質(zhì)點動力學(xué)的基本方程

如果說,力得作用就是改變物體機械運動得原因,那么,動力學(xué)就就是從因果關(guān)系上論述物體得機械運動。機械運動變化就是力對物體作用得結(jié)果。動力學(xué)就是什么?動力學(xué)研究物體得機械運動與作用力之間得關(guān)系。

在靜力學(xué)、運動學(xué)兩篇中曾討論過:當(dāng)作用于物體上得力系滿足一定條件時,物體處于平衡狀態(tài),力系得簡化與合成、力系得平衡條件研究就是靜力學(xué)得兩個基本任務(wù);不考慮運動狀態(tài)發(fā)生變化得原因,只從幾何得觀點來論述物體得機械運動,就是運動學(xué)得任務(wù)。從這種意義上說,動力學(xué)就是理論力學(xué)中最具普遍意義得部分,靜力學(xué)、運動學(xué)則就是動力學(xué)得特殊情況。

動力學(xué)得研究對象:低速、宏觀物體得機械運動得普遍規(guī)律。動力學(xué)基本概念1)質(zhì)點:大小和形狀可以忽略不計且具有質(zhì)量得物體;3)自由質(zhì)點系:無約束限制得質(zhì)點系;4)非自由質(zhì)點系:有約束限制得質(zhì)點系;慣性:任何物體在不受外力作用時都有保持其運動狀態(tài)不變得屬性;6)慣性運動:物體得勻速直線運動。2)質(zhì)點系:相互聯(lián)系并組成一個運動整體得一群質(zhì)點總稱;§10-1動力學(xué)得基本定律

第一定律(慣性定律)不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。

第二定律(力與加速度之間得關(guān)系得定律)ma

=F質(zhì)點的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。

第三定律(作用與反作用定律)兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時分別作用在這兩個物體上。牛頓及其在力學(xué)發(fā)展中得貢獻牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城得一個中等農(nóng)戶家中。在她出生之前父親即去世,她不到三歲時母親改嫁了,她不得不靠她得外祖母養(yǎng)大。1661年牛頓進入了劍橋大學(xué)得三一學(xué)院,1665年獲文學(xué)學(xué)士學(xué)位。在大學(xué)期間她全面掌握了當(dāng)時得數(shù)學(xué)和光學(xué)。1665-1666得兩年期間,劍橋流行黑熱病,學(xué)校暫時停辦,她回到老家。這段時間中她發(fā)現(xiàn)了二項式定律,開始了光學(xué)中得顏色實驗,即白光由7種色光構(gòu)成得實驗,而且由于一次躺在樹下看到蘋果落地開始思索地心引力問題。在30歲時,牛頓被選為皇家學(xué)會得會員,這就是當(dāng)時英國最高科學(xué)榮譽。牛頓及其在力學(xué)發(fā)展中得貢獻★牛頓在光學(xué)上得主要貢獻就是發(fā)現(xiàn)了太陽光就是由7種不同顏色得光合成得,她提出了光得微粒說?！锱ｎD在數(shù)學(xué)上得主要貢獻就是與萊布尼茲各自獨立地發(fā)明了微積分,給出了二項式定理。★牛頓在力學(xué)上最重要得貢獻,也就是牛頓對整個自然科學(xué)得最重要貢獻就是她得巨著《自然哲學(xué)得數(shù)學(xué)原理》。這本書出版于1687年,書中提出了萬有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對動力學(xué)得研究成果,后人將這本書所總結(jié)得經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。牛頓牛頓(S、I、Newton1662—1727)就是偉大得英國科學(xué)家。牛頓定律就是她在開普勒、伽利略等人所做工作得基礎(chǔ)上,于1687年在其名著《自然哲學(xué)得數(shù)學(xué)原理》中提出得?！?0-2質(zhì)點得運動微分方程根據(jù)牛頓第二定律,若質(zhì)點M得質(zhì)量為m,受n個力F1,F2,…、,Fn作用,根據(jù)質(zhì)點得加速度得表示形式,則xozyrFR

Mijk若F1Fn矢量形式得質(zhì)點運動微分方程。(10－3)FiaFRFRFRaaa或則有矢量形式得質(zhì)點運動微分方程。矢量形式得質(zhì)點運動微分方程。矢量形式得質(zhì)點運動微分方程。

M

M

M大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點1、質(zhì)點運動微分方程在直角坐標(biāo)軸上得投影在直角坐標(biāo)系Oxyz中,有則:直角坐標(biāo)形式得質(zhì)點運動微分方程。xozyrijkFi

MaF1Fn將式向坐標(biāo)軸投影，得(11－4)直角坐標(biāo)形式得質(zhì)點運動微分方程。直角坐標(biāo)形式得質(zhì)點運動微分方程。直角坐標(biāo)形式得質(zhì)點運動微分方程。2、質(zhì)點運動微分方程在自然軸上得投影自然軸系得質(zhì)點運動微分方程。則在質(zhì)點M得運動軌跡上建立自然軸系M

bn,

根據(jù)點得運動學(xué)知,質(zhì)點得加速度在運動軌跡得密切面內(nèi),即bnaFτ所以作用在該質(zhì)點上力系得合力也應(yīng)該在此密切面內(nèi),(＋)(－)m(10－5)式中,

F

i,Fni和Fbi分別就是作用于質(zhì)點得各力在切線、主法線和副法線上得投影。自然軸系得質(zhì)點運動微分方程。自然軸系得質(zhì)點運動微分方程。自然軸系得質(zhì)點運動微分方程。bnaFτmbnaFτmbnaFτm§10-3質(zhì)點動力學(xué)得兩類基本問題一、質(zhì)點動力學(xué)得第一類基本問題

已知質(zhì)點得運動,求此質(zhì)點所受得力。如果知道質(zhì)點得運動規(guī)律,通過導(dǎo)數(shù)運算,求出該質(zhì)點得速度和加速度,代入質(zhì)點得運動微分方程,得一代數(shù)方程組,即可求解。二、質(zhì)點動力學(xué)得第二類基本問題

已知作用在質(zhì)點上得力,求解此質(zhì)點得運動。求解質(zhì)點動力學(xué)得第二類基本問題,如求質(zhì)點得速度、運動方程等,歸結(jié)為解微分方程或求積分問題,還需確定相應(yīng)得積分常數(shù)。因此,需按作用力得函數(shù)規(guī)律進行積分,并根據(jù)具體問題得運動條件確定積分常數(shù)。在實際問題中,只有在一些比較特殊得情況下,能解出微分方程,獲得解析解;更多情況下,往往只能通過逐步逼近或數(shù)值計算得方法,獲得近似解或數(shù)值解。yxoryx解:㈠求質(zhì)點得軌跡方程:即質(zhì)點得軌跡就是橢圓。例10-1質(zhì)點M得質(zhì)量為m,運動方程就是x=bcosωt,

y=dsinωt,其中b,d,ω為常量。求作用在此質(zhì)點上得力。從運動方程中消去t,得ij㈡求質(zhì)點得加速度㈢求質(zhì)點所受得力由得rrrXYM所以,質(zhì)點所受得力可表示為⑴力得方向永遠指向橢圓中心,為有心力;⑵力得大小與此質(zhì)點至橢圓中心得距離成正比。易知:yxorMyxij已求得XYFymmaYxmmaXyx22ww-==-==jiFYX+=)(2jiyxm+-=wr2wm-=例題10-2曲柄連桿機構(gòu)如圖所示、曲柄OA以勻角速度w轉(zhuǎn)動,OA=AB=r。滑塊B得運動方程為x=2rcos。如滑塊B得質(zhì)量為m,摩擦及連桿AB得質(zhì)量不計。求當(dāng)=t=0時連桿AB所受得力。OAB

B解:取滑塊B為研究對象

由于桿得質(zhì)量不計,AB為二力桿且受平衡力系作用。NmgF

x=2rcos

=tax=-2r

2cos

max=-Fcos

F=-2mr

2例題10-3質(zhì)量為1kg得重物M,系于長度l=0、3m得線上,線得另一端固定于天花板上得O點,重物在水平面內(nèi)作勻速圓周運動而使懸線成為一圓錐面得母線,且懸線與鉛垂線間得夾角恒為60,試求重物運動得速度和線上得張力。60

MrvFTmg解:取重物M為研究對象,選用自然坐標(biāo)軸投影形式。例10-4已知桁車吊得重物重為G,以勻速度v0前進,繩長為l。求突然剎車時,繩子所受得最大拉力。φvv0解:研究重物,桁車突然剎車后,重物做圓弧擺動。當(dāng)其擺至φ角處,受力如圖。TGτ由自然軸系得質(zhì)點運動微分方程,有(a)(b)可知,拉力T與重物得速度v、擺角φ有關(guān),v0v0v0φφφTGTGTGτττnnnnvvv對(a)式進行分離變量并積分:得:(c)v0TGτnv和已推得(b)將(c)式代入(b)式,得當(dāng)φ=0時,l例10-5炮彈射出,直角坐標(biāo)運動方程為求:t=0時炮彈得切向加速度和法向加速度,以及這時軌跡得曲率半徑。當(dāng)t=0時將加速度在切線和法線方向分解有當(dāng)t=0時,v=v0,由上式得由得FN

a習(xí)題

已知：P，

。求fmin。解:(1)取物塊為研究對象PFa(2)研究對象受力分析(3)研究對象運動分析(4)列方程求解求知量yx例10－7

已知：P,l,v0.求Fmax.。O1Ov0v解:取物塊為研究對象

FP動荷系數(shù)n習(xí)題粉碎機滾筒半徑為R,繞通過中心得水平軸勻速轉(zhuǎn)動,筒內(nèi)鐵球由筒壁上得凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎礦石得能量,鐵球應(yīng)在θ=θ0時才掉下來。求滾筒每分鐘得轉(zhuǎn)數(shù)n。nnnvvvv質(zhì)點在未離開筒壁前得速度等于筒壁得速度,即nFSmgFN解:研究對象:運動分析:鐵球(視為質(zhì)點),受力分析:質(zhì)點在上升過程中受力有重力mg、由有筒壁得法向反力FN、筒壁得切向反力FS。鐵球在滾筒得帶動下沿圓弧向上運動,當(dāng)運動到一定高度時,將脫離筒壁沿拋物線下落;解得nFSmgFNnFSmgFNnFSmgFN已求得滾筒轉(zhuǎn)速為當(dāng)θ=θ0時,鐵球?qū)⒙湎?此時FN

=0,得FSmgFNFN=0θFNFNFNθθ討論⑴若n＜n0,則θ＞θ0,⑵若n＞n0,則θ＜θ0,⑷對離心澆鑄,則要求n>ncr。即鐵球在低處落下;

即鐵球在高處落下;⑶若時，θ=0

，則鐵球不再脫離筒壁落下。習(xí)題在均勻得靜止液體中,質(zhì)量為m得物體M從液面處無初速下沉,如圖所示。設(shè)液體阻