專題5.4復(fù)數(shù)(舉一反三講義)【全國通用】【題型1復(fù)數(shù)的概念】 【題型2共軛復(fù)數(shù)】 【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】 【題型4復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】 【題型5復(fù)數(shù)的相等】 1【題型6復(fù)數(shù)的模】 【題型7與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡(圖形)問題】 【題型8復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的根】 【題型9復(fù)數(shù)的三角表示】 真題統(tǒng)計(jì)(2)理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及相等的含義義2023年新高考I卷：第2題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第1題，5分2024年新高考I卷：第2題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第1題，5分5分、(理數(shù)):第1題，5分2025年全國一卷：第1題，5分2025年全國二卷：第2題，5分2025年北京卷：第2題，4分2025年天津卷：第10題，5分2025年上海卷：第10題，5分復(fù)數(shù)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是每年高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查比較穩(wěn)定，往往以單選題、填空題的形式考查，考查內(nèi)容、難度變化不大，主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題.預(yù)測(cè)明年高考復(fù)數(shù)依舊以單選題、填空題形式呈現(xiàn)，比較簡(jiǎn)單.知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)的概念(1)復(fù)數(shù)的概念我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bila,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程x2+1=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.(2)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R,其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.(3)復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi,當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0;當(dāng)b≠0時(shí)，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，它叫做純虛數(shù).顯然，實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即RC.復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下：復(fù)2.復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bila,b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d,即當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)才相等.知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)數(shù)的幾何意義根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b),而有序?qū)崝?shù))平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.如圖所示，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.(虛軸)b軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)由上可知，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b),這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi,連接OZ,顯然向量OZ由點(diǎn)Z唯一確定；反過來，點(diǎn)Z(相對(duì)于原點(diǎn)來說)也可以由向量OZ唯一確定.因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的(實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng)),即復(fù)數(shù)z=a+bi 一一對(duì)應(yīng)平面向量OZ,這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.2.復(fù)數(shù)的模向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模或絕對(duì)值，3.共軛復(fù)數(shù)(1)定義一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即若z=a+bi,則z=a-bi.特別地，實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(如圖).特別地，實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上.(3)性質(zhì)①2)=2.②實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z=zz∈R,利用這個(gè)性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).4.復(fù)數(shù)的模的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模z||就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，這是復(fù)數(shù)的模的幾何意義.(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,r表示一個(gè)大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點(diǎn)Z組成的集合是以原點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加法法則(2)復(fù)數(shù)的減法法則類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).(3)復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1=a+bi,z?=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成-1,并且把實(shí)部與虛部分別合并即可.(4)復(fù)數(shù)的除法法則由此可見，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).2.復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)z?=a+bi,z?=c+di(a,b,c,d∈R)對(duì)應(yīng)的向量分別為OZ,OZ?,則OZ?=(a,b),OZ?=(c,d).以O(shè)Z,OZ?對(duì)應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形OZ,ZZ?(如圖所示),則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得OZ=OZ+OZ?=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),即z=(a+c)+(b+d)i,即對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)的向量.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi,zz=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別是OZ,OZ?,那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差Z1-Z2對(duì)應(yīng)的向量是OZ?-OZ?,即向量Z?Z?.如果作OZ=Z?Z,那么點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是Z1-2(如圖所示).這說明兩個(gè)向量OZ?與OZ?的差Z?Z1就是與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對(duì)應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.3.復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧⑤i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i?=1(n∈Z).知識(shí)點(diǎn)4復(fù)數(shù)有關(guān)問題的解題策略1.復(fù)數(shù)的概念的有關(guān)問題的解題策略為虛數(shù)，則虛部b≠0,與實(shí)部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=0且b≠0.(3)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為z=a—bi,則z·z=Izl2=|212,即Iz=z.2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算的解題策略3.復(fù)數(shù)的幾何意義的解題策略由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.4.復(fù)數(shù)的方程的解題策略【方法技巧與總結(jié)】【方法技巧與總結(jié)】2.i?=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i?+3=-i(n∈N*).3.i4”+i?n+1+i?n+2+i?n+3=0(n∈N*).4.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)a≤Iz|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；【題型1復(fù)數(shù)的概念】A.-1B.0【答案】C【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及虛部的定義即可求出.【解答過程】因?yàn)?1+5i)i=i+5i2=-5+i,所以其虛部為1,【變式1-1】(2025·吉林·模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z=m2-1+(m+1)i為【解題思路】由純虛數(shù)定義列方程和不等式即可求解.【解答過程】由題可得A.iB.1C.-1【答案】C【解題思路】利用復(fù)數(shù)的概念求解判斷.【解答過程】復(fù)數(shù)z=2-i的虛部是-1.【變式1-3】(2025·云南曲靖·二模)已知復(fù)數(shù)z=(a+2)+(a2-a-6)i(a∈R),若z>0,則實(shí)數(shù)a的值為A.1B.2【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的分類列式計(jì)算作答.【解答過程】因?yàn)閦>0,【題型2共軛復(fù)數(shù)】【例2】(2025·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z滿足i·z=3+i(其中i為虛數(shù)單位),則z=()A.1-3iB.1+3iC.3-i【答案】B【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求得z,進(jìn)而可求得z.【解答過程】因?yàn)閕z=3+i,所,故z=1+3i.【答案】B【解題思路】利用復(fù)數(shù)的乘方及復(fù)數(shù)除法求出z,進(jìn)而求出其共軛復(fù)數(shù).【解答過程】依題意，所以zA.√2iB.√2C.-√2i【答案】D【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可求解虛部.【解答過程】因所以Z=3-√2i,即復(fù)數(shù)z的虛部為-√2.【變式2-3】(2025·湖南岳陽·三模)若復(fù)數(shù)z滿則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算求z,再由復(fù)數(shù)的幾何意義可得.【解答過程】因所以z=2+i.所以藝對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】【例3】(2025·天津河北·模擬預(yù)測(cè))i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4+3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)判斷其所在的象限.【解答過程】由4+3i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(4,3),即位于第一象限.【變式3-1】(2025·云南·模擬預(yù)測(cè))在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z?=-1+iA.1B.√2【解題思路】首先根據(jù)復(fù)平面內(nèi)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出復(fù)數(shù)z?,然后再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求【解答過程】z?=-1+i,其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,1).因?yàn)閺?fù)數(shù)z?與復(fù)數(shù)z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).所以z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-1),那么復(fù)數(shù)z?=-1-i.由z?=-1-i,其中a=-1,b=-1,將其代入模的計(jì)算公式可得：A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限確定a的范圍，再根據(jù)充分必要條件進(jìn)行判斷即可.【解答過程】若復(fù)數(shù)2+(2-a)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則2-a>0,所以a<2,故“a<0”是“復(fù)數(shù)2+(2-a)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的充分不必要條件.【變式3-3】(2025-湖南長(zhǎng)沙·二模)在復(fù)平面內(nèi)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)1-i,-1+2i對(duì)應(yīng)的向量分別是0M,A.-2+3iB.i【答案】A【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系確定MN的坐標(biāo)，即可確定其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【解答過程】因?yàn)閺?fù)數(shù)1-i,-1+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M(1,-1),N(-1,2),所以MN=ON-OM=(-1,2)-(1,-1)=(-2,3),則MN對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為-2+3i.【題型4復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】A.4-3i【答案】CA.-iB.i【解題思路】由復(fù)數(shù)除法即可求解.【解答過程】因?yàn)樗咀兪?-2】(2025-河南信陽·模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù),則z-z=()A.-2iB.2【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【解答過程】因所以z=3+i,所以z-z=3-i-(3+i)=-2i,【變式4-3】(2025·寧夏銀川·三模)已知復(fù),i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是()B.z的虛部為-iC.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第三象限【解題思路】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而求其模長(zhǎng)、虛部，寫出共軛復(fù)數(shù)并判斷點(diǎn)所在的象限并求z·z.【解答過程】則|z|=√2,虛部為-1,z=-1+i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-1,1)在第二象限，且z·z=2,故選：D.【題型5復(fù)數(shù)的相等】【例5】(2025·云南紅河·三模)若1-2i=a+bi(i為虛數(shù)單位),其中a,b為實(shí)數(shù)，則a+b的值為()A.1B.3C.-1【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等直接求解即可.【解答過程】因?yàn)?-2i=a+bi,所,所以a+b=-1.A.1+iB.1-iC.-1+i【解題思路】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及相等的條件求解即可.則2(z+)+2i=4a+2i=4+z-【變式5-2】(2025·遼寧遼陽·一模)已知(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i,其中a,b為實(shí)數(shù)，則()C.a=-1,b=-1D.a=1,b=1【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)的值.【解答過程】因?yàn)?1-2i)a+(3+4i)b=2+6i,解得a=-1,b=1,R),并且z?=Z?,則λ的取值范圍是()A.B.C.(-∞,7)【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件消去m可將λ用sinθ表示，根據(jù)三角函數(shù)的有界性結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【解答過程】∵z?=Z?,∴化為4sin2θ=λ+3sinθ,,【題型6復(fù)數(shù)的?！緼.2B.√5C.2√【解題思路】根據(jù)研究可確定復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求|z|即可.【解答過程】因?yàn)閦為復(fù)數(shù)，z-2為純虛數(shù)，z+i為實(shí)數(shù)，【變式6-1】(2025·湖北宜昌·二模)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(3+4i)z=5i,則|z|=()【解題思路】由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【解答過程】由題,則A.3【答案】C【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，求得a=-3,b=4,結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.故選：C.A.2√2B.√5C.√3【答案】A【解題思路】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求出模.【解答過程】由復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量OZ=(1,2),則z=1+2i,【題型7與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡(圖形)問題】A.2【解題思路】首先根據(jù)復(fù)數(shù)減法的模的幾何意義求點(diǎn)Z(x,y)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求最值.【解答過程】設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則|z-4+3i|=2?(x-4)又|z|=√x2+y2表示點(diǎn)Z(x,y)與原點(diǎn)的距離，故|z|的最小值為√42+(-3)2-2=3.【變式7-1】(2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè))設(shè)z∈C,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,的集合形成的圖形的面積為()A.πB.2π【答案】C【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知圖形為圓環(huán)，求圓環(huán)面積即可.【解答過程】z|-1|表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到(1,0)的距離，又1≤|z-1|≤2,所以點(diǎn)Z的集合形成的圖形為圓環(huán)，故選：C.【變式7-2】(2025·新疆烏魯木齊·三模)已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=2,則z||的取值范圍是()A.(0,1)B.[0,3]C.(1,3)D.[1,3]【解題思路】利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義作圖，數(shù)形結(jié)合即可求得|z|的取值范圍.【解答過程】由|z-1|=2可理解為復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)Z的軌跡是以C(1,0)為圓心，半徑為2的圓，而|z|則可理解為圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，作出圖形如下.如圖，當(dāng)點(diǎn)Z在Z?(3,0)時(shí)，與原點(diǎn)距離最大為3,當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Z在Z?(-1,0)時(shí)，與原點(diǎn)距離最小為1,故選：D.A.5【答案】D【解題思路】先通過模長(zhǎng)公式求出復(fù)數(shù)z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以B(-4,3)為圓心，2為半徑的圓，再利用|z?-z?|的最大值為兩圓圓心距加兩個(gè)圓的半徑即可求得結(jié)果.【解答過程】設(shè)z?=x+yi(x,y∈R),則|iz?+3+4i|=|3-y+(x+4)i|=√(3-y)2+(x+4)2=2,如圖，復(fù)數(shù)z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以B(-4,3)為圓心，2為半徑的圓，復(fù)數(shù)z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)0為圓心，1為半徑的圓，則|z?-z?lmax=|0B|+1+2=【題型8復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的根】【例8】(2025·山東青島·三模)若1+2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則b,c的值分C.b=-2,c=-5D.b=2,c=-5【解題思路】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的復(fù)數(shù)根的性質(zhì)求出方程的另一個(gè)根，再利用韋達(dá)定理求出b、c的值.【解答過程】已知1+2i是實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的復(fù)數(shù)根成對(duì)出現(xiàn)的性質(zhì)，可知方程的另一個(gè)根為1-2i.對(duì)于方程x2+bx+c=0,由韋達(dá)定理可得兩根之和x?+x?=-b,其中x?=1+2i,x?=1-2i,則(1+由韋達(dá)定理可知兩根之積x?X?=c,則(1+2i)(1-2i)=c.b的值為-2,c的值為5.【變式8-1】(2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè))已知1-i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個(gè)根(i為A.3B.2【解題思路】確定方程的另外一根，根據(jù)韋達(dá)定理即可求得答案.【解答過程】1-i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，所以1+i也是方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，所以n=(1-i)(1+i)=2.A.2B.3C.5【答案】D【解題思路】將1-2i代入x2+ax+b=0即解出a,b,最后求復(fù)數(shù)的模即可.【解答過程】將1-2i代入x2+ax+b=0有：(1-2i)2+a(1-2i)+b=0,【變式8-3】(2025-江西·二模)已知2-2i(i是虛數(shù)單位)是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的一個(gè)根，A.b=4,c=8B.b=4C.b=-4,c=8【解題思路】根據(jù)虛根成對(duì)原理2+2i也是方程的一個(gè)根，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得.【解答過程】因?yàn)?-2i(i是虛數(shù)單位)是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的一個(gè)根，所以2+2i也是方程的一個(gè)根，【題型9復(fù)數(shù)的三角表示】量在a上的投影向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是()A.2√3-3iB.3-2√3i【解題思路】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得旋轉(zhuǎn)后的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-√3i)并化簡(jiǎn)，再結(jié)合投影向量的定義求解.所以旋轉(zhuǎn)后的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所以旋轉(zhuǎn)后的向量b=(0,-2√3),【解題思路】根據(jù)題設(shè)e的表達(dá)式求出e-i?的表達(dá)式，再代入選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)即得.對(duì)于C,,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D,由B項(xiàng)知，,故D項(xiàng)錯(cuò)位)是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解題思路】由棣莫弗公式化簡(jiǎn)結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第二象限.【變式9-3】(2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè))法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754年)發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)z?=r?(cosθ?+isinθ?),Z?=r?(cosθ?+isinθ?)(r?,r?>0),則Z?Zz=r?r?[cos(θ?+θ?)+isin(θ?+θ?)].則z2024的虛部為()A.B.C.1【解題思路】變形復(fù)數(shù)z,根據(jù)題中定義進(jìn)行計(jì)算，即可判定.【解答過程】【解題思路】化簡(jiǎn)式子，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模公式計(jì)算即可.2.(2025-河北邢臺(tái)·三模)若a+i=b+2-ai(a,b∈R),則a+b=()A.2B.4C.-4【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念可得.3.(2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z滿足|z-3-4i|=5(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上不A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】C【解題思路】設(shè)z=x+yi,(x,y∈R),由已知得z在復(fù)平面的軌跡是以(3,4)為圓心，5為半徑的圓，由圖即可判斷.【解答過程】設(shè)z=x+yi,(x,y∈R),由|z-3-4i|=5得可得z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(3,4)為圓心，5為半徑的圓，(如圖).由圖知圓(x-3)2+(y-4)2=5顯然不經(jīng)過第三象限，故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上不可能位于第三象限.4.(2025-江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)),其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z的模為()A.√5B.2C.2√5【答案】B【解題思路】先求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和模的定義求解.【解答過程】所以z=-2i,且|閎|=2.5.(2025·全國·二模)已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2-3i,則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解題思路】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第三象限.6.(2025·海南·模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)i(i為虛數(shù)單位),則z3等于()A.1B.-1C.i【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【解答過程】因?yàn)閺?fù)根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得7.(2025·廣東佛山·三模)復(fù)平面上A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,-2+i,向量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,【答案】D【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出A,B坐標(biāo)即可得出復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求出模.【解答過程】由題意可得，A(1,3),B(-2,1),則AB=(-3,-2),8.(2025·北京海淀·三模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【解答過程】原2·i=1-i-i=1-2i,對(duì)應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)為(1,-2),在第四象限.二、多選題A.|z?·Z?l=|z?1·|z?lB.|z?+z?l=|z?I+|z?lC.|z?-Z?l=|z1+Z?|D.|z?-Z?l=|21-Z?l【解題思路】設(shè)z?=a?+b?i,Z?=a?+b?i(a?,a?,b?,b?∈R),根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法及復(fù)數(shù)模的定義計(jì)算判斷A,取特殊值判斷B,根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算及模與共軛的概念運(yùn)算判斷C,根據(jù)復(fù)數(shù)的模及共軛運(yùn)算判斷D.對(duì)于A選項(xiàng)，Z?·Zz=(a?+b?i)·(a?+b?i)=(a?a?-b?b?)+(a?b?+a?b?)i,=√(a2+b2)(a2+b3)=Iz?I·lz?|,A對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，Z?-zz=a?-az+(b?-b?)i,|z?-z?I=√(a?-a?)2+(b?-b?)2,Z?+Z?=a?+a?+(b?+b?)i,Z1+Z2=a?+a?-Z1-z2=a?-b?i-a?+b?i=a?-az+(b?-b?)i,|z1-z?l=√(a?-a?)所以|z?-z?I=|21-z2|A.若復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，則z=0B.若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則m=±2D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第二象限【解題思路】對(duì)于AB,由復(fù)數(shù)的概念驗(yàn)算即可；對(duì)于C,由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可；對(duì)于D,由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【解答過程】對(duì)于A,依題意可得m-2=0,即m=2,則z=0,故A正確；對(duì)于D,若復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則→m∈?,所以D正確，11.(2025-江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)【解題思路】對(duì)A,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求解，判斷；對(duì)B,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模計(jì)算判斷；對(duì)C,根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解判斷；對(duì)D,根據(jù)實(shí)系數(shù)的一元二次方程的虛根成對(duì)的原理，可判斷.【解答過程】對(duì)于A,由z?=1+i,得(z?-1)2025=i2025=i?×506+1=i,故A正確；對(duì)于B,由z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,|z?I2=x2+y2,得z2≠|(zhì)z?I2,故B錯(cuò)誤；對(duì)于D,若z?,z?為實(shí)系數(shù)方程x2-ax+b=0所以a=1+i+1-i=2,b=(1+i)(1-i)=2,故D正確.【解題思路】先由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化,再由復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式即可計(jì)算求解.【答案】【