x=16\)，而當(dāng)\(x=5\)時(shí)，\(x^2=25\)，\(2^x=32\)，差距逐漸明顯。2.談?wù)勅绾闻袛嘁粋€(gè)數(shù)列是等差數(shù)列。答案：可以通過(guò)定義判斷，即看從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是否為同一個(gè)常數(shù)。比如數(shù)列\(zhòng)(2,4,6,8,\cdots\)，\(4-2=2\)，\(6-4=2\)，\(8-6=2\)，差都是\(2\)，所以是等差數(shù)列。也可以根據(jù)通項(xiàng)公式判斷，若通項(xiàng)公式為\(a_n=a_1+(n-1)d\)的形式，則為等差數(shù)列。3.討論在解決不等式問(wèn)題時(shí)常用的方法有哪些。答案：常用方法有移項(xiàng)法，將不等式一邊化為\(0\)，再分析另一邊函數(shù)。比如\(x^2-3x+2\gt0\)，化為\((x-1)(x-2)\gt0\)求解。還有配方法，像\(x^2+2x-3\)可配方為\((x+1)^2-4\)來(lái)求解不等式。另外，利用函數(shù)圖象法也很直觀，通過(guò)畫(huà)出相關(guān)函數(shù)圖象