2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——差分方程在計(jì)算機(jī)模擬中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.下列差分方程中，一階差分方程是（）。(A)y(n+2)-3y(n+1)+2y(n)=n(B)2y(n+3)-y(n)=sin(nπ/2)(C)y(n)-y(n-1)=2^n(D)3Δy(n)+y(n)=n2.差分方程y(n+1)-5y(n)=0的通解是（）。(A)y(n)=C(B)y(n)=C(5^n)(C)y(n)=Cn(D)y(n)=C+n3.已知差分方程y(n+1)-2y(n)=1，且y(0)=1，則y(2)的值是（）。(A)2(B)3(C)4(D)54.在計(jì)算機(jī)模擬中，使用差分方程Y(k+1)=Y(k)+ΔY(k)來(lái)模擬某物理量隨時(shí)間的變化，其中ΔY(k)表示單位時(shí)間的變化量。若初始值為Y(0)，則模擬3個(gè)時(shí)間單位后的量Y(3)表達(dá)式為（）。(A)Y(0)+3ΔY(k)(B)Y(0)+ΔY(0)+ΔY(1)+ΔY(2)(C)Y(0)+3ΔY(3)(D)Y(0)+ΔY(k)5.建立描述一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)等待隊(duì)列長(zhǎng)度的差分方程模型時(shí)，通常將（）作為狀態(tài)變量。(A)系統(tǒng)中顧客的總數(shù)(B)等待隊(duì)列中的顧客數(shù)量(C)服務(wù)臺(tái)忙閑狀態(tài)(D)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。）6.差分方程5y(n+2)-6y(n+1)+y(n)=0的階數(shù)為_(kāi)______。7.若差分方程y(n+1)-ay(n)=b是一個(gè)一階線性非齊次差分方程，則其通解形式為_(kāi)______+y_h(n)，其中y_h(n)是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解。8.在用計(jì)算機(jī)模擬離散事件系統(tǒng)時(shí)，差分方程通常用于_______類型的系統(tǒng)，特別是當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量在離散的時(shí)間點(diǎn)發(fā)生變化時(shí)。9.若某模擬程序根據(jù)差分方程Y(n+1)=1.1Y(n)運(yùn)行，初始值Y(0)=100，則該程序模擬了某個(gè)量每單位時(shí)間增長(zhǎng)10%的過(guò)程。運(yùn)行10次（即模擬10個(gè)單位時(shí)間）后，輸出的Y(10)理論計(jì)算值為_(kāi)______。10.為了用計(jì)算機(jī)求解差分方程y(n+2)+y(n)=n，可以將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一階差分方程組，例如：令u(n)=y(n)，v(n)=y(n+1)，則可得到方程組_______和_______。三、計(jì)算題（本大題共3小題，共35分。）11.（10分）求解差分方程y(n+2)-4y(n+1)+3y(n)=0，并求滿足初始條件y(0)=2,y(1)=1的特解。12.（12分）求解差分方程y(n+1)-y(n)=2^n，并求滿足初始條件y(0)=1的特解。13.（13分）考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的庫(kù)存模型，假設(shè)某商品的需求量在每個(gè)周期內(nèi)相對(duì)穩(wěn)定，但庫(kù)存補(bǔ)充存在時(shí)間延遲。設(shè)y(n)為第n周期的庫(kù)存量，d為常數(shù)需求率，L為補(bǔ)貨提前期（即第n周期初的訂單在第n+L周期才能到貨）。假設(shè)初始庫(kù)存為y(0)，且在n=0時(shí)補(bǔ)充了Q量的商品。建立描述此庫(kù)存動(dòng)態(tài)變化的差分方程模型，并簡(jiǎn)述其含義。四、建模與應(yīng)用題（本大題共2小題，共30分。）14.（15分）模擬一個(gè)簡(jiǎn)單的銀行隊(duì)列系統(tǒng)。假設(shè)顧客按均勻分布到達(dá)，平均每5分鐘到達(dá)一位顧客（到達(dá)間隔Δt=5分鐘），服務(wù)時(shí)間服從均值為4分鐘的負(fù)指數(shù)分布（用差分方程近似模擬）。初始時(shí)刻（n=0）銀行內(nèi)無(wú)顧客，服務(wù)臺(tái)空閑。請(qǐng)建立該系統(tǒng)的差分方程模型（可簡(jiǎn)化假設(shè)服務(wù)時(shí)間固定或用差分方程近似服務(wù)過(guò)程），并描述如何利用計(jì)算機(jī)程序（如偽代碼或流程圖描述）實(shí)現(xiàn)該模擬過(guò)程。假設(shè)模擬運(yùn)行20個(gè)時(shí)間單位（即100分鐘）。15.（15分）一個(gè)農(nóng)場(chǎng)主考慮兩種策略種植作物：策略A投入成本高但產(chǎn)出率高；策略B投入成本低但產(chǎn)出率低。設(shè)F(n)為第n年采用策略A時(shí)的作物產(chǎn)出（單位：噸/公頃），G(n)為第n年采用策略B時(shí)的作物產(chǎn)出。模型簡(jiǎn)化為：若第n年采用策略A，則第n+1年仍采用策略A的概率為p_A，轉(zhuǎn)用策略B的概率為1-p_A；若第n年采用策略B，則第n+1年轉(zhuǎn)用策略A的概率為p_B，仍采用策略B的概率為1-p_B。初始年份（n=0）農(nóng)場(chǎng)主隨機(jī)選擇一種策略（設(shè)概率均等）。請(qǐng)建立一個(gè)差分方程組模型來(lái)描述農(nóng)場(chǎng)主策略選擇的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。解釋模型中各變量的含義以及方程的建立依據(jù)。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.B4.B5.B二、填空題6.一7.C*n^k(或C*a^n)(k為常數(shù)，a不為0)8.離散事件(或DiscreteEvent)9.100*1.1^1010.v(n+1)=u(n+2),u(n+1)=v(n)+n(或v(n+1)=u(n+2),u(n+1)=v(n))三、計(jì)算題11.解：*特征方程：r^2-4r+3=0，解得r1=1,r2=3。*通解：y_h(n)=C1*1^n+C2*3^n=C1+C2*3^n。*齊次解：y_h(n)=C1+C2*3^n。*由于0不是特征根，設(shè)特解Y_p(n)=A。代入原方程：(A)-4(A)+3(A)=0=>0=0。此假設(shè)不合適，需修正。因非齊次項(xiàng)為常數(shù)1，對(duì)于r=0不是特征根的情況，設(shè)Y_p(n)=An+B。*代入Y_p(n)=An+B：[A(n+1)+B]-4[An+B]+3[An+B]=1=>A(n+1)-3AB=1=>An+A-3AB=1。*比較系數(shù)：A=0,A-3AB=1=>-3AB=1=>B=-1/A。因A=0，此方法失敗。重新設(shè)Y_p(n)=A。代入：(A)-4(A)+3(A)=1=>0=1。錯(cuò)誤。*正確方法：對(duì)于r=0不是特征根的情況，設(shè)Y_p(n)=An+B。代入：(An+B)-4(An+B)+3(An+B)=1=>A-3B=1。令B=0，則A=1/3。故特解Y_p(n)=(1/3)n。*通解：y(n)=y_h(n)+Y_p(n)=C1+C2*3^n+(1/3)n。*代入初始條件：*y(0)=C1+C2*3^0+(1/3)*0=C1+C2=2。*y(1)=C1+C2*3^1+(1/3)*1=C1+3C2+1/3=1。*聯(lián)立方程：*C1+C2=2(1)*C1+3C2+1/3=1(2)*(2)-(1):2C2+1/3=-1=>2C2=-1-1/3=-4/3=>C2=-2/3。*代入(1):C1-2/3=2=>C1=8/3。*特解：y(n)=(8/3)+(-2/3)*3^n+(1/3)n=(8/3)-(2/3)*3^n+(1/3)n=(8/3)+(1/3)n-2n。*答案：y(n)=(8/3)+(1/3)n-2n12.解：*齊次方程：y(n+1)-y(n)=0。特征方程：r-1=0=>r=1。*齊次解：y_h(n)=C*1^n=C。*非齊次方程：y(n+1)-y(n)=2^n。因1是特征根，設(shè)特解Y_p(n)=A*2^n。*代入：A*2^(n+1)-A*2^n=2^n=>2A*2^n-A*2^n=2^n=>A(2-1)=1=>A=1。*特解：Y_p(n)=2^n。*通解：y(n)=y_h(n)+Y_p(n)=C+2^n。*代入初始條件：y(0)=C+2^0=C+1=1=>C=0。*答案：y(n)=2^n13.解：*模型建立：*定義狀態(tài)變量：y(n)表示第n周期初的庫(kù)存量。*分析庫(kù)存變化：第n周期初的庫(kù)存y(n)減去該周期的需求量d，得到第n周期末的庫(kù)存。*分析補(bǔ)充：第n周期初下訂單，第n+L周期末（即第n+L+1周期初）貨物到達(dá)。因此，第n+L+1周期初的庫(kù)存y(n+L+1)應(yīng)加上本次補(bǔ)充量Q。*差分方程：庫(kù)存的變動(dòng)=到達(dá)的補(bǔ)充-當(dāng)期的消耗。*y(n+L+1)=y(n+L)+Q-d。*由于y(n+L)是第n+L周期初的庫(kù)存，即第n周期末的庫(kù)存，可以表示為y(n)-d。所以，y(n+L+1)=[y(n)-d]+Q-d=y(n)+Q-2d。*方程：y(n+L+1)=y(n)+Q-2d。*含義解釋：*該模型描述了庫(kù)存量在考慮需求消耗和有延遲的補(bǔ)充情況下的動(dòng)態(tài)變化。*y(n)是第n周期初的庫(kù)存水平。*Q是每批補(bǔ)充的固定數(shù)量。*d是每個(gè)周期的固定需求量。*L是補(bǔ)貨提前期（以周期數(shù)計(jì)）。*方程表明，下一批補(bǔ)貨到達(dá)時(shí)（經(jīng)過(guò)L+1個(gè)周期后），當(dāng)前庫(kù)存應(yīng)加上補(bǔ)充量Q，同時(shí)扣除在此期間（L+1個(gè)周期）的總需求量(L+1)d。簡(jiǎn)化為當(dāng)前庫(kù)存加上凈補(bǔ)充量(Q-2d)。四、建模與應(yīng)用題14.解：*差分方程模型：*設(shè)X(n)為第n個(gè)5分鐘時(shí)間段內(nèi)（即n=0代表0-5分鐘，n=1代表5-10分鐘，...）隊(duì)列中等待的顧客數(shù)量。*假設(shè)顧客到達(dá)是均勻分布，平均5分鐘一人，可簡(jiǎn)化為每個(gè)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)概率相同。更合理的模型是泊松到達(dá)，但用差分方程模擬時(shí)，常簡(jiǎn)化為每段時(shí)間內(nèi)至多到達(dá)一個(gè)顧客（對(duì)于小時(shí)間間隔或離散模擬）。*模型1(至多到達(dá)1人)：*X(0)=0(初始無(wú)顧客)。*X(n+1)=X(n)+A-B。其中A=1表示該時(shí)段內(nèi)到達(dá)一個(gè)顧客，B表示該時(shí)段內(nèi)服務(wù)完一個(gè)顧客。*服務(wù)時(shí)間均值為4分鐘，即每5分鐘內(nèi)服務(wù)完成的概率為4/5。若簡(jiǎn)化為每時(shí)段至多服務(wù)一個(gè)，則B=1表示該時(shí)段服務(wù)完成。這與A=1的簡(jiǎn)化模型矛盾。更合理的簡(jiǎn)化是：X(n+1)=X(n)+A-S(n)，其中S(n)=1表示該時(shí)段服務(wù)完成，S(n)=0表示未完成。此時(shí)A=1,B=1(B是服務(wù)成功的概率，這里簡(jiǎn)化為事件發(fā)生概率)。*但需考慮服務(wù)時(shí)間。若用差分方程近似，可設(shè)服務(wù)時(shí)間T服從均值為4的負(fù)指數(shù)分布，其差分方程近似為T(n)=T(n-1)+Δt-s(n)，其中s(n)=1表示服務(wù)該時(shí)段。則X(n+1)=X(n)+A-s(n)。但這樣模型復(fù)雜。*更常用的簡(jiǎn)化是在每個(gè)時(shí)間步（Δt=5），根據(jù)服務(wù)臺(tái)狀態(tài)更新隊(duì)列：*若服務(wù)臺(tái)忙(忙=1)，則隊(duì)列數(shù)減1(若隊(duì)列>0)，否則不變。*若服務(wù)臺(tái)閑(閑=0)，則隊(duì)列數(shù)加1(若到達(dá))。*但這需要引入服務(wù)臺(tái)狀態(tài)變量。差分方程直接模擬服務(wù)過(guò)程較困難。*模型2(隊(duì)列增長(zhǎng)/減少量固定)：*假設(shè)每個(gè)時(shí)間步（5分鐘）內(nèi)最多到達(dá)1人(A=1)。*假設(shè)服務(wù)時(shí)間固定為4分鐘(服務(wù)一個(gè)顧客)，則每5分鐘服務(wù)完成一個(gè)顧客(B=1，表示該時(shí)間步服務(wù)成功)。*則差分方程為：X(n+1)=X(n)+A-B=X(n)+1-1=X(n)。*模型簡(jiǎn)化為：X(n+1)=X(n)，X(0)=0。*含義：在此簡(jiǎn)化模型下，隊(duì)列長(zhǎng)度在每個(gè)5分鐘時(shí)間段內(nèi)保持不變。這與假設(shè)顧客到達(dá)和服務(wù)都按固定速率進(jìn)行（每個(gè)5分鐘到達(dá)1人，服務(wù)4分鐘完成）一致。此模型過(guò)于簡(jiǎn)化，未能體現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)。*模型3(混合簡(jiǎn)化)：*假設(shè)每個(gè)時(shí)間步（5分鐘）內(nèi)最多到達(dá)1人(A=1)。*假設(shè)服務(wù)時(shí)間固定為4分鐘(服務(wù)一個(gè)顧客)，則每5分鐘服務(wù)完成一個(gè)顧客(B=1)。*但初始時(shí)刻(n=0)隊(duì)列為0，第一個(gè)時(shí)間步(n=0)到達(dá)1人，服務(wù)臺(tái)空閑，服務(wù)完成。下一個(gè)時(shí)間步(n=1)隊(duì)列為0，到達(dá)1人，服務(wù)臺(tái)空閑，服務(wù)完成...。即隊(duì)列長(zhǎng)度在0和1之間交替。*差分方程：X(n+1)=X(n)+A-B=X(n)+1-1=X(n)。*但初始行為不同：X(1)=X(0)+1-1=0+1-1=0。X(2)=X(1)+1-1=0+1-1=0...看起來(lái)還是X(n)=0。*模型簡(jiǎn)化為：X(n+1)=X(n)，X(0)=0。隊(duì)列長(zhǎng)度恒為0。這顯然不符合模擬目的。*結(jié)論：直接用線性差分方程精確模擬帶有隨機(jī)服務(wù)時(shí)間的隊(duì)列系統(tǒng)比較困難。更典型的模擬方法是用離散事件模擬或馬爾可夫鏈。若限定只能用差分方程，可能需要極大簡(jiǎn)化。此處采用模型2，雖然不精確，但提供了一個(gè)差分方程框架。*方程：X(n+1)=X(n)，X(0)=0。*計(jì)算機(jī)模擬描述：*初始化：設(shè)置時(shí)間步Δt=5分鐘，模擬總時(shí)間T=20*Δt=100分鐘，設(shè)置隊(duì)列狀態(tài)變量X(0)=0，設(shè)置服務(wù)臺(tái)狀態(tài)變量busy(0)=0(初始空閑)。*循環(huán)：對(duì)于n從0到19(模擬20個(gè)時(shí)間步)：*如果busy(n)==0(服務(wù)臺(tái)空閑)：*X(n+1)=X(n)+1(新顧客到達(dá)，加入隊(duì)列)。*busy(n+1)=1(服務(wù)臺(tái)變?yōu)槊?。*否則(busy(n)==1，服務(wù)臺(tái)忙)：*X(n+1)=X(n)(顧客正在被服務(wù)，隊(duì)列長(zhǎng)度不變)。*busy(n+1)=0(服務(wù)完成，服務(wù)臺(tái)變?yōu)榭臻e)。*(此模擬忽略了顧客到達(dá)和服務(wù)時(shí)間的隨機(jī)性，是極大簡(jiǎn)化)*統(tǒng)計(jì)：記錄每個(gè)時(shí)間步n的隊(duì)列長(zhǎng)度X(n)。*輸出：打印或記錄0到19時(shí)間步的隊(duì)列長(zhǎng)度X(n)。15.解：*差分方程組模型：*定義狀態(tài)變量：*F(n)：第n年采用策略A時(shí)的作物產(chǎn)出（或可理解為采用策略A的概率）。*G(n)：第n年采用策略B時(shí)的作物產(chǎn)出（或可理解為采用策略B的概率）。*分析狀態(tài)轉(zhuǎn)移：*如果第n年采用策略A，則第n