8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點題型分類研究題型1:圓柱的表面積與體積題型2：圓錐的表面積與體積題型3：圓臺的表面積與體積題型4：球的表面積與體積題型5：外接球問題題型6：內切球問題題型7：幾何體的表面積（體積）的最值問題題型8：簡單組合體的表面積和體積三、高考（模擬）題體驗一、必備知識分層透析知識點1：圓柱、圓錐、圓臺的表面積（1）圓柱的表面積①圓柱的側面積：圓柱的側面展開圖是一個矩形.圓柱的底面半徑為,母線長為,那么這個矩形的一邊長為圓柱的底面周長，另一邊長為圓柱的母線長，故圓柱的側面積為.②圓柱的表面積：.（2）圓錐的表面積①圓錐的側面積：圓錐的側面展開圖是一個扇形.圓錐的底面半徑為,母線長為,那么這個扇形的弧長為圓錐的底面周長，半徑為圓錐的母線長，故圓錐的側面積為②圓錐的表面積：（3）圓臺的表面積①圓臺的側面積：圓臺的側面展開圖是一個扇環(huán).圓臺的上底面半徑為,下底面半徑為,母線長為,故圓臺的側面積為②圓臺的表面積：知識點2：圓柱、圓錐、圓臺的體積（1）圓柱的體積：（2）圓錐的體積：（3）圓臺的體積：知識點3：球的表面積和體積（1）球的表面積：（2）球的體積:二、重點題型分類研究題型1:圓柱的表面積與體積典型例題例題1．要制作一個容積為的圓柱形封閉容器，要使所用材料最省，則圓柱的高和底面半徑應分別為（

）A．， B．，C．， D．，例題2．已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的4倍，則它的側面積擴大為原來的___________倍.例題3．某學生到某工廠進行勞動實踐，利用打印技術制作模型.如圖，該模型為一個大圓柱中挖去一個小圓柱后的剩余部分（兩個圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為的正方形，小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為________g.（?。├}4．一個圓錐的底面半徑為，高為，在其內部有一個高為的內接圓柱.(1)求圓錐的側面積和體積；(2)當為何值時，圓柱的側面積最大？并求出側面積的最大值.同類題型演練1．一個圓柱的底面半徑為，高為，則它的側面積為___________.2．已知圓柱上、下底面的圓周都在一個體積為的球面上，圓柱底面半徑為，則該圓柱的表面積為__________．3．有一根長為hcm，底面半徑為rcm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在該圓柱的側面上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，若鐵絲長度的最小值為40cm，則圓柱側面積的最大值為______．4．在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的體積為__．5．一個圓錐的底面半徑為，高為，其中有一個高為的內接圓柱.(1)求圓錐的側面積；(2)當為何值時，圓柱側面積最大？并求出最大值.題型2：圓錐的表面積與體積典型例題例題1．在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南極洲外，在其他大陸都有發(fā)現(xiàn)．<<世界圖書百科全書>>這樣寫道：“沒有人準確知道人們最初玩陀螺的時間．但古希臘兒童玩過陀螺，而在中國和日本，陀螺成為公眾娛樂已有幾百年的時間．”已知一陀螺圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，底面圓的直徑，這個陀螺的表面積（

）A． B． C． D．例題2．已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且圓錐的母線長為2，則圓錐的側面積是（

）．A． B．2 C． D．例題3．已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為__________．同類題型演練1．已知一個圓錐的體積為，其側面積是底面積的2倍，則其底面半徑為（

）A． B．3 C． D．2．已知圓錐的頂點為點，高是底面半徑的倍，點，是底面圓周上的兩點，當是等邊三角形時面積為，則圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．3．已知圓錐的側面展開圖是一個圓心角為120°且面積為3π的扇形，則該圓錐的體積等于_______.4．已知圓錐的側面展開圖為半圓，母線長為.（1）求圓錐的底面積；（2）在該圓錐內按如圖所示放置一個圓柱，當圓柱的側面積最大時，求圓柱的體積.題型3：圓臺的表面積與體積典型例題例題1．如圖，圓臺的側面展開圖為半圓環(huán)，圖中線段，為線段的四等分點，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．例題2．如圖是一個圓臺的側面展開圖，其面積為，兩個圓弧所在的圓半徑分別為2和4，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．例題3．（多選）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧所在圓的半徑分別是3和9，且，則該圓臺的（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．上底面積?下底面積和側面積之比為例題4．如圖所示的圓錐，頂點為，底面半徑是5cm，用一個與底面平行的平面截得一圓臺，圓臺的上底面半徑為2.5cm，這個平面與母線交于點，線段的長為10cm．(1)求圓臺的側面積；(2)把一根繩從線段的中點開始沿著側面繞到點，求這根繩的最短長度；(3)在（2）的條件下，這根繩上的點和圓臺上底面上的點的距離中，最短的距離是多少？同類題型演練1．已知某圓臺的高為，上底面半徑為，下底面半徑為，則其側面展開圖的面積為（

）A． B． C． D．2．若一個圓臺的高為，母線長為，側面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．3．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的倍，母線長為，圓臺的側面積為，則圓臺的體積為（

）參考公式：臺體的體積公式為.A． B． C． D．4．已知圓臺的上、下底面的面積分別為、，側面積是，則這個圓臺的體積是（

）A． B． C． D．5．如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則該圓臺的體積為_________；側面積為_________．題型4：球的表面積與體積典型例題例題1．已知兩個球的表面積之比為，則這兩個球的體積之比為（

）A． B． C． D．例題2．木星的體積約是地球體積的倍，則它的表面積約是地球表面積的（

）A．60倍 B．倍 C．120倍 D．倍例題3．若一平面截一球得到半徑為的圓面，球心到這個圓面的距離是球半徑的一半，則該球的表面積等于___________.例題4．如圖，“甜筒”狀旋轉幾何體，由一個圓錐與一個半球組合而成，其中圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則這個組合體的表面積為________.同類題型演練1．如果兩個球的表面積之比為4∶9，那么這兩個球的體積之比為（）A．2∶3 B．4∶9 C．8∶27 D．16∶812．已知兩個球的表面積之差為，它們的大圓周長之和，則這兩個球的半徑之差_______．3．已知球的半徑等于1，則該球的體積等于______.4．表面積為的球的體積為______題型5：外接球問題典型例題例題1．一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1、、3，則此球的體積為______．例題2．已知一個棱長為的正方體的頂點都在球面上，則該球體的體積為（

）A． B． C． D．例題3．已知四面體的所有頂點在球的表面上，平面，，，，則球的體積為（

）A． B． C． D．例題4．四棱錐中，，則經過，，，的外接球的表面積是__________．例題5．已知的頂點都是球的球面上的點，，，，若三棱錐的體積為，則球的表面積為___________.同類題型演練1．一個底面積為1的正四棱柱的頂點都在同一球面上，若此球的表面積為，則該四棱柱的高為（

）A． B．2 C． D．2．已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．設直三棱柱的所有頂點都在一個球面上，，，且底面的面積為，則此直三棱柱外接球的表面積是（

）A． B． C． D．5．已知直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，則此球的表面積為_________．題型6：內切球問題典型例題例題1．已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內切球表面積為（

）A． B． C． D．例題2．如圖所示，已知球為棱長為3的正方體的內切球，則平面截球的截面面積為（

）A． B． C． D．例題3．若正四棱錐內接于球，且底面過球心，球的半徑為4，則該四棱錐內切球的體積為_________．同類題型演練1．已知正三棱錐中，側面與底面所成角的正切值為，，這個三棱錐的內切球和外接球的半徑之比為（

）A． B． C． D．2．如圖，已知球是棱長為1的正方體的內切球，則平面截球的截面面積為（

）A． B．C． D．3．若正四棱錐內接于球，且底面過球心，則球的半徑與正四棱錐內切球的半徑之比為__________.題型7：幾何體的表面積（體積）的最值問題典型例題例題1．四面體的所有頂點都在同一個球面上，且，若該球的表面積為，則四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．例題2．已知圓臺上、下底面半徑分別為1和3，母線長為4，是下底面的直徑，若點是下底面圓周上的動點，點是上底面內的動點，則四面體的體積最大值為（

）A． B． C． D．例題3．已知圓錐的母線長與底面直徑都等于2，一個圓柱內接于這個圓錐，即圓柱的上底面是圓錐的一個截面，下底面在圓錐的底面內，則圓柱側面積的最大值為(

)A． B． C． D．3同類題型演練1．《九章算術》中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，的面積為4，則該“陽馬”外接球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．2．《算數(shù)術》竹簡于上世紀八十年代出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.現(xiàn)有一圓錐底面周長為，側面面積為，其體積的近似公式為，用此π的近似取值（用分數(shù)表示）計算過該圓錐頂點的截面面積的最大值為（

）A．15 B． C． D．83．在封閉的直三棱柱內有一個體積為V的球，若，則V的最大值是___________．4．在棱長為的正方體中，分別是棱上的動點，且，則三棱錐的體積的最大值為_______．題型8：簡單組合體的表面積和體積典型例題例題1．紅燈籠，起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側面，中間是球面除去上下兩個相同球冠剩下的部分.如圖2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積.如圖1，已知該燈籠的高為58cm，圓柱的高為5cm，圓柱的底面圓直徑為14cm，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為（

）A． B． C． D．例題2．木楔子在傳統(tǒng)木工中運用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為正三角形，，則該木楔子的體積為（

）A． B． C． D．例題3．如圖，某幾何體的下部分是長?寬均為8，高為3的長方體，上部分是側棱長都相等且高為3的四棱錐，求：（1）該幾何體的體積；（2）該幾何體的表面積.例題4．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圓錐形（如圖）.現(xiàn)把半徑為10cm的圓形蛋皮分成相同的5個扇形，用一個扇形蛋皮圍成錐形側面（蛋皮厚度忽略不計），求該蛋筒冰淇淋的體積（精確到0.1）.同類題型演練1．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何模型.如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）.已知這個牟合方蓋與正方體內切球的體釈之比為，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為（

）A． B． C． D．2．六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無味、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結構為正八面體結構（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如圖所示.若此正八面體的棱長為2，若它的內切球的表面積為，外接球表面積為，則的值為（

）A．3 B．2 C． D．3．唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2），當這種酒杯內壁的表面積（假設內壁表面光滑，表面積為S平方厘米，半球的半徑為R厘米）固定時，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值可能為（

）A． B． C． D．4．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長為的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為________．三、高考（模擬）題體驗1．已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B．