2.3等腰三角形的性質(zhì)定理xixix

快速定位題型題型目錄TOC\o"13"\h\z\u【題型1】用定義判定等腰三角形 5【題型2】根據(jù)等角對(duì)等邊判定等腰三角形 10【題型3】等腰三角形的性質(zhì)與判定 13【題型4】等邊三角形的判定和性質(zhì) 18xixxix

夯實(shí)必備知識(shí)新知梳理【知識(shí)點(diǎn)1】等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．1.（2025春?涇陽(yáng)縣期末）等腰三角形的一個(gè)角是70°，則它的底角度數(shù)是（）A．55°B．70°C．70°或55°D．70°或40°【答案】C【分析】先分頂角為70°和底角為70°兩種情況，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：當(dāng)它的頂角為70°時(shí)，它的頂角度數(shù)為：（180°70°）÷2=55°；當(dāng)它的底角為70°時(shí)，它的頂角度數(shù)為：180°2×70°=40°；∴它的底角度數(shù)是55°或70°．故選：C．2.（2024秋?譙城區(qū)期末）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和高．若AB=AC，∠ACE=32°，則∠BAD的度數(shù)為（）A．32°B．29°C．28°D．25°【答案】B【分析】根據(jù)CE分別是△ABC的高求出CE⊥AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BAC=58°，再根據(jù)“等腰三角形底邊上的中線、頂角平分線重合”求解即可．【解答】解：∵CE是△ABCDE的高，∴CE⊥AB，∴∠BAC+∠ACE=90°，∵∠ACE=32°，∴∠BAC=58°，∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC∴∠BAD=29°，故選：B．【知識(shí)點(diǎn)2】等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．1.（2024?浙江模擬）如圖，D是等邊三角形ABC的邊AC上一點(diǎn)，作AE⊥BD于點(diǎn)E，若BC=7，∠AEC=150°，則CD的長(zhǎng)為（）A．3B．5C．7D．7【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CE，使EG=AE，作CF⊥BD．根據(jù)三角形全等的判定以及三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CE，使EG=AE，作CF⊥BD，交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵∠AEC=150°，∴∠AEG=60°，∴△AEG是等邊三角形，∵∠BAE+∠EAC=∠GAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAG，在△AGC和△AEB中，{AB=AC∴△AGC≌△AEB（SAS），∴∠AGC=∠AEB=90°，∵∠EGA=60°，∠AGC=90°，∴∠EGC=∠AGC∠EGA=30°，∠GCE=∠GEC∠EGC=60°，設(shè)EG=x,∴CE=3∵∠AEC=150°，∠AED=90°則∠CEF=150°90°=60°∴CF=sin60°CE=3∵∠CFD=∠AED，∠ADE=∠CDF，∴△CFD∽△AED，∴CFAE∴CD=7故選：C．2.（2023秋?龍山區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在AC邊上，∠DBC=35°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．25°B．60°C．85°D．95°【答案】D【分析】等邊三角形的三個(gè)角都為60°，三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【解答】解：∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°．故選：D．【題型1】用定義判定等腰三角形【典型例題】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形．下列作法不正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】A、由作圖可知AD是△ABC的角平分線，推不出△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)符合題意．B、由作圖可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)不符合題意．C、由作圖可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)不符合題意．D、由作圖可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【舉一反三1】如圖，在4×4的正方形方格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，若點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，使△ABC為等腰三角形，則符合條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A.2B.4C.5D.6【答案】D【解析】如圖：分三種情況：當(dāng)AB＝AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓，符合條件的格點(diǎn)為C1；當(dāng)BA＝BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，以BA長(zhǎng)為半徑作圓，符合條件的格點(diǎn)為C2；當(dāng)CA＝CB時(shí)，作AB的垂直平分線，符合條件的格點(diǎn)為C3，C4，C5，C6；綜上所述：符合條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是6，故選：D．【舉一反三2】如圖，在4×4的正方形方格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，若點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，使△ABC為等腰三角形，則符合條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A.2B.4C.5D.6【答案】D【解析】如圖：分三種情況：當(dāng)AB＝AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓，符合條件的格點(diǎn)為C1；當(dāng)BA＝BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，以BA長(zhǎng)為半徑作圓，符合條件的格點(diǎn)為C2；當(dāng)CA＝CB時(shí)，作AB的垂直平分線，符合條件的格點(diǎn)為C3，C4，C5，C6；綜上所述：符合條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是6，故選：D．【舉一反三3】如圖，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）A.2.5秒B.3秒C.3.5秒D.4.2秒【答案】D【解析】設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為xcm，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，AP＝AQ，AP＝20﹣3x（cm），AQ＝2x（cm），即21﹣3x＝2x，解得x＝4.2（cm）．故選：D．【舉一反三4】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A、B是兩個(gè)格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是．【答案】8【解析】如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．故答案為：8．【舉一反三5】如圖，在正方形網(wǎng)格中，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，如果點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有

個(gè)．【答案】3【解析】當(dāng)AB為腰時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)；當(dāng)AB為底時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有1個(gè)，故答案為：3．【舉一反三6】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A、B是兩個(gè)格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是．【答案】8【解析】如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．故答案為：8．【舉一反三7】如圖，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是

秒．【答案】4【解析】設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案為：4．【題型2】根據(jù)等角對(duì)等邊判定等腰三角形【典型例題】如圖是一個(gè)蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直（OC⊥AC于點(diǎn)C），蹺蹺板的一頭A著地時(shí)∠OAC＝27°，當(dāng)蹺蹺板的另一頭B在B′處著地時(shí)，點(diǎn)A、C、B′在同一水平線上，∠OB′C＝∠OAC，若OA＝1m，則AB的長(zhǎng)度為（）A.1.5mB.2mC.2.5mD.3m【答案】B【解析】∵∠OB′C＝∠OAC，∴OA＝OB'＝1m，由題意可知，OB＝OB'＝1m，∴AB＝OA+OB＝2m，故選：B．【舉一反三1】如圖，∠P＝36°，∠N＝72°，MF為∠PMN的平分線，EF∥MN，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)【答案】A【解析】∵∠P＝36°，∠N＝72°∴∠PMN＝72°，△PMN為等腰三角形．∵M(jìn)F為∠PMN的平分線，∠P＝36°∴∠PMF＝∠FMN＝36°，△PMF為等腰三角形．∵EF∥MN，∴∠PFE＝∠N＝72°，∠PEF＝∠PMN＝72°∴△PEF為等腰三角形．∵EF∥MN，∠FMN＝36°，∠N＝72°∴∠EFM＝∠FMN＝36°，∠MFN＝72°∴△MFN為等腰三角形．∵∠PMF＝∠FMN＝36°，∠EFM＝∠FMN＝36°∴∠EMF＝∠EFM∴△EMF為等腰三角形．綜上得出圖形中的等腰三角形為：△PMN，△EMF，△MFN，△FPM，△PEF．故選：A．【舉一反三2】如圖，∠MAN＝30°，點(diǎn)B是射線AN上的定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AM上的動(dòng)點(diǎn)，要使△PAB為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】D【解析】如圖所示，滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)．故選：D．【舉一反三3】如圖，在等腰△ABC頂角A＝36°，兩底角的平分線BD、CE交于點(diǎn)F，則圖中共有等腰三角形

個(gè)．【答案】12【解析】解：∵在等腰△ABC中，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠BCE＝36°，∴∠BEC＝∠CDB＝72°，∴圖中相等的角有：∠A＝∠ABD＝∠ACE＝∠ECB＝∠DBC＝∠CED＝∠BDE＝36°∠ABC＝∠ACB＝∠BEC＝∠CDB＝∠BFE＝∠CFD＝∠AED＝∠ADE＝72°因此是等腰三角形的有：△ABC、△ADE、△ABD、△ACE；△BDE、△BCE、△BEF；△CDB、△CDE、△CDF；△EDF、△BFC；共12個(gè)．故答案為：12．【舉一反三4】如圖，是的角平分線，，求證：是等腰三角形．【答案】證明：是的角平分線，，，，，，是等腰三角形．

【舉一反三5】如圖，平分，，垂足為點(diǎn)，求證：是等腰三角形．【答案】證明：平分，，，，，，，即：，是直角三角形，，，是等腰三角形．

【題型3】等腰三角形的性質(zhì)與判定【典型例題】如圖，△ABC中，AC＝8，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)．若AB＝AD，EF＝EC，則EF的長(zhǎng)是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】連接AF，∵AB＝AD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴AF⊥BD，∴∠AFD＝90°，∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠C，∴∠EAF＝∠AFE，∴EA＝EF，∴EF＝EA＝ECAC＝4，故選：B．【舉一反三1】在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)I作DE∥BC交BA于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.△DBI和△EIC是等腰三角形B.I為DE中點(diǎn)C.△ADE的周長(zhǎng)是8D.∠BIC＝115°【答案】B【解析】∵BI平分∠DBC，∴∠DBI＝∠CBI，∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠IBC，∴∠DIB＝∠DBI，∴BD＝DI．同理，CE＝EI．∴△DBI和△EIC是等腰三角形；∴△ADE的周長(zhǎng)＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝65°，∴∠BIC＝115°，故選項(xiàng)A，C，D正確，故選：B．【舉一反三2】如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點(diǎn)E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，則BD的長(zhǎng)為（）A.1B.1.5C.2D.2.5【答案】A【解析】∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC＝CE．又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE．∴BDBEAE（AC﹣BC）．∵AC＝5，BC＝3，∴BD（5﹣3）＝1．故選：A．【舉一反三3】如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G，F(xiàn)．若FG＝2，ED＝4，則EB+DC的值為

．【答案】6【解析】∵BG平分∠EBC，∴∠EBG＝∠GBC，∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG，同理可得DF＝DC，∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6，故答案為：6．【舉一反三4】如圖，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，則∠C的度數(shù)為

．【答案】25°【解析】在線段DC上取一點(diǎn)E，使DE＝DB，連接AE，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝180°∠ADB﹣∠BAD＝50°，∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，∴AB＝CE，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C∠AEB＝25°，故答案為：25°．【舉一反三5】如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠E