高數(shù)A卷考試試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1且x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)（）A.0B.1C.3D.\(\frac{1}{3}\)3.函數(shù)\(y=x^3\)在點\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.04.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)等于（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(x\)5.\(\int\cosxdx=\)（）A.\(\sinx+C\)B.\(-\sinx+C\)C.\(\cosx+C\)D.\(-\cosx+C\)6.曲線\(y=x^2\)與\(y=1\)所圍成的平面圖形的面積為（）A.\(\frac{4}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.17.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點\((1,1)\)處的全微分\(dz\)為（）A.\(2dx+2dy\)B.\(dx+dy\)C.\(2dx+dy\)D.\(dx+2dy\)8.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂的D.絕對收斂的9.微分方程\(y'=2x\)的通解是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=x^2+C\)C.\(y=2x+C\)D.\(y=C\)10.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx-\int_{a}^f(t)dt=\)（）A.\(f(x)-f(t)\)B.0C.\(f(b)-f(a)\)D.\(f(a)-f(b)\)答案：1.C2.C3.C4.A5.A6.A7.A8.B9.B10.B二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處連續(xù)的有（）A.\(y=\sinx\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\begin{cases}x+1,x\geq0\\1,x<0\end{cases}\)D.\(y=e^x\)2.下列求導(dǎo)公式正確的是（）A.\((x^n)'=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)'=\cosx\)C.\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)'=e^x\)3.下列積分計算正確的是（）A.\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)4.關(guān)于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)，下列說法正確的是（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}\)是把\(y\)看作常數(shù)對\(x\)求導(dǎo)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}\)是把\(x\)看作常數(shù)對\(y\)求導(dǎo)C.偏導(dǎo)數(shù)存在則函數(shù)一定連續(xù)D.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則函數(shù)可微5.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)6.微分方程的解的類型有（）A.通解B.特解C.一般解D.全部解7.下列哪些是不定積分的性質(zhì)（）A.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)B.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.\((\intf(x)dx)'=f(x)\)D.\(\intf'(x)dx=f(x)+C\)8.曲線\(y=f(x)\)的拐點可能出現(xiàn)在（）A.\(f''(x)=0\)的點B.\(f''(x)\)不存在的點C.\(f'(x)=0\)的點D.\(f(x)\)不連續(xù)的點9.對于函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)，下列說法正確的是（）A.它是一個數(shù)值B.與積分變量的選取無關(guān)C.當(dāng)\(f(x)\geq0\)時，它表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)軸圍成的曲邊梯形面積D.當(dāng)\(f(x)\)在\([a,b]\)上不連續(xù)時，定積分不存在10.多元函數(shù)的極值點可能是（）A.駐點B.偏導(dǎo)數(shù)不存在的點C.邊界點D.一階導(dǎo)數(shù)為0的點答案：1.ACD2.ABCD3.ABCD4.ABD5.ABC6.AB7.ABCD8.AB9.ABC10.AB三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域是\(x\geq1\)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y'=3x^2\)，則其圖像在\(x=0\)處的切線方程是\(y=0\)。（）4.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)。（）5.二元函數(shù)\(z=x+y\)的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}=1\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=1\)。（）6.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）7.微分方程\(y'+y=0\)的通解是\(y=Ce^{-x}\)。（）8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）9.函數(shù)\(y=x^2\)在\((-\infty,0)\)上是單調(diào)遞減的。（）10.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的全微分\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}|_{(x_0,y_0)}dx+\frac{\partialz}{\partialy}|_{(x_0,y_0)}dy\)。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'>0\)，得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y'<0\)，得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計算\(\intxe^xdx\)。答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C\)。3.求函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點\((1,2)\)處沿向量\(\vec{l}=(1,1)\)方向的方向?qū)?shù)。答案：先求偏導(dǎo)數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2y\)。在點\((1,2)\)處，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=4\)。向量\(\vec{l}\)的單位向量\(\vec{e}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\)，方向?qū)?shù)為\(\frac{\partialz}{\partialx}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\partialz}{\partialy}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)。4.求微分方程\(y'-2y=0\)的通解。答案：這是一階線性齊次微分方程，其通解公式為\(y=Ce^{\int2dx}\)。\(\int2dx=2x\)，所以通解為\(y=Ce^{2x}\)，\(C\)為任意常數(shù)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,x<0\\0,x=0\\x-1,x>0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：\(\lim_{x\to0^{-}}f(x)=1\)，\(\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-1\)，\(f(0)=0\)，左右極限不相等且不等于函數(shù)值，所以不連續(xù)。不連續(xù)則不可導(dǎo)。2.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)的斂散性與\(p\)的關(guān)系。答案：當(dāng)\(p>1\)時，級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂；當(dāng)\(p\leq1\)時，級數(shù)發(fā)散?？赏ㄟ^\(p-\)級數(shù)斂散性結(jié)論或積分判別法等證明。3.討論二元函數(shù)\(z=x^2+y^2-2x+4y\)的極值情況。答案：先求偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x-2\)，\(\frac{\partialz}{\partial