3.3一元一次不等式及其解法xixix

快速定位題型題型目錄TOC\o"13"\h\z\u【題型1】判斷是否為一元一次不等式 3【題型2】根據(jù)一元一次不等式概念求字母的值 4【題型3】一元一次不等式的解 4【題型4】一元一次不等式的整數(shù)解 5【題型5】在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集 5【題型6】根據(jù)在數(shù)軸上表示的解寫出不等式的解集 6【題型7】根據(jù)“五步法”解一元一次不等式 6【題型8】一元一次不等式與新定義型問題 7【題型9】根據(jù)一元一次不等式的解求字母的取值范圍或值 8【題型10】根據(jù)實際問題抽象出一元一次不等式 8【題型11】用一元一次不等式解決實際問題 10【題型12】一元一次不等式與方案問題 11xixix

夯實必備知識新知梳理【知識點1】一元一次不等式的定義（1）一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式．1.（2025春?碑林區(qū)校級月考）下列式子是一元一次不等式的是（）A．2x＜1B．4x=3C．3x2＞2D．2x＜1+y【知識點2】解一元一次不等式根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．1.（2025春?閔行區(qū)校級月考）以下關(guān)于不等式x1＜0的判斷錯誤的是（）A．0是這個不等式的解B．x＞1是這個不等式的解集C．大于1的數(shù)都是這個不等式的解D．小于1的數(shù)都不是這個不等式的解．2.（2025春?肇慶期末）不等式4x7≥5的解集是（）A．x≤3B．x≥3C．x≥3D．x≤3【知識點3】一元一次不等式的整數(shù)解解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式的整數(shù)解．可以借助數(shù)軸進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進(jìn)而非常容易的解決問題．1.（2024春?鳳翔縣期中）不等式x2≤3+x3A．3個B．4個C．5個D．無數(shù)個【知識點4】由實際問題抽象出一元一次不等式用不等式表示不等關(guān)系時，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負(fù)數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊(yùn)含這不同的不等關(guān)系．1.（2025春?武穴市期末）x與3的和的一半是負(fù)數(shù)，用不等式表示為（）A．x+B．1C．1D．12.（2025?澧縣一模）小明同學(xué)早上7：40前要到達(dá)班級，出家門時是7：20，已知他家離學(xué)校距離為1600m,他跑步的速度為130m/min,走路的速度為60m/min,小明同學(xué)至少跑步多長時間才能保證不遲到，設(shè)小明同學(xué)跑步時間為xmin,根據(jù)題意可列不等式正確的為（）A．130x+60（20x）＜1600B．130x+60（x20）＞1600C．1600?60xD．1600?130x【知識點5】一元一次不等式的應(yīng)用（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．1.（2024春?城關(guān)區(qū)校級期中）靜怡準(zhǔn)備用70元在文具店買A，B兩種筆記本共7本，A種筆記本每本10元，B種筆記本每本8元，如果至少要買4本A種筆記本，請問靜怡購買的方案有（）A．2種B．3種C．4種D．5種【題型1】判斷是否為一元一次不等式【典型例題】下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A.x2+1＞xB.﹣y+1＞yC.1D.5+4＞8【舉一反三1】以下是一元一次不等式的是（）A.x+y＞0B.0C.x2≠3D.3＞1【舉一反三2】給出下列式子：①﹣5＜0；②2x＝3；③3x﹣1＞2；④4x﹣2y≤0；⑤﹣3x+2＞0；⑥x﹣2y．其中屬于一元一次不等式的是

．（填序號）【舉一反三3】判斷下列不等式是不是一元一次不等式，如果不是，請簡要說明理由．（1）16x＜0；（2）3x﹣y＞56；（3）2y﹣（y﹣9）＜﹣1；（4）x2≥35．【題型2】根據(jù)一元一次不等式概念求字母的值【典型例題】若是一元一次不等式，則m＝．【舉一反三1】若4x2m﹣3+1＞﹣1是關(guān)于x的一元一次不等式，則m＝．【舉一反三2】已知（a+1）x|a|﹣1+4＜a﹣2是關(guān)于x的一元一次不等式，求a的值，并解這個一元一次不等式．【舉一反三3】已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是關(guān)于x的一元一次不等式，求k的值以及不等式的解集．【題型3】一元一次不等式的解【典型例題】下列各數(shù)中，是不等式x＞2的解的是（）A.﹣2B.2C.1D.3.5【舉一反三1】已知x＜﹣2，則下列哪個選項是不等式的解（）A.x＝0B.x＝﹣1C.x＝﹣2D.x＝﹣3【舉一反三2】下列數(shù)值中是不等式x＜﹣2的解的是（）A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.0【舉一反三3】構(gòu)造一個一元一次不等式，使它的解集是，如

．【舉一反三4】下列各數(shù)中，是不等式x+1＜4解的數(shù)有哪些？哪些不是不等式的解？8、7、5.5、4、2、1、0、2.5、﹣6．【題型4】一元一次不等式的整數(shù)解【典型例題】已知不等式2x+a＜x+4的正整數(shù)解有2個，則a的取值范圍是（）A.1＜a＜2B.1＜a≤2C.1≤a≤2D.1≤a＜2【舉一反三1】一元一次不等式7﹣3x≥2x﹣8的非負(fù)整數(shù)解有（）A.1個B.2個C.3個D.4個【舉一反三2】關(guān)于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整數(shù)解是4，則實數(shù)m的取值范圍是

．【舉一反三3】關(guān)于x的不等式的最小整數(shù)解為n，則n的值為

．【舉一反三4】解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來，寫出符合條件的x的非正整數(shù)解．【題型5】在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集【典型例題】不等式﹣2x＜4的解集在數(shù)軸上可表示為（）A.B.C.D.【舉一反三1】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A.B.C.D.【舉一反三2】已知關(guān)于x的不等式2x﹣k≥1的解在數(shù)軸上的表示如圖，則k的值是

．【舉一反三3】解下列不等式，并將它的解集在數(shù)軸上表示出來．【舉一反三4】解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【題型6】根據(jù)在數(shù)軸上表示的解寫出不等式的解集【典型例題】一個關(guān)于x的不等式的解集表示在數(shù)軸上（如圖），則這個不等式可以是（）A.2x≥﹣4B.2x＞﹣4C.﹣2x≤﹣4D.﹣2x≥4【舉一反三1】若一個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式應(yīng)是下列中的（）A.x﹣1＜0B.x﹣1≤0C.x﹣1＞0D.x﹣1≥0【舉一反三2】一個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式可以是（）A.2x+6＞0B.2x﹣6＜0C.2x≥6D.6﹣2x＜0【舉一反三3】一個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式可以是（）A.x+3＞0B.x﹣3＜0C.2x≥6D.3﹣x＜0【題型7】根據(jù)“五步法”解一元一次不等式【典型例題】若，則（）A.x＞﹣3B.x＜﹣3C.x＞1D.【舉一反三1】不等式的解集為（）A.x＜2B.x＜1C.x＞1D.x＜﹣1【舉一反三2】不等式6x+8＞3x+8的解集為（）A.xB.x＜0C.x＞0D.x【舉一反三3】一元一次不等式3x≤﹣1的解集是

．【舉一反三4】解不等式1+2（x﹣1）≤3，則x的解集是

．【舉一反三5】在解不等式x﹣3（x+1）≥1時，小馬同學(xué)給出了如下解法：解：去括號，得x﹣3x﹣1≥1，移項，得x﹣3x≥1+1，合并同類項，得﹣2x≥2，兩邊都除以﹣2，得x≤﹣1．判斷小馬同學(xué)的解法是否有錯誤？若有錯誤，請寫出正確的解答過程．【題型8】一元一次不等式與新定義型問題【典型例題】定義新運算a⊙b＝b（a＜b），若，則x的取值范圍是（）A.x＞﹣10B.x＞﹣11C.x＜﹣10D.x＜11【舉一反三1】定義一種運算：a?b＝2a+b（a＜b），則不等式3x?（x+1）＞﹣2的解集是（）A.B.C.D.無解【舉一反三2】定義新運算：a⊕b＝﹣2a+b．則不等式x⊕4＞0的解集是

．【舉一反三3】定義一種新運算“a☆b”為：當(dāng)a≥b時，a☆b＝a﹣b：當(dāng)a＜b時，a☆b＝a+b．例如：3☆（﹣4）＝3﹣（﹣4）＝7，（﹣6）☆3＝﹣6+3＝﹣3（1）填空：（﹣5）☆（﹣4）＝

；（2）若（3x﹣2）☆（2﹣x）＝6，求x的值；（3）若（2m+1）☆（m﹣2）＞2，求m的取值范圍．【舉一反三4】定義一種新運算“a*b”：當(dāng)a≥b時，a*b＝a+2b；當(dāng)a＜b時，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝

；（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），則x的取值范圍為

；（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范圍．【題型9】根據(jù)一元一次不等式的解求字母的取值范圍或值【典型例題】已知關(guān)于x的不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集為x＞1，則a的取值范圍是（）A.a＜0B.a＜5C.a＜﹣5D.a＞5【舉一反三1】不等式（x﹣m）＞2﹣m的解集為x＞2，則m的值為（）A.4B.2C.1.5D.0.5【舉一反三2】已知關(guān)于x的不等式（a﹣3）x＞（a﹣3）的解是x＜1．則a的取值范圍是

．【舉一反三3】已知關(guān)于x的不等式2（a+1）x＞2x+（4a﹣3）．（1）當(dāng)a＝﹣5時，求這個不等式的解集．（2）如果該不等式的解集為x，求a的取值范圍．（3）如果x＝﹣2是該不等式的一個解，求a的取值范圍．【舉一反三4】已知關(guān)于x的不等式a（x﹣1）＞x+1﹣2a的解集是x＜﹣1，求a的取值范圍．【題型10】根據(jù)實際問題抽象出一元一次不等式【典型例題】2023年9月23日，第19屆亞運會將在我國杭州市舉辦．為此，某校舉行了關(guān)于杭州亞運會的知識競賽，現(xiàn)共有30道選擇題，答對一題得10分，若答錯或不答一道題，則扣3分，要使總得分不少于70分則應(yīng)該至少答對幾道題？若設(shè)答對x題，則根據(jù)題意可列不等式為（）A.10x﹣3（30﹣x）≥70B.10x﹣3（30﹣x）≤70C.10x﹣3x≥70D.10x﹣3（30﹣x）＞70【舉一反三1】小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設(shè)經(jīng)過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為（）A.52+15n＞70+12nB.52+15n＜70+12nC.52+12n＞70+15nD.52+12n＜70+15n【舉一反三2】圓圓將某服飾店的促銷活動內(nèi)容告訴芳芳后，假設(shè)芳芳購買A商品的定價為x元，并列出關(guān)系式為0.8（2x﹣100）＜1000，則圓圓告訴芳芳的內(nèi)容可能是（）A.買兩件A商品可先減100元，再打8折，最后不到1000元B.買兩件A商品可先減100元，再打2折，最后不到1000元C.買兩件A商品可先打8折，再減100元，最后不到1000元D.買兩件A商品可先打2折，再減100元，最后不到1000元【舉一反三3】今年，劉華的父親年齡為50歲，劉華的年齡為x歲．若劉華的年齡的4倍再加上3歲還不超過他父親的年齡，則可列出的不等式是

．【舉一反三4】某商店對A型號筆記本電腦舉行促銷活動，有兩種優(yōu)惠方案可供選擇．方案一：每臺按售價的九折銷售；方案二：若購買不超過5臺，每臺按售價銷售；若超過5臺，超過的部分每臺按售價的八折銷售．已知A型號筆記本電腦的原售價是5000元/臺，某公司一次性從該商店購買A型號筆記本電腦x臺．（1）若方案二比方案一更便宜，根據(jù)題意列出關(guān)于x的不等式．（2）若公司買12臺筆記本，你會選擇哪個方案？請說明理由．【舉一反三5】現(xiàn)有1元和5角的硬幣共15枚，這些硬幣的總幣值小于9元．根據(jù)此信息，小強(qiáng)、小剛兩名同學(xué)分別列出不完整的不等式如下：小強(qiáng)：x+

＜9，小剛：0.5x+

＜9．（1）小強(qiáng)同學(xué)所列的不等式中，x表示的是

硬幣的枚數(shù)；小剛同學(xué)所列的不等式中，x表示的是

硬幣的枚數(shù)；（2）在橫線上補(bǔ)全小強(qiáng)、小剛兩名同學(xué)所列的不等式；（3）任選其中一個不等式，求可能有幾枚5角的硬幣．【題型11】用一元一次不等式解決實際問題【典型例題】某批電子產(chǎn)品的進(jìn)價為200元/件，售價為350元/件．為提高銷量，商店準(zhǔn)備將這批電子產(chǎn)品降價銷售，若要保證單件利潤率不低于5%，則該批電子產(chǎn)品最多可降價（）A.120元B.132.5元C.140元D.142.5元【舉一反三1】商店為了對某種商品進(jìn)行促銷，將定價為5元的商品，以下列方式優(yōu)惠銷售：若購買不超過8件，則按原價付款；若一次性購買8件以上，則超出的部分打八折，小明帶了70元錢，最多可以購買該商品（）A.14件B.15件C.16件D.17件【舉一反三2】體育課上進(jìn)行投籃比賽，規(guī)定：投進(jìn)一球可得3分，投丟一球扣1分，每人投籃12次，小李同學(xué)要想得分不低于28分，則他至少要投進(jìn)幾個球（）A.9B.10C.11D.12【舉一反三3】某商品進(jìn)價40元，標(biāo)價50元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于10%，則最多可打

折．【舉一反三4】2023年9月15日至17日，第二屆湖南旅游發(fā)展大會在郴州市隆重舉行，大會吉祥物“山俠”和“水仙”，以郴州的“山之俠氣”“水之仙氣”為靈感創(chuàng)作．（1）某商店用3600元共購進(jìn)“山俠”和“水仙”兩種吉祥物公仔110個，用于購買“山俠”公仔與購買“水仙”公仔的總費用相同，且“山俠”公仔的單價是“水仙”公仔的1.2倍．求該商店購進(jìn)的“山俠”和“水仙”公仔的單價分別是多少元？（2）吉祥物很受歡迎，公仔很快就賣完了，該商店計劃用不超過10200元的資金再次購進(jìn)“山俠”和“水仙”兩種吉祥物公仔共300個．已知兩種公仔的進(jìn)價不變，求“山俠”公仔最多能購進(jìn)多少個．【舉一反三5】水果店用1500元首次購進(jìn)了甲、乙兩種水果，甲種水果進(jìn)價為每千克18元，乙種水果進(jìn)價為每千克15元，水果店在銷售時甲種水果售價為每千克26元，乙種水果售價為每千克20元，全部售完后共獲利潤600元．（1）求水果店購進(jìn)甲、乙兩種水果各多少千克？（2）若水果店以原進(jìn)價再次購進(jìn)甲、乙兩種水果，購進(jìn)甲種水果的數(shù)量是第一次的2倍，而購進(jìn)乙種水果的數(shù)量不變，甲種水果降價出售，而乙種水果按原售價出售．當(dāng)兩種水果銷售完畢時，要使再次獲利不少于800元，甲種水果最低售價應(yīng)為每千克多少元？【題型12】一元一次不等式與方案問題【典型例題】市內(nèi)某小區(qū)正在緊張建設(shè)中，現(xiàn)有大量的沙石需要運輸，“不凡”車隊分別有載重量為8噸、10噸的卡車5輛、7輛，工程需要一次運輸沙石超過165噸，為了完成任務(wù)，車隊準(zhǔn)備新增購這兩種卡車共6輛（可以購買兩種，也可以購買一種），則有（）種購買方案．A.1B.2C.3D.4【舉一反三1】小明一家6人去公園游玩，小明爸爸給了小明100元買午飯，有12元套餐和18元套餐可供選擇，若至少有2個人要吃18元套餐，請問小明購買的方案有（）A.2種B.3種C.4種D.5種【舉一反三2】在一次綜合實踐活動