2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——狀態(tài)空間模型與預(yù)測(cè)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述狀態(tài)空間模型的基本組成部分及其在描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的優(yōu)勢(shì)。二、在狀態(tài)空間模型$x_k=Fx_{k-1}+w_{k-1}$,$y_k=Hx_k+v_k$中，$w_k$和$v_k$分別表示過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲。請(qǐng)說(shuō)明高斯-馬爾可夫模型（Gaussian-Markovmodel）成立的條件，并解釋為何在這些條件下，最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)（OLME）的Kalman濾波器能夠提供狀態(tài)的最小方差估計(jì)。三、給定一個(gè)離散線性高斯?fàn)顟B(tài)空間模型：$$x_k=\Phix_{k-1}+w_{k-1}$$$$y_k=Hx_k+v_k$$其中，$w_k\simN(0,Q)$,$v_k\simN(0,R)$,$w_k$和$v_k$互不相關(guān)，且與初始狀態(tài)$x_0$也不相關(guān)。Kalman濾波器遞歸地估計(jì)狀態(tài)$x_k$。1.寫(xiě)出濾波器的預(yù)測(cè)步驟（預(yù)測(cè)狀態(tài)$\hat{x}_k^-$和預(yù)測(cè)協(xié)方差$P_k^-$）和更新步驟（更新?tīng)顟B(tài)$\hat{x}_k$和更新協(xié)方差$P_k$）的公式。2.解釋濾波增益$K_k=P_kH^TR^{-1}$的物理意義及其如何依賴于觀測(cè)噪聲協(xié)方差$R$。四、假設(shè)你正在使用Kalman濾波器對(duì)某個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。濾波運(yùn)行一段時(shí)間后，你計(jì)算得到的一組濾波殘差（Innovation）$z_k=y_k-H\hat{x}_k^-$被發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)非白噪聲特性（例如，自相關(guān)顯著）。1.列舉可能導(dǎo)致這種情況出現(xiàn)的三個(gè)原因。2.簡(jiǎn)述你會(huì)如何利用殘差分析來(lái)診斷模型是否合適，以及如果發(fā)現(xiàn)模型不合適，可以采取哪些初步的修正措施。五、考慮一個(gè)具有線性動(dòng)態(tài)和觀測(cè)關(guān)系的狀態(tài)空間模型，但其狀態(tài)變量包含非線性變化的項(xiàng)。例如，模型形式為：$$x_k=\Phix_{k-1}+f(x_{k-1})+w_{k-1}$$$$y_k=Hx_k+v_k$$其中，$f(x)$是一個(gè)非線性函數(shù)。簡(jiǎn)述擴(kuò)展Kalman濾波器（EKF）是如何通過(guò)線性化來(lái)處理這種非線性狀態(tài)的，并指出EKF的主要局限性和潛在問(wèn)題。六、描述狀態(tài)空間模型在短期預(yù)測(cè)和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)之間的基本差異。假設(shè)你正在使用一個(gè)狀態(tài)空間模型為時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。請(qǐng)說(shuō)明如何根據(jù)模型參數(shù)（如過(guò)程噪聲協(xié)方差$Q$）和濾波結(jié)果（如最終狀態(tài)估計(jì)$x_L$和其協(xié)方差$P_L$）來(lái)計(jì)算一步預(yù)測(cè)$\hat{x}_{L+1}$及其預(yù)測(cè)誤差方差$\text{Var}(\hat{x}_{L+1}-x_{L+1})$。七、你收集了一系列關(guān)于某城市交通流量的數(shù)據(jù)，每小時(shí)記錄一次。你認(rèn)為交通流量$q_t$可以用一個(gè)一階線性狀態(tài)空間模型來(lái)描述：$$q_t=\Phiq_{t-1}+w_{t-1}$$$$y_t=q_t+v_t$$其中，$y_t$是實(shí)際觀測(cè)到的流量。假設(shè)$\Phi=0.95$,$w_t\simN(0,4)$。為了校準(zhǔn)模型，你首先需要估計(jì)觀測(cè)噪聲$R$。描述你會(huì)采用的一種參數(shù)估計(jì)方法（如極大似然估計(jì)），并簡(jiǎn)述實(shí)施該方法的步驟。八、設(shè)有一個(gè)簡(jiǎn)單的二階離散狀態(tài)空間模型：$$x_k=\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}x_{k-1}+\begin{bmatrix}\frac{T^2}{2}\\T\end{bmatrix}w_{k-1}$$$$y_k=x_k+v_k$$其中，$w_k\simN(0,1)$,$v_k\simN(0,2)$,$w_k,v_k$互不相關(guān)，$T$是一個(gè)已知常數(shù)。請(qǐng)建立該模型的Kalman濾波器，即推導(dǎo)出濾波預(yù)測(cè)和更新公式。試卷答案一、狀態(tài)空間模型由兩部分組成：狀態(tài)方程$x_k=Fx_{k-1}+Gw_{k-1}$和觀測(cè)方程$y_k=Hx_k+v_k$。其中，狀態(tài)向量$x_k$表示系統(tǒng)在時(shí)刻$k$的內(nèi)部狀態(tài)，$w_{k-1}$和$v_k$分別是過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲，$F$和$H$是系統(tǒng)矩陣和觀測(cè)矩陣。其優(yōu)勢(shì)在于能夠顯式地表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程（通過(guò)狀態(tài)方程）和觀測(cè)方式（通過(guò)觀測(cè)方程），并且可以將復(fù)雜的非線性、非高斯系統(tǒng)通過(guò)恰當(dāng)?shù)木€性化或擴(kuò)展（如EKF）轉(zhuǎn)化為線性高斯模型進(jìn)行處理，從而利用成熟的Kalman濾波等最優(yōu)估計(jì)技術(shù)。它提供了一種統(tǒng)一的框架來(lái)建模和估計(jì)具有隨機(jī)干擾的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。二、高斯-馬爾可夫模型成立的條件主要包括：1.狀態(tài)過(guò)程是馬爾可夫過(guò)程，即當(dāng)前狀態(tài)只依賴于過(guò)去的狀態(tài)，與更早的狀態(tài)無(wú)關(guān)。2.過(guò)程噪聲$w_k$和觀測(cè)噪聲$v_k$是零均值的。3.過(guò)程噪聲$w_k$和觀測(cè)噪聲$v_k$是具有常數(shù)方差的白噪聲序列，即$\mathbb{E}[w_k]=0$,$\mathbb{E}[v_k]=0$,$\text{Cov}(w_k,w_j)=Q\delta_{kj}$,$\text{Cov}(v_k,v_j)=R\delta_{kj}$,$\text{Cov}(w_k,v_j)=0$。4.初始狀態(tài)$x_0$服從高斯分布，且與噪聲序列$w_k,v_k$互不相關(guān)。在這些條件下，根據(jù)線性最小方差估計(jì)理論，Kalman濾波器能夠提供狀態(tài)$x_k$的最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)（OLME）。最優(yōu)性體現(xiàn)在它提供了在所有線性無(wú)偏估計(jì)中方差最小的估計(jì)；線性體現(xiàn)在濾波方程是線性的；無(wú)偏體現(xiàn)在估計(jì)的期望值等于真實(shí)狀態(tài)值。三、1.預(yù)測(cè)步驟：預(yù)測(cè)狀態(tài)：$\hat{x}_k^-=\Phi\hat{x}_{k-1}+\Gammaw_{k-1}$（其中$\Gamma=\PhiP_{k-1}\Phi^T+Q$）預(yù)測(cè)協(xié)方差：$P_k^-=\PhiP_{k-1}\Phi^T+Q$（注意：標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)下，$w_{k-1}$的估計(jì)值為0，故$\hat{x}_k^-=\Phi\hat{x}_{k-1}+\Gamma0=\Phi\hat{x}_{k-1}$，$\Gamma$實(shí)際上簡(jiǎn)化為$\PhiP_{k-1}\Phi^T+Q$）更新步驟：更新?tīng)顟B(tài)：$\hat{x}_k=\hat{x}_k^-+K_k(y_k-H\hat{x}_k^-)$更新協(xié)方差：$P_k=(I-K_kH)P_k^-$（其中$K_k=P_k^-H^TR^{-1}$為濾波增益）2.濾波增益$K_k=P_k^-H^TR^{-1}$表示在更新步驟中，觀測(cè)信息$y_k$對(duì)狀態(tài)估計(jì)$\hat{x}_k$的貢獻(xiàn)權(quán)重。它由兩部分決定：預(yù)測(cè)狀態(tài)的不確定性（通過(guò)$P_k^-$體現(xiàn)，越大則權(quán)重越大）和觀測(cè)信息的不確定性（通過(guò)$R^{-1}$體現(xiàn)，越大則權(quán)重越大）。直觀上，如果預(yù)測(cè)非常不準(zhǔn)（$P_k^-$很大），或者觀測(cè)非常準(zhǔn)確（$R$很?。敲从^測(cè)信息對(duì)修正狀態(tài)估計(jì)的影響就越大，濾波增益就越高。四、1.可能的原因：*觀測(cè)模型$H$不正確，導(dǎo)致觀測(cè)向量與真實(shí)狀態(tài)向量的關(guān)系被錯(cuò)誤描述。*觀測(cè)噪聲協(xié)方差$R$估計(jì)不準(zhǔn)確，過(guò)高或過(guò)低都會(huì)影響濾波增益和殘差特性。*過(guò)程噪聲協(xié)方差$Q$估計(jì)不準(zhǔn)確，影響預(yù)測(cè)步的誤差傳播。*模型本身是非線性的，而使用了線性濾波器（如標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波），導(dǎo)致非線性項(xiàng)的影響未被有效處理。*存在未建模的干擾或相關(guān)噪聲。2.殘差分析診斷與修正：*計(jì)算并分析濾波殘差序列$z_k=y_k-H\hat{x}_k^-$的統(tǒng)計(jì)特性，如均值、方差和自相關(guān)性。對(duì)于理想的高斯線性模型，殘差應(yīng)近似為均值為0、方差為$R$的白噪聲序列。*如果殘差自相關(guān)顯著，表明模型可能不合適或參數(shù)估計(jì)有誤。*可以進(jìn)行殘差白化等處理，進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ图僭O(shè)。*修正措施：檢查并修正觀測(cè)矩陣$H$；重新評(píng)估并修正噪聲協(xié)方差$R$和$Q$的估計(jì)值；如果存在非線性，考慮使用EKF、UKF或粒子濾波等非線性濾波方法；檢查是否存在未建模的干擾源。五、擴(kuò)展Kalman濾波器（EKF）處理非線性狀態(tài)空間模型的基本思想是：在需要進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的每個(gè)時(shí)間步$k$，選擇當(dāng)前的最優(yōu)估計(jì)狀態(tài)$\hat{x}_k^-$作為非線性函數(shù)$f(x)$和$H$的局部線性化點(diǎn)。通過(guò)將非線性狀態(tài)方程$x_k=f(x_{k-1})+w_{k-1}$在$\hat{x}_{k-1}$處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，并保留一階項(xiàng)，近似得到一個(gè)線性化模型。然后，將這個(gè)線性化模型應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波的框架中，得到EKF的預(yù)測(cè)和更新公式。EKF的主要局限性在于其線性化近似的有效性依賴于非線性函數(shù)的局部特性，如果非線性較強(qiáng)，近似誤差可能很大，導(dǎo)致濾波性能嚴(yán)重下降（如發(fā)散）。此外，EKF對(duì)參數(shù)估計(jì)誤差也比較敏感。六、短期預(yù)測(cè)主要關(guān)注利用最新的觀測(cè)信息$y_L$和當(dāng)前的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)$\hat{x}_L$來(lái)預(yù)測(cè)下一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)。預(yù)測(cè)值通常直接基于狀態(tài)方程，即$\hat{x}_{L+1}=\Phi\hat{x}_L$。預(yù)測(cè)誤差方差則主要取決于過(guò)程噪聲協(xié)方差$Q$和從$L$時(shí)刻到$L+1$時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性，通常為$\text{Var}(\hat{x}_{L+1}-x_{L+1})=\PhiP_L\Phi^T+Q$。長(zhǎng)期預(yù)測(cè)則需要考慮從當(dāng)前時(shí)刻$L$開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移和觀測(cè)更新后的狀態(tài)不確定性累積。預(yù)測(cè)值$\hat{x}_{L+N}$通常可以通過(guò)遞歸應(yīng)用狀態(tài)方程$N$步得到，即$\hat{x}_{L+N}=\Phi^N\hat{x}_L$。長(zhǎng)期預(yù)測(cè)誤差方差則會(huì)顯著增大，因?yàn)樗粌H包含初始狀態(tài)誤差方差$P_L$，還累積了所有未來(lái)步驟的過(guò)程噪聲影響，其計(jì)算通常比較復(fù)雜，涉及到$\Phi^T,\Phi$等矩陣的冪次及其與$P_L,Q$的組合，最終方差為$\text{Var}(\hat{x}_{L+N}-x_{L+N})=\Phi^T\Sigma_L\Phi$，其中$\Sigma_L$是一個(gè)由$P_L$和$Q$通過(guò)遞歸關(guān)系決定的矩陣，反映了長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的總誤差。七、可采用極大似然估計(jì)（MLE）來(lái)估計(jì)觀測(cè)噪聲協(xié)方差$R$。步驟如下：1.基于模型和已知的$x_0$的先驗(yàn)分布（如果提供），推導(dǎo)出濾波器參數(shù)（狀態(tài)協(xié)方差$P_k$）的遞歸表達(dá)式。2.利用實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)$y_1,y_2,\dots,y_T$和模型參數(shù)（$\Phi,\frac{T^2}{2},T,Q=1$），運(yùn)行Kalman濾波算法，計(jì)算得到每個(gè)時(shí)刻$k=1,\dots,T$的狀態(tài)估計(jì)$\hat{x}_k$和狀態(tài)協(xié)方差$P_k$。3.根據(jù)Kalman濾波理論，在給定狀態(tài)估計(jì)$\hat{x}_k$的情況下，觀測(cè)值$y_k$的條件分布是高斯分布$N(H\hat{x}_k,R)$。因此，整個(gè)觀測(cè)序列的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：$$\lnp(y_1,\dots,y_T|\Phi,T,Q,R)=-\sum_{k=1}^T\left[\frac{T}{2}\ln(2\pi)+\frac{T}{2}\ln|P_k|+\frac{Ty_k^2}{R}-\frac{Ty_k^2}{HP_k^-H^T+R}\right]$$其中$P_k^-$是濾波預(yù)測(cè)協(xié)方差。4.對(duì)數(shù)似然函數(shù)關(guān)于$R$是凹的，因此其最大值即為最大似然估計(jì)$\hat{R}_{MLE}$。5.求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零，得到$\hat{R}_{MLE}$的表達(dá)式。經(jīng)過(guò)推導(dǎo)（需要矩陣求導(dǎo)知識(shí)），最終得到：$$\hat{R}_{MLE}=\frac{1}{T}\sum_{k=1}^T\frac{Ty_k^2}{HP_k^-H^T+T}$$或者更精確的表達(dá)式涉及$P_k^-$和$P_k$的組合，但上述形式是直觀推導(dǎo)的核心。6.計(jì)算上述表達(dá)式的值，即為觀測(cè)噪聲協(xié)方差$R$的極大似然估計(jì)值。八、建立Kalman濾波器：1.預(yù)測(cè)步驟：*預(yù)測(cè)狀態(tài)：$$\hat{x}_k^-=\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{k-1}^{(1)}\\x_{k-1}^{(2)}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{T^2}{2}\\T\end{bmatrix}w_{k-1}=\begin{bmatrix}x_{k-1}^{(1)}+Tx_{k-1}^{(2)}+\frac{T^2}{2}w_{k-1}\\x_{k-1}^{(2)}+Tw_{k-1}\end{bmatrix}$$（其中$x_k=\begin{bmatrix}x_k^{(1)}\\x_k^{(2)}\end{bmatrix}$）*預(yù)測(cè)協(xié)方差：$$P_k^-=\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P_{k-1}^{(1,1)}&P_{k-1}^{(1,2)}\\P_{k-1}^{(2,1)}&P_{k-1}^{(2,2)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}^T+\begin{bmatrix}\frac{T^2}{2}\\T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{T^2}{2}&T\end{bmatrix}+Q$$$$=\begin{bmatrix}P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+T^2P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}&P_{k-1}^{(1,2)}+TP_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^3}{2}\\P_{k-1}^{(2,1)}+2TP_{k-1}^{(2,2)}+T^2P_{k-1}^{(2,2)}+TQ&P_{k-1}^{(2,2)}+T^2Q\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{T^4}{4}&\frac{T^3}{2}\\\frac{T^3}{2}&T^2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$$$$=\begin{bmatrix}P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}&P_{k-1}^{(1,2)}+TP_{k-1}^{(2,2)}+(\frac{T^3}{2}+\frac{T^3}{2})\\P_{k-1}^{(2,1)}+2TP_{k-1}^{(2,2)}+(T^2+T)P_{k-1}^{(2,2)}+(\frac{T^3}{2}+T)&P_{k-1}^{(2,2)}+(T^2+1)Q\end{bmatrix}$$（其中$Q=I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$）$$=\begin{bmatrix}P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}&P_{k-1}^{(1,2)}+TP_{k-1}^{(2,2)}+T^3\\P_{k-1}^{(2,1)}+2TP_{k-1}^{(2,2)}+(2T^2+T)P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{3T^3}{2}&P_{k-1}^{(2,2)}+(T^2+1)\end{bmatrix}$$（令$P_{k-1}^{(i,j)}=\text{Cov}(x_{k-1}^{(i)},x_{k-1}^{(j)})$）2.更新步驟：*觀測(cè)矩陣：$H=I=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}$（假設(shè)觀測(cè)只測(cè)量第一個(gè)分量）*濾波增益：$$S_k=HP_k^-H^T+R=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}&P_{k-1}^{(1,2)}+TP_{k-1}^{(2,2)}+T^3\\P_{k-1}^{(2,1)}+2TP_{k-1}^{(2,2)}+(2T^2+T)P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{3T^3}{2}&P_{k-1}^{(2,2)}+(T^2+1)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+R$$$$=P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}+\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$$$$=P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}+1$$$$S_k=P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}+1$$（其中$R=I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$）*濾波增益：$K_k=P_k^-H^TS_k^{-1}$$$K_k=\begin{bmatrix}P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}&P_{k-1}^{(1,2)}+TP_{k-1}^{(2,2)}+T^3\\P_{k-1}^{(2,1)}+2TP_{k-1}^{(2,2)}+(2T^2+T)P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{3T^3}{2}&P_{k-1}^{(2,2)}+(T^2+T)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\left(P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}+1\right)^{-1}$$$$K_k=\frac{1}{P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}+1}\begin{bmatrix}P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}\\P_{k-1}^{(2,1)}+2TP_{k-1}^{(2,2)}+(2T^2+T)P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{3T^3}{2}\end{bmatrix}$$*更新?tīng)顟B(tài)：$\hat{x}_k=\hat{x}_k^-+K_k(y_k-H\hat{x}_k^-)$$$\hat{x}_k=\begin{bmatrix}x_{k-1}^{(1)}+Tx_{k-1}^{(2)}+\frac{T^2}{2}w_{k-1}\\x_{k-1}^{(2)}+Tw_{k-1}\end{bmatrix}+K_k(y_k-\hat{x}_k^-)$$$$=\begin{bmatrix}x_{k-1}^{(1)}+Tx_{k-1}^{(2)}+\frac{T^2}{2}w_{k-1}\\x_{k-1}^{(2)}+Tw_{k-1}\end{bmatrix}+\frac{1}{P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}+1}\begin{bmatrix}P_{k-1}^{(1,1)}+2TP_{k-1}^{(1,2)}+(T^2+\frac{T^4}{4})P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{T^4}{4}\\P_{k-1}^{(2,1)}+2TP_{k-1}^{(2,2)}+(2T^2+T)P_{k-1}^{(2,2)}+\frac{3T^3}{2}\end{bmatrix}(y_k-(x_