專題03勾股定理（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律勾股定理的直接應(yīng)用能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行直角三角形的邊長(zhǎng)計(jì)算基礎(chǔ)必考點(diǎn)，選擇題、填空題中出現(xiàn)頻率較高勾股定理的逆定理能運(yùn)用逆定理判定三角形是否為直角三角形概念理解、判定條件難點(diǎn)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用能建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用能力考查，建模思想勾股定理與折疊、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題能綜合運(yùn)用勾股定理解決幾何變換問(wèn)題綜合能力難點(diǎn)，空間想象能力要求高勾股定理與方程思想的結(jié)合能運(yùn)用方程思想解決復(fù)雜幾何問(wèn)題高階思維能力要求高知識(shí)點(diǎn)01勾股定理1.定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方2.數(shù)學(xué)表達(dá)：如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2＋b2＝c23.適用范圍：僅適用于直角三角形4.基本應(yīng)用：已知兩邊求第三邊·示例：1.如圖數(shù)軸上的點(diǎn)O表示的數(shù)是0，點(diǎn)A表示的數(shù)是2，OB⊥OA，垂足為O，且OB＝1，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C表示的數(shù)為（）A．?5 B．－2+5 C．2?5 D．－2【解答】在Rt△AOB中，AB=O∴AB＝AC=5∴OC＝AC－OA=5∵C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為2?5．故選C2.如圖在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則B到直線AC的距離為（）A．7105 B．755 C．【解答】在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，如圖，BD為AB邊上的高，由勾股定理得：AC=2∵S△ABC=4×4?1∴12解得：BD=7553.若一個(gè)直角三角形的三邊分別為x，4，5，則x2＝．【解答】分兩種情況：①5是直角邊長(zhǎng)，則第三邊x是斜邊長(zhǎng)，由勾股定理得：x2＝52＋42＝41；②5是斜邊長(zhǎng)，則第三邊x是直角邊長(zhǎng)，由勾股定理得：42＋x2＝52，∴x2＝9；綜上所述，x2＝41或9．·易錯(cuò)點(diǎn)：未確定直角邊和斜邊就直接套用公式；在代數(shù)運(yùn)算中忘記開平方或平方計(jì)算錯(cuò)誤；直角三角形的條件，在非直角三角形中使用勾股定理.知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的逆定理1.逆定理內(nèi)容：如果三角形的三邊滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形2.判定方法：計(jì)算三邊平方關(guān)系，判斷最大邊的對(duì)角是否為直角3.基本應(yīng)用：判定三角形形狀，證明垂直關(guān)系·示例：1.下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，11 D．5，12，23【解答】A、42＋52≠62，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、12C、62＋82≠112，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、52＋122≠232，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B．·易錯(cuò)點(diǎn)：未將最長(zhǎng)邊作為斜邊進(jìn)行判斷；計(jì)算平方時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤；混淆勾股定理與逆定理的使用條件.知識(shí)點(diǎn)03勾股定理的實(shí)際應(yīng)用1.建模思想：將實(shí)際問(wèn)題抽象為直角三角形模型2.常見(jiàn)類型：梯子問(wèn)題、航海問(wèn)題、距離問(wèn)題、高度問(wèn)題3.解題步驟：識(shí)別直角三角形→標(biāo)注已知量→建立勾股關(guān)系→求解驗(yàn)證·示例：如圖1是一個(gè)可調(diào)節(jié)平板支架，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，已知平板寬度AB為16cm，支架BC的長(zhǎng)度為12cm，∠ABC＝90°，保持此時(shí)△ABC的形狀不變，當(dāng)CB平分∠ACD時(shí)，點(diǎn)B到CD的距離是（）A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm【解答】在Rt△ABC中，AB＝16，BC＝12，∴AC=A過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，CF⊥AC于點(diǎn)F，如圖所示：∵CB平分∠ACD，∴BE＝BF，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20cm，AB＝16cm，由三角形的面積公式得：S△ABC=12AC?BF=12AB?BC，∴BF∴BE＝BF＝9.6cm，∴點(diǎn)B到CD的距離是9.6cm．故選D．2.如圖1，小明按照體育老師教的方法確定適合自己的繩長(zhǎng)：一腳踩住繩子的中央，手肘靠近身體，兩肘彎屈90°，小臂水平轉(zhuǎn)向兩側(cè)，兩手將繩拉直，繩長(zhǎng)即合適長(zhǎng)度．將圖1抽象成圖2，若兩手握住的繩柄兩端距離約為1m，小臂到地面的距離約1.2m，則適合小明的繩長(zhǎng)為m．【解答】如圖，過(guò)A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD=12BC=1在Rt△ABD中，AD＝1.2，∴AB＝AC=AD2∴繩長(zhǎng)為1.3×2＝2.6（m）·易錯(cuò)點(diǎn)：實(shí)際問(wèn)題中識(shí)別直角三角形困難；單位不統(tǒng)一導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤；忽略實(shí)際意義，未驗(yàn)證解的合理性.題型一勾股定理的直接應(yīng)用解｜題｜技｜巧1.識(shí)別直角三角形，確定直角邊和斜邊2.根據(jù)已知條件選擇合適的勾股關(guān)系式3.注意代數(shù)運(yùn)算的準(zhǔn)確性，特別是平方和開方運(yùn)算易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥在不確定哪條邊是斜邊時(shí)，應(yīng)該將最長(zhǎng)邊作為斜邊進(jìn)行驗(yàn)證【典例1】如圖，把一塊含45°角的三角板放入2×4的網(wǎng)格中，三角板三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，直角頂點(diǎn)與數(shù)軸上表示－1的點(diǎn)重合，則數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為（）A．22 B．1.8 C．－1＋22 D．3【解答】如圖，由題意可知，BA＝BC，∠BDC＝90°，BD＝CD＝2，∴BC=BD2∴BA＝22，∴DA＝BA－BD＝22?∴數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為22?2＋1＝－1＋22，故選C【典例2】數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師給每位同學(xué)準(zhǔn)備了四塊全等的直角三角形紙板，小朋同學(xué)拿到紙板后隨手做拼圖游戲，結(jié)果拼出如圖所示的圖形，小友同學(xué)喜歡思考，借助這個(gè)圖形設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)題：由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形中，C、D、E在同一直線上，設(shè)CE＝a，HG＝b，則正方形BDFA的面積是（）A．a(chǎn)2?b22 B．a(chǎn)2+b22 C．a(chǎn)2【解答】設(shè)CD＝x，則DE＝a－x，∵HG＝b，∴AH＝CD＝AG－HG＝DE－HG＝a－x－b＝x，∴x=a?b∴BC＝DE＝a?a?b在Rt△BCD中，BD2＝BC2＋CD2＝（a+b2）2＋（a?b2）2∴正方形BDFA的面積為a2+b【典例3】我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，勾股定理的證明方法也十分豐富．下面圖形能證明a2＋b2＝c2的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【解答】對(duì)于圖形①，∵大正方形的邊長(zhǎng)為a＋b，∴大正方形的面積為：（a＋b）2，又∵大正方形的面積＝邊長(zhǎng)a的正方形面積＋邊長(zhǎng)為b的正方形面積＋兩個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b長(zhǎng)方形的面積和，∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，∴圖形①不能證明a2＋b2＝c2；對(duì)于圖形②，∵大正方形的邊長(zhǎng)為a＋b，∴大正方形的面積為：（a＋b）2，∵4個(gè)直角三角形的直角邊分別為a，b，∴4個(gè)直角三角形的面積之和為：4×1/2ab＝2ab，又∵大正方形的面積＝邊長(zhǎng)c的正方形面積＋4個(gè)直角三角形的面積和，∴（a＋b）2＝c2＋2ab，整理得：a2＋b2＝c2，∴圖形②能證明a2＋b2＝c2；對(duì)于圖形③，∵大正方形的邊長(zhǎng)為c，∴大正方形的面積為：c2，∵4個(gè)直角三角形的直角邊分別為a，b，∴4個(gè)直角三角形的面積之和為：4×1/2ab＝2ab，又∵小正方形的邊長(zhǎng)為（b－a），∴小正方形的面積為（b－a）2，又∵大正方形的面積＝小正方形的面積＋4個(gè)直角三角形的面積之和，∴c2＝（b－a）2＋2ab，整理得：a2＋b2＝c2，∴圖形③能證明a2＋b2＝c2；對(duì)于圖形④，∵無(wú)法確定大正方形內(nèi)部三角形的形狀，∴無(wú)法確定該三角形的面積，∴圖形④不能證明a2＋b2＝c2，綜上所述：圖形②③能證明a2＋b2＝c2．故選C．【變式1】如圖，分別以Rt△ABC的各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上被稱為“希波克拉底月牙”．當(dāng)AC＝8，BC＝6時(shí)，“希波克拉底月牙”的面積是（）A．18 B．410 C．24 【解答】根解據(jù)勾股定理可得AB=AS陰形＝S半圓AC＋S半圓BC＋S△ABC－S半圓AB=12π（AC2）2+12π（BC2）2+12=12π（82）2+12π（62）2+＝24．故選C．【變式2】直角三角形的三邊為a－2b，a，a＋2b且a、b都為正整數(shù)，則三角形其中一邊長(zhǎng)可能為（）A．18 B．19 C．21 D．22【解答】∵a、b都為正整數(shù)，∴a－2b＜a＜a＋2b，∴a＋2b是直角三角形的斜邊，∴（a－2b）2＋a2＝（a＋2b）2整理得：2a2－4ab＋4b2＝a2＋4ab＋4b2，a2＝8ab，a＝8b，∴a－2b＝8b－2b＝6b，a＋2b＝8b＋2b＝10b，∴三角形三邊長(zhǎng)分別為6b、8b、10b，∴三角形三邊的長(zhǎng)度可能是6的倍數(shù)、8的倍數(shù)、10的倍數(shù)，A選項(xiàng)：當(dāng)6b＝18時(shí)，b＝3，此時(shí)a＝8b＝24，∴三邊長(zhǎng)分別為18、24、30，故A選項(xiàng)符合條件；B選項(xiàng)：19不是6、8、10的倍數(shù)，故B選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)：21不是6、8、10的倍數(shù)，故C選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)：不是6、8、10的倍數(shù)，故C選項(xiàng)不符合題意．故選A．【變式3】如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，面積分別記為S1，S2，S3，S4．若S1＋S4＝135，S3＝49，則S2＝．【解答】如圖，連接BD．由題意，得S1=AB2，S2在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝S1＋S4．在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝BC2＋CD2＝S2＋S3．∴S1＋S4＝S2＋S3．∴S2＝S1＋S4－S3＝135－49＝86，故答案為：86．題型二勾股定理逆定理的應(yīng)用答｜題｜模｜板1.確定三角形三邊長(zhǎng)度，找出最長(zhǎng)邊.2.計(jì)算較短兩邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方3.比較兩者大小，得出結(jié)論4.注意：只有當(dāng)a2＋b2＝c2時(shí)才是直角三角形【典例1】以下列長(zhǎng)度的線段為邊，不能組成直角三角形的是（）A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、2、3 D．8、15、17【解答】A．最長(zhǎng)邊為5，驗(yàn)證32＋42＝9＋16＝25，與52＝25相等，滿足勾股定理，能組成直角三角形，所以此選項(xiàng)正確，不符合題意；B．最長(zhǎng)邊為2，驗(yàn)證12＋22＝1＋4＝5，與22＝4不相等，不滿足勾股定理．雖然三邊滿足三角形存在條件（如1＋2＞2），但無(wú)法構(gòu)成直角三角形，所以此選項(xiàng)不正確，符合題意；C．最長(zhǎng)邊為3，驗(yàn)證12+(D．最長(zhǎng)邊為17，驗(yàn)證82＋152＝64＋225＝289，與172＝289相等，滿足勾股定理，能組成直角三角形，所以此選項(xiàng)正確，不符合題意；故選B．【典例2】在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a＝m－n，b=2mn，c＝m＋n（m＞n（1）求證：△ABC為直角三角形；（2）是否存在a，b，c（a，b，c均為正整數(shù)）使得c2＝3ab？若存在，求a，b，c的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：∵a2＋b2＝（m－n）2+(2mn)2＝m2－2mn＋n2＋4mn＝m2＋2mn＋nc2＝（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2，∴a2＋b2＝c2，∴根據(jù)勾股定理逆定理，得△ABC為直角三角形；（2）解：不存在a，b，c（a，b，c均為正整數(shù)）使得c2＝3ab．理由：假設(shè)存在a，b，c（a，b，c均為正整數(shù)）使得c2＝3ab，由（1）知a2＋b2＝c2，∴a2＋b2＝3ab，∴a2－3ba＋b2＝0，解得a=3b±∵3±52是無(wú)理數(shù)，b是正整數(shù)，∴故不存在a，b，c（a，b，c均為正整數(shù)）使得c2＝3ab．【變式1】古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c為勾股數(shù)．請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論得出一組勾股數(shù)是．【解答】∵如果m表示大于1的整數(shù)，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c為勾股數(shù)，∴當(dāng)m為大于1的任意整數(shù)時(shí)，a，b，c為勾股數(shù)，如m＝2，那么a＝2m＝4，b＝m2－1＝3，c＝m2＋1＝5，（答案不唯一）．【變式2】在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖甲，小明據(jù)此構(gòu)造出該島的一個(gè)數(shù)學(xué)模型（如圖乙四邊形ABCD），AC是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝32千米，AD＝123千米．（1）求小溪流AC的長(zhǎng)．（2）求四邊形ABCD的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【解答】（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，∴AC=AB2（2）∵AC2＝（152）2＝450，CD2＋AD2＝（32）2＋（123）2＝450，∴AC2＝CD2＋AD2，則∠D＝90°，S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD=12×=225+36題型三勾股定理的實(shí)際應(yīng)用與綜合問(wèn)題答｜題｜模｜板1.仔細(xì)審題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題2.構(gòu)造直角三角形，標(biāo)注已知量和未知量3.建立勾股方程，注意單位的統(tǒng)一4.求解并驗(yàn)證答案的合理性易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵【典例1】已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h，下列結(jié)論中，正確的是（）①當(dāng)a2＋b2＝c2時(shí)，則∠ACB＝90°．②當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，則a＋b＝c＋h．③當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，則1a④當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，則ab＝ch．A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解答】①當(dāng)a2＋b2＝c2時(shí)，則∠ACB＝90°，說(shuō)法正確；②當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，則a?b＝c?h，原說(shuō)法錯(cuò)誤；③當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，∴ab＝ch，∴a2b2＝c2h2，∴1a∴c2由勾股定理得：a2＋b2＝c2，∴1∴1a④當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，則ab＝ch，說(shuō)法正確；故選C．【典例2】華表柱是一種中國(guó)傳統(tǒng)建筑形式，天安門前聳立著高大的漢白玉華表，每根華表重約20000公斤，如圖，在底面周長(zhǎng)約為3米帶有層層回環(huán)不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底向柱頂（從A點(diǎn)到B點(diǎn)）均勻地盤繞3圈，每根華表刻有雕龍部分的柱身高約12米，則雕刻在石柱上的巨龍至少（）米．A．317 B．20 C．15 D．【解答】展開圖：12÷3＝4（米），42+3【典例3】如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），聰明的小紅發(fā)現(xiàn)：先測(cè)出垂到地面的繩子長(zhǎng)，再將繩子拉直（如圖2），測(cè)出繩子末端C到旗桿底部B的距離n，利用所學(xué)知識(shí)就能求出旗桿的長(zhǎng)，若m＝1米，n＝5米，則旗桿AB的長(zhǎng)為米．【解答】由題意得：BC＝5米，AC＝（AB＋1）米，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2，即AB2＋52＝（AB＋1）2，解得：AB＝12（米）【變式1】清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：AD是銳角△ABC的高，則BD=12(BC+AB2?AC2BC)．當(dāng)AB【解答】如圖，∵BD=12(BC+AB2?A∴BD=12×（5+62?425）=∵AD是銳角△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD=A故答案為：37【變式2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，AB＝AC＝13，BP⊥CP于點(diǎn)P，BP＝8，CP＝6，求陰影部分的面積為．【解答】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，∵BP⊥CP，∴∠CPB＝90°，∵BP＝8，CP＝6，∴BC=B∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD=12在Rt△ABD中，AB＝13，∴AD=A∴陰影部分的面積＝△ABC的面積－△BPC的面積=12BC?AD?1=12×10×12?【變式3】（1）探索：請(qǐng)你利用圖（1）驗(yàn)證勾股定理．（2）應(yīng)用：如圖（2），已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，分別以AC，BC為直徑作半圓，半圓的面積分別記為S1，S2，則S1＋S2＝.（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）．（3）拓展：如圖（3），MN表示一條鐵路，A，B是兩個(gè)城市，它們到鐵路所在直線MN的垂直距離分別為AC＝40千米，BD＝60千米，且CD＝80千米．現(xiàn)要在CD之間建一個(gè)中轉(zhuǎn)站O，求O應(yīng)建在離C點(diǎn)多少千米處，才能使它到A，B兩個(gè)城市的距離相等．【解答】解：（1）∵12（a＋b）（a＋b）＝2×12ab+∴（a＋b）（a＋b）＝2ab＋c2，∴a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2，∴a2＋b2＝c2；（2）∵S1=18πAC2，S2=18∴S1＋S2=18π（AC2＋BC2）=18πAB（3）設(shè)CO＝xkm，則OD＝（80－x）km．∵O到A、B兩個(gè)城市的距離相等，∴AO＝BO，即AO2＝BO2，由勾股定理，得402＋x2＝602＋（80－x）2，解得：x＝52.5．即O應(yīng)建在離C點(diǎn)52.5千米處．期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1.．下列結(jié)論中，正確的有（）①在Rt△ABC中，已知兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為5；②△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，則∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，則△ABC是直角三角形；④若三角形的三邊長(zhǎng)之比為3：4：5，則該三角形是直角三角形．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解答】①Rt△ABC中，已知兩邊分別為3和4，則第三條邊長(zhǎng)為42+3故結(jié)論①錯(cuò)誤，不符合題意；②△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，則∠C＝90°，故結(jié)論②錯(cuò)誤，不符合題意；③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，此時(shí)∠C=61+5+6×180°=90°④若三角形的三邊比為3：4：5，則設(shè)三邊為3r，4r，5r，∵（3r）2＋（4r）2＝25r2＝（5r）2，∴該三角形是直角三角形，故結(jié)論④正確，符合題意；綜上所述，結(jié)論正確的有③④，共2個(gè)，故選C．2.如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)作正方形，面積分別記為S1，S2，S3，如果S2＋S1－S3＝16，則陰影部分的面積為（）A．6 B．4 C．5 D．8【解答】由勾股定理得S2－S3＝S1，∵S2＋S1－S3＝16，∴S1＝8，由圖形可知，陰影部分的面積為12S13.如圖，這是邊長(zhǎng)為1的3×3的正方形網(wǎng)格，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，則邊BC上的高是．【解答】設(shè)BC邊上的高為h，由勾股定理得：BC=3∵S△ABC=12BC?h＝3×2－2×12×2×1?12×∴h=102，即BC邊上的高為4.勾股定理在《九章算術(shù)》中的表述是：“勾股各自乘，并而開方除之，即弦．”即c=a2+b2（a為勾，b為股，c【解答】由題意得“弦”是22+32=∴13更接近于16，∴13接近于4．故答案為：4．5.如圖所示的是某款自動(dòng)感應(yīng)水龍頭的示意圖，在距離洗手臺(tái)面20cm的點(diǎn)C處連接著出水口D所在的水管，水管AB上的點(diǎn)E處安裝有紅外線感應(yīng)裝置，已知出水口D到點(diǎn)C的距離CD為15cm，出水口D到點(diǎn)E的距離為17cm，且CD⊥AB，則紅外線感應(yīng)裝置距離洗手臺(tái)面的高度BE為cm．【解答】∵CD⊥AB，∴△DCE是直角三角形在Rt△DCE中，CD＝15cm，DE＝17cm，由勾股定理得：CE=DE2∵CB＝20cm，∴BE＝BC－CE＝20－8＝12（cm），∴紅外線感應(yīng)裝置到洗手臺(tái)面的高度BE的長(zhǎng)為12cm6.如圖所示，某港口位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里．它們離開港口32【解答】解：根據(jù)題意，得PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里），∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°．由“遠(yuǎn)航號(hào)”沿東北方向航行可知，∠QPS＝45°，則∠SPR＝45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行．期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1.如圖，△ABC的三邊BC＝17，CA＝18，AB＝19，過(guò)△ABC內(nèi)一點(diǎn)P向三邊作垂線，垂足分別為D、E、F，且BD＋CE＋AF＝27，則BD＋BF的長(zhǎng)是（）A．18 B．10＋63 C．19 D．17【解答】連接PA、PB、PC，設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，AF＝z，則CD＝17－x，EA＝18－y，F(xiàn)B＝19－z，由勾股定理得，x2＋PD2＝（19－z）2＋PF2①，同理得，y2＋PE2＝（17－x）2＋PD2②，z2＋PF2＝（18－y）2＋PE2③，①＋②＋③得，x2＋y2＋z2＝（17－x）2＋（18－y）2＋（19－z）2，化簡(jiǎn)得，17x＋18y＋19z＝487，∵x＋y＋z＝27，∴y＋2z＝28，∴x＋y＋z－（y＋2z）＝27－28＝－1，∴x－z＝－1，∴BD＋BF＝x＋（19－z）＝18，故選A．2.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)D為AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，則EF最小值為（）A．54 B．52 C．65【解答】如圖，連接BD，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=A∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴EF=1∴當(dāng)BD最小時(shí)，EF的值最小，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD最小，此時(shí)，S△ABC即12×3×4=12×5?BD，∴BD=3.如圖，所有陰影四邊形都是正方形，兩個(gè)空白三角形均為直角三角形，且A、B、C三個(gè)正方形的面積分別為6、8、5，則正方形D的面積為．【解答】設(shè)正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d，中間陰影正方形的邊長(zhǎng)為x，∵兩個(gè)空白三角形均為直角三角形，∴a2＋b2＝x2，x2＋c2＝d2，∴d2＝a2＋b2＋c2，∵A、B、C三個(gè)正方形的面積分別為6、8、5，∴d2＝a2＋b2＋c2＝6＋8＋5＝19，即正方形D的面積為19．4.如圖，將有一邊重合的兩張直角三角形紙片放在數(shù)軸上，紙片上的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是－3，AC＝BC＝BD＝1，若以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)為．【解答】由題意可得，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AC＝BC＝BD＝1，∴AB=AC2+B∵以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點(diǎn)E，∴點(diǎn)E表示的數(shù)為－3?3或－3+5.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中有一道問(wèn)題：“問(wèn)沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．欲知為田幾何？”問(wèn)題大意：如圖，在△ABC中，已知AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，則△ABC的面積是平方里．【解答】在△ABC中，已知AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)BD＝x里，則CD＝14－x（里），∵AB2－BD2＝AC2－CD2，132－x2＝152－（14－x）2，解得x＝5（里），∴BD＝5（里），∴AD=A∴△ABC的面積是126.著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為b，斜邊長(zhǎng)都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4×12ab+(a?b)2，由推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則a2＋b（1）圖②為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理；（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A、B，AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測(cè)得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）小明繼續(xù)思考研究，發(fā)現(xiàn)了三角形已知三邊的長(zhǎng)，可求高的一種方法．他是這樣思考的，在第（2）問(wèn)中若AB≠AC時(shí)，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，設(shè)AH＝x，可以求CH的值，請(qǐng)幫小明寫出求CH的過(guò)程．【解答】解：（1）梯形ABCD的面積為12（a＋b）（a＋b）=12a2＋ab+也可以表示為12ab+12ab+∴12ab+12ab+12c2=12a即a2＋b2＝c2；（2）設(shè)AB＝AC＝x千米，∴AH＝AB－BH＝（x－0.6）千米，在Rt△ACH中，根據(jù)勾股定理得：CA2＝CH2＋AH2，∴x2＝0.82＋（x－0.6）2，解得x≈0.83，即CA≈0.83千米，∴CA－CH≈0.83－0.8≈0.03（千米），答：新路CH比原路CA少約0.03千米；（3）∵AH＝x，∴BH＝AB－AH＝21－x，∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，根據(jù)勾股定理：在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2，在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2，∴CA2－AH2＝CB2－BH2，即102－x2＝172－（21－x）2，解得：x＝6，∴AH＝6，∴CH=C期中綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：15分鐘）1.如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH．連結(jié)EG，BD相交于點(diǎn)O、BD與HC相交于點(diǎn)P．若GO＝GP，則S△ABDSA．1+2 B．2+2 C．5?2【解答】∵四邊形EFGH為正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，在△BPG和△BCG中，∠PBG=∠CBGBG=BG∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．設(shè)OG＝PG＝CG＝x，∵O為EG，BD的交點(diǎn)，∴EG＝2x，F(xiàn)G=2x∵四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+2x∴BC2＝BG2＋CG2＝x2（2+1）2＋x2＝（4＋22）x2∴S△ABDS△EFG=12.如圖①，直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長(zhǎng)為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為（）A．36 B．42 C．48 D．52【解答】把圖②中各個(gè)小正方形標(biāo)上字母，設(shè)正方形A的邊長(zhǎng)為x，正方形B的邊長(zhǎng)為y，∴正方形A的面積為x2，正方形B的面積為y2．由題意得：正方形C的邊長(zhǎng)為2，并且是直角三角形的斜邊．則正方形C的面積為4．根據(jù)勾股定理可得：x2＋y2＝22＝4．∴正方形A的面積、正方形B的面積和為4；∴圖①中所有正方形的面積和＝4＋4＝8．同理可得：正方形E的面積＋正方形F的面積＝正方形A的面積，正方形G的面積＋正方形H的面積＝正方形B的面積，∴正方形E的面積＋正方形F的面積＋正方形G的面積＋正方形H的面積＝正方形A的面積＋正方形B的面積＝4．∴圖2中所有正方形的面積和＝圖1中所有正方形的面積和加4為12．即一次操作后所有正方形的面積和＝圖1中所有正方形的面積和加4為12．同理可得2次操作后增加的8個(gè)小正方形的面積和也是4．∴2次操作后所有正方形的面積和＝圖1中所有正方形的面積和加2×4＝8＋2×4＝8＋8＝16．同理：3次操作后所有正方形的面積和＝圖1中所有正方形的面積和加＝8＋3×4＝16；4次操作后所有正方形的面積和＝圖1中所有正方形的面積和加＝8＋4×4＝20；∴每增加一次操作，面積就增加4，∴n次操作后，圖中所有正方形的面積和為8＋4n，當(dāng)n＝10時(shí)，圖中所有正方形的面積和為＝8＋4×10＝48．故選C．3.如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正△ABC的兩頂點(diǎn)A，B分別在直角∠MON的兩邊上滑動(dòng)，點(diǎn)C在∠MON內(nèi)部，則OC長(zhǎng)的最大值為．【解答】如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，OD，∵∠AOB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴OD=1∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，CD為中線，∴CD⊥AB，∴CD=3在△ODC中，OD＋CD＞OC，∴當(dāng)O、D、C三點(diǎn)共線時(shí)，OC最長(zhǎng)，最大值為3+1，∴OC的最大值為：34.如圖，四邊形ABDC中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝2∠D，AC＋1＝BC＋CD，AB＝3，則線段BD的長(zhǎng)為．【解答】作DN⊥AB交AB延長(zhǎng)線于N，延長(zhǎng)BN到M，使NM＝AB，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四邊形BCDN是矩形，∴BC＝DN，∵∠ABC＝∠MND＝90°，∴△ACB≌△MDN（SAS），∴∠A＝∠M，AC＝DM，∵CD∥AM，∴∠ACD＋∠A＝∠CDM＋∠M＝180°，∴∠ACD＝∠CDM＝2∠CDB，∴∠CDB＝∠BDM，∵∠MBD＝∠CDB，∴∠MBD＝∠BDM，∴MB＝MD，∵AC＋1＝BC＋CD，∴BM＋1＝BC＋BN，∴BN＋MN＋1＝BC＋NB，∵NM＝AB＝3，∴BC＝4，∴AC=A∴BM＝AC＝5，∴BN＝MB－MN＝5－3＝2，∴CD＝BN＝2，∴DB=CD25.【探究發(fā)現(xiàn)】某校