高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省八校聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期教學質(zhì)量檢測數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋一枚硬幣100次，有49次正面朝上，則事件“正面朝上”的概率和頻率分別是（）A.0.5，0.5 B.0.51，0.51 C.0.49，0.49 D.0.5，0.49【答案】D【解析】拋一枚硬幣100次，有49次正面朝上，故“正面朝上”的頻率為，每次拋擲硬幣時，正面和反面向上的機會均等，故“正面朝上”的概率為0.5.故選：D.2.如圖，在斜三棱柱中，為的中點，為靠近的三等分點，設，則用表示為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】故選：A.3.在投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗中，事件A表示“向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件B表示“向上的點數(shù)是5或6”，事件C表示“向上的點數(shù)小于5”，則下列說法正確的是（

）A.A與B是對立事件 B.B與C是對立事件C.A與C是互斥事件 D.A與B是互斥事件【答案】B【解析】對于選項A：當向上的點數(shù)為3時，事件A與B同時不發(fā)生，所以A錯誤；對于選項B：事件B與C不能同時發(fā)生，且事件B與C必有一個發(fā)生，所以B正確；對于選項C：當向上的點數(shù)是2或4時，事件A與事件C同時發(fā)生，所以C錯誤；對于選項D：當向上的點數(shù)是6時，事件A與事件B能同時發(fā)生，所以D錯誤.故選：B．4.在空間直角坐標系中，已知點，若點P與點A關于平面對稱，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若點與點關于平面對稱，則其橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標和豎坐標相等．又，則，又，所以，.故選：A.5.已知隨機事件中，與互斥，與對立，且，，則（）A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9【答案】B【解析】由于與對立，，則，又與互斥，，則.故選：B6.在三棱錐中，若，，，則（）A. B.1 C. D.0【答案】B.〖祥解〗結合已知條件根據(jù)數(shù)量積的運算律求解即可.【解析】因為，，，所以故選：B.7.已知是空間的一個單位正交基底，，則空間向量在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為是空間的一個單位正交基底，所以，，則，，所以空間向量在方向上的投影向量為，故選：D.8.如圖，某電子元件由A，B，C三種部件組成，現(xiàn)將該電子元件應用到某研發(fā)設備中，經(jīng)過反復測試，A，B，C三種部件不能正常工作的概率分別為，，，各個部件是否正常工作相互獨立．A，B同時正常工作或C正常工作，則該電子元件能正常工作，那么該電子元件能正常工作的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設上半部分正常工作為事件M，下半部分正常工作為事件N，該電子元件能正常工作為事件E，則，，而，因此，即該電子元件能正常工作的概率是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了關注學生的健康成長，某校開展了一次高一年級的學生身高的抽樣調(diào)查，隨機抽取了100名學生，將他們的身高劃分成了A，B，C，D，E五個層次，根據(jù)抽樣結果得到如下統(tǒng)計圖，則樣本中（）A.身高在A層次中的女生人數(shù)比男生多B.身高在B層次中的人數(shù)最多C.身高在D層次女生，占女生人數(shù)的比例超過15%D.身高在E層次中的男生有3人【答案】BCD【解析】對于A，樣本中女生人數(shù)為人，則樣本中男生人數(shù)為60人，樣本中A層次身高的男生人數(shù)為人，女生人數(shù)為4人，所以，樣本中A層次身高的女生少于男生，A錯誤；對于B，因為男生中B層次的比例最大，女生中B層次的人數(shù)最多，所以樣本中B層次身高人數(shù)最多，B正確；對于C，樣本中D層次身高的女生有8人，占女生人數(shù)的比例為，C正確；對于D，樣本中E層次身高的男生有人，D正確.故選：BCD10.如圖，在棱長為1的正四面體ABCD中，點M，N分別為棱BC，AD的中點，則（）A. B.C.側(cè)棱與底面所成角的余弦值為 D.直線AM與CN所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】由正四面體ABCD，可得，對于A，，則，所以，故A正確；對于B，，則，故B錯誤；對于D，，則，，設直線所成角為，則，所以直線所成角的余弦值為，正弦值為,故D正確；對于C，連接，在上取點，使得，連接，則平面，則即為直線與平面所成角的平面角，在中，，則，由正四面體的結構特征可得，直線與平面所成角的相等，所以側(cè)棱與底面所成角的余弦值為，故C正確.故選：ACD.11.下列說法正確的是（）A.已知事件，若，，且，則B.已知事件，若，且與相互獨立，則C.已知事件，若，，且，則與相互獨立D.某班對學生體重進行抽樣調(diào)查，抽取男生30人，平均數(shù)和方差分別為55，15；女生20人，平均數(shù)和方差分別為45，20，則總體樣本的方差為【答案】ACD【解析】對選項A，因為，所以，則，所以選項A正確；對于選項B，因為與相互獨立，，則，又，所以選項B錯誤；對于選項C，因為，又，則，所以與相互獨立，故選項C正確，對于選項D，樣本總體平均數(shù)，總體樣本的方差為，所以選項D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.現(xiàn)需要對某種疫苗進行檢測，從800支疫苗中抽取60支進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將800支按000，001，…，799進行編號，如果從隨機數(shù)表第7行第10列的數(shù)開始向右讀，依次讀取三位數(shù)，則得到的第4個樣本個體的編號是________.（下面摘取了隨機數(shù)表第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【答案】704【解析】按照所給隨機數(shù)表，依次讀取的個體編號為157，245，506，704，所以得到的第4個樣本個體的編號是704.故答案為：704.13.從裝有3個紅球和2個黑球的盒子中不放回地一次隨機抽取2個球（球除顏色外，其余完全相同），則至少抽到1個黑球的概率為______．【答案】或【解析】設3個紅球分別為，2個黑球分別為，則試驗的樣本空間為，共10個樣本點，選出的2個球中至少有1個黑球包含的樣本點為，共7個，則所求概率為．故答案為：.14.已知向量以為基底時的坐標為，則以為基底時的坐標為______．【答案】【解析】因為向量以為基底時的坐標為，所以．設向量在新基底下的坐標為，則，即則，解得，所以以為基底時的坐標為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟，其中第15題和第19題為選做題，從選做1和選做2中任選一題作答.兩題都答題者以選做1為準.15.已知，，，，，求：（1）的值；（2）與夾角的余弦值.解：（1）因為，所以，解得，，所以，又，則，即，得，于是，則.（2）由（1）得，設與的夾角為，所以，所以與夾角的余弦值為.16.在平面直角坐標系中，已知三點.（1）若直線過點C且與直線AB垂直，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點A，且在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程.解：（1）由，得直線的斜率為，由，得直線的斜率為，所以直線的方程為，即（2）設直線在上的截距為，當時，直線過原點及點，方程為，即；當時，直線的方程為，而直線過點，則，直線的方程為，所以直線的方程為或.17.為弘揚傳統(tǒng)文化，某校舉辦了傳統(tǒng)文化知識競賽，滿分為100分，所有參賽學生的成績都不低于50分．現(xiàn)從中隨機抽取了50名學生的成績，按照，分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計所抽取的50名學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求恰有1人成績在的概率．解：（1）由已知可得，解得，所抽取的名學生成績的平均數(shù)為（分），由于前兩組的頻率之和為，前三組的頻率之和為，所以，中位數(shù)，由題意可得，解得（分）.（2）由（1）可知，后三組中的人數(shù)分別為，故這三組中所抽取的人數(shù)分別為，記成績在這組的名學生分別為，成績在這組的名學生分別為，成績在這組的名學生為，則從中任抽取人的所有可能結果為、、、、、、、、、、、、、、，共種.其中恰有人成績在為、、、、、、、共種.故所求概率為.18.在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為2，且，求：（1）的長；（2）直線和所成角的余弦值.解：（1）如圖，連接，設，，，依題意，而，，所以.（2）連接，，所以，又，，所以，故直線和所成角的余弦值為.19.甲?乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.約定先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.（1）若甲先投，求投籃結束時，乙只投了2個球概率；（2）為使乙獲勝的概率更大，應該由誰首次投籃？解：（1）根據(jù)題意，設，分別表示甲、乙在第次投籃投中，則，，記“投籃結束時乙只投了2個球”為事件C，則．（2）若由甲首次投籃，設“乙獲勝”為事件，則；若由乙首次投籃，記“乙獲勝”為事件E，則.因為，所以為使乙獲勝的概率更大，應該由乙首次投籃.20.如圖，在直三棱柱中，，，，是的中點.（1）求證：；（2）為線段上的動點，則是否存在使得平面？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若為中點，為的重心，為上一點，且，過作任一平面分別交、、于、、，若，，，求證：為定值.（1）證明：以為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，，，，則、、、、，是的中點，則，，，，，即.（2）解：假設存在使得平面，由（1）得，，設，其中，則，，因為平面，平面，故，平面，若平面，則只需，解得，，故存在點，使得平面，此時.（3）證明：因為為的重心，則，即，可得，因為為上一點，且，則，因為、、、四點共面，則存在，使得，即，所以，又因為，且、、不共面，由空間向量基本定理可得，因此為定值.21.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，．平面平面分別是棱的中點,分別在線段，上，且．（1）證明：四點共面；（2）證明：平面；（3）設直線與直線交于點，當直線與平面所成角的（1）證明：，分別是棱，的中點，，，,，,,,四點共面．（2）證明：底面ABCD是菱形，，，是等邊三角形，取AB中點為