2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——矩陣分析對線性代數(shù)的深入理解考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分）1.下列哪個選項中的矩陣是可逆的？(A)\(\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\)(B)\(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)(C)\(\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}\)(D)\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)2.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的轉(zhuǎn)置矩陣\(A^T\)是：(A)\(\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)(B)\(\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}\)(C)\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)(D)\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)3.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的行列式\(\det(A)\)是：(A)-2(B)2(C)-5(D)54.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的特征值是：(A)1,2(B)-1,-2(C)5,-3(D)3,15.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)是否可對角化？(A)可對角化(B)不可對角化6.線性方程組\(Ax=b\)有唯一解的條件是：(A)\(A\)是奇異矩陣(B)\(A\)是非奇異矩陣(C)\(b\)是零向量(D)\(A\)是正定矩陣7.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)的秩是：(A)1(B)2(C)0(D)38.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣\(A^{-1}\)是：(A)\(\begin{pmatrix}-2&1\\1&-0.5\end{pmatrix}\)(B)\(\begin{pmatrix}2&-1\\-1&0.5\end{pmatrix}\)(C)\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)(D)\(\begin{pmatrix}-1&2\\3&-4\end{pmatrix}\)9.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}\)的跡\(\text{tr}(A)\)是：(A)2(B)3(C)4(D)510.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}\)是否是對稱矩陣？(A)是(B)否二、填空題（每小題3分，共15分）1.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)和\(B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\)的乘積\(AB\)是：2.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的特征向量對應(yīng)的特征值是：3.線性方程組\(Ax=b\)無解的條件是：4.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}\)的伴隨矩陣\(\text{adj}(A)\)是：5.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)的特征多項式是：三、計算題（每小題10分，共30分）1.計算矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)和\(B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\)的乘積\(AB\)和\(BA\)，并比較結(jié)果。2.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的特征值和特征向量。3.解線性方程組\(Ax=b\)，其中\(zhòng)(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)和\(b=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)。四、證明題（每小題12.5分，共25分）1.證明：如果一個矩陣\(A\)是正定矩陣，那么它的特征值都是正數(shù)。2.證明：如果一個矩陣\(A\)是可逆的，那么它的逆矩陣\(A^{-1}\)也是可逆的。五、綜合應(yīng)用題（10分）考慮一個線性系統(tǒng)\(Ax=b\)，其中\(zhòng)(A\)是一個\(3\times3\)的矩陣，\(x\)是一個\(3\times1\)的列向量，\(b\)是一個\(3\times1\)的列向量。已知矩陣\(A\)的特征值為1,2,3，特征向量分別為\(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)，\(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)。求線性系統(tǒng)\(Ax=b\)的解。試卷答案一、選擇題1.(C)2.(A)3.(C)4.(C)5.(A)6.(B)7.(B)8.(A)9.(C)10.(A)二、填空題1.\(\begin{pmatrix}4&6\\8&10\end{pmatrix}\)2.5,-13.\(A\)是奇異矩陣或\(b\)不在\(A\)的列空間中4.\(\begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix}\)5.\(\lambda^2-2\lambda-3\)三、計算題1.解：\(AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot1&1\cdot0+2\cdot3\\3\cdot2+4\cdot1&3\cdot0+4\cdot3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&6\\10&12\end{pmatrix}\)\(BA=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot1+0\cdot3&2\cdot2+0\cdot4\\1\cdot1+3\cdot3&1\cdot2+3\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\10&14\end{pmatrix}\)比較結(jié)果：\(AB\neqBA\)，矩陣乘法不滿足交換律。2.解：特征方程：\(\det(A-\lambdaI)=0\)\(\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\3&4-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(4-\lambda)-6=\lambda^2-5\lambda-2=0\)特征值：\(\lambda=\frac{5\pm\sqrt{25+8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}\)對\(\lambda_1=\frac{5+\sqrt{33}}{2}\)：\((A-\lambda_1I)x=0\)\(\Rightarrow\begin{pmatrix}1-\frac{5+\sqrt{33}}{2}&2\\3&4-\frac{5+\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0\)\(\Rightarrow\begin{pmatrix}\frac{-3-\sqrt{33}}{2}&2\\3&\frac{3-\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0\)取\(x_2=1\)，則\(x_1=-\frac{4}{-3-\sqrt{33}}=\frac{4}{3+\sqrt{33}}\)特征向量：\(x_1=\frac{4}{3+\sqrt{33}}\)，\(x_2=1\)對\(\lambda_2=\frac{5-\sqrt{33}}{2}\)：\((A-\lambda_2I)x=0\)\(\Rightarrow\begin{pmatrix}1-\frac{5-\sqrt{33}}{2}&2\\3&4-\frac{5-\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0\)\(\Rightarrow\begin{pmatrix}\frac{-3+\sqrt{33}}{2}&2\\3&\frac{3+\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=0\)取\(x_2=1\)，則\(x_1=-\frac{4}{-3+\sqrt{33}}=\frac{4}{3-\sqrt{33}}\)特征向量：\(x_1=\frac{4}{3-\sqrt{33}}\)，\(x_2=1\)3.解：行列式\(\det(A)=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\neq0\)，矩陣\(A\)可逆。逆矩陣\(A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}\)\(x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\cdot1+1\cdot1\\1.5\cdot1-0.5\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\)四、證明題1.證明：設(shè)\(A\)是正定矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(x\)是對應(yīng)的特征向量，且\(x\neq0\)。\(Ax=\lambdax\)考慮\(\lambdax^Tx\)：\(\lambdax^Tx=(Ax)^Tx=x^TA^Tx=x^TAx\)（因為\(A\)對稱，\(A^T=A\)）因為\(A\)正定，\(x^TAx>0\)（對于非零向量\(x\)）。所以\(\lambdax^Tx=x^TAx>0\)。因為\(x^Tx\neq0\)，所以\(\lambda>0\)。因此，正定矩陣\(A\)的所有特征值都是正數(shù)。2.證明：假設(shè)矩陣\(A\)可逆，需要證明\(A^{-1}\)也可逆。因為\(A\)可逆，存在矩陣\(A^{-1}\)使得\(AA^{-1}=I\)。左乘\(A^{-1}\)：\(A^{-1}(AA^{-1})=A^{-1}I\)\((A^{-1}A)A^{-1}=A^{-1}\)\(IA^{-1}=A^{-1}\)\(A^{-1}=(A^{-1})^{-1}\)這表明\(A^{-1}\)也是可逆的，其逆矩陣是\(A\)。五、綜合應(yīng)用題解：因為\(A\)的特征值為1,2,3，特征向量分別為\(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)，\(\begin{pmatrix}0\\1\\0\e