7.3.2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(精講）目錄一、必備知識(shí)分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:復(fù)數(shù)三角形式的乘法題型2：復(fù)數(shù)三角形式的除法題型3：復(fù)數(shù)乘法、除法的幾何意義一、必備知識(shí)分層透析知識(shí)點(diǎn)1：復(fù)數(shù)三角形式的乘法設(shè)，的三角形式分別是：，，則簡(jiǎn)記為：模數(shù)相乘，幅角相加知識(shí)點(diǎn)2：復(fù)數(shù)乘法的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘時(shí)，可以像下圖那樣，先分別畫出與對(duì)應(yīng)的向量，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積.這就是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.知識(shí)點(diǎn)3：復(fù)數(shù)三角形式的除法及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)三角形式的除法設(shè)，，且，因?yàn)椋愿鶕?jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有.這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.簡(jiǎn)記為：模數(shù)相除，幅角相減（2）復(fù)數(shù)除法的幾何意義幾何意義：把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一個(gè)輻角，長(zhǎng)度除以的模，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是zz0．知識(shí)點(diǎn)4：復(fù)數(shù)的乘方及其幾何意義利用復(fù)數(shù)的乘法不難得到.這說(shuō)明,復(fù)數(shù)的次方等于它模的次方,幅角的倍.的幾何意義是將向量的模變?yōu)樵瓉?lái)的次方,然后再將它繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角,就得到對(duì)應(yīng)的向量.二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:復(fù)數(shù)三角形式的乘法典型例題1．若復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：，，．故選：C．2．計(jì)算的值是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)樗裕?，故選：B.3．設(shè)，，復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，．若，，，則四邊形的面積為______．【答案】【詳解】由，得，由，得，因，所以，即，且，又因，所以，即，且,因此.故答案為：.4．計(jì)算：(1)；【答案】(1)；【詳解】（1）.5．計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(3)(1)(2)6．關(guān)于x的不等式的解集為．求實(shí)數(shù)a，b的值；若，，且為純虛數(shù)，求的值．【答案】（1），（2）【詳解】解：(1)不等式即的解集為．,b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,由，，解得,．(2)由(1)知,為純虛數(shù)，,,解得.題型2：復(fù)數(shù)三角形式的除法典型例題1．計(jì)算(cos＋isin)÷＝________．【答案】【詳解】由復(fù)數(shù)除法的幾何意義知：(cos＋isin)÷＝.故答案為：2．計(jì)算________．【答案】【詳解】故答案為：.3．計(jì)算：(1)．【答案】(2).【詳解】（2）.4．計(jì)算:4(cos80°+isin80°)÷[2(cos320°+isin320°)].【答案】【詳解】解：題型3：復(fù)數(shù)乘法、除法的幾何意義典型例題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線為始邊，為終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的角為，則，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，得當(dāng)時(shí)，，，∴．∵，∴，故選：D2．（多選）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝a＋bi對(duì)應(yīng)向量為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，）．設(shè)，射線Ox為始邊，OZ為終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角為，則．?dāng)?shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：設(shè)，則，我們稱這個(gè)結(jié)論為英弗定理，并由此定理推出了復(fù)數(shù)乘方公式：，根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)r＝1，時(shí)， B．當(dāng)r＝1，時(shí)，C． D．當(dāng)r＝1，時(shí)，若n為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)【答案】BC【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，則，所以，又，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，取時(shí)，則為偶數(shù)，此時(shí)不是純虛數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC．3．（多選）棣莫佛（，1667~1754）出生于法國(guó)香檳，十八歲去了英國(guó)倫敦，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文，英國(guó)著名詩(shī)人波普（A.Pope，1688~1744）在《人類小品》中寫道：“是誰(shuí)教那蜘蛛/不用直線或直尺幫忙/畫起平行線來(lái)/和棣莫佛一樣穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根據(jù)這個(gè)公式可得（

）A．B．C．D．存在8個(gè)不同的復(fù)數(shù)，使【答案】AD【詳解】解：根據(jù)題意，在，令可得.對(duì)于A，設(shè)，則有，變形可得，則，A正確；對(duì)于B，設(shè)，則有，變形可得，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，若，即，則有，，則，在區(qū)間上，有8個(gè)解，即存在8個(gè)不同的復(fù)數(shù)，使，D正確；故選：AD.4．_____.【答案】【詳解】原式故答案為：5．÷()=_____.【答案】【詳解】解：原式，故答案為：6．計(jì)算：．【答案】【詳解】因?yàn)?，同理可得，以此類推可知，?duì)任意的，，因此.7．求證:.【詳解】左邊===右邊.8．著名數(shù)學(xué)家棣莫佛（Demoivre，1667~1754）出生于法國(guó)香檳