8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點題型分類研究題型1:空間中兩條直線位置關(guān)系的判斷題型2：直線與平面的位置關(guān)系題型3：平面與平面的位置關(guān)系題型4：異面直線題型5：異面直線所成角題型6：由異面直線所成角求參數(shù)題型7：空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系的綜合問題題型8：平面分空間問題一、必備知識分層透析知識點1：異面直線（1）異面直線的概念不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（2）異面直線的畫法畫異面直線時,為了體現(xiàn)它們不共面的特點，常借助一個或兩個平面來襯托（3）異面直線的判定①定義法②兩直線既不平行也不相交知識點2：空間中直線與直線的位置關(guān)系eq\a\vs4\al(位置,關(guān)系)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；,平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.))知識點3：空間中直線與平面的位置關(guān)系（1）直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線在平面外直線與平面相交直線與平面平行公共點有無數(shù)個公共點只有1個公共點沒有公共點符合表示圖形表示（2）直線與平面的位置關(guān)系的分類①按公共點個數(shù)分類：②按直線是否在平面內(nèi)分類：（3）直線與平面的位置關(guān)系的畫法①直線在平面內(nèi)的畫法把直線畫在表示平面的平行四邊形內(nèi)②直線與平面相交的畫法把直線的一部分畫在表示平面的平行四邊形外，作出有且只有一個的交點，直線被平面遮擋的部分不畫或畫為虛線③直線與平面平行的畫法把直線畫在表示平面的平行四邊形外，并使直線與表示平面的平行四邊形的組對邊平行.知識點4：空間中平面與平面的位置關(guān)系（1）平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點(在一條直線上)符號表示圖形表示（2）平面與平面的位置關(guān)系的分類（3）平面與平面的位置關(guān)系的畫法①兩個平面平行的畫法當(dāng)兩個平面平行時，要注意把表示平面的平行四邊形畫成對應(yīng)邊平行②兩個平面相交的畫法：被遮住的線，可以用虛線表示，也可以不畫二、重點題型分類研究題型1:空間中兩條直線位置關(guān)系的判斷典型例題例題1．已知三條直線，，滿足且，則與（

）A．平行 B．垂直 C．共面 D．異面【答案】B【詳解】若且，根據(jù)空間直線垂直的定義，可得，不平行，有可能共面，也有可能異面.故選：B.例題2．如圖，已知分別是正方體所在棱的中點，則下列直線中與直線相交的是（

）．A．直線 B．直線C．直線 D．直線．【答案】A【詳解】如圖，易知，所以，且，所以為梯形，故與EF相交，A正確；因為，所以，故B錯誤；因為平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，所以直線CD與直線EF無公共點，故C錯誤；因為平面ADF，平面，故AD與EF異面，D錯誤.故選：A例題3．在正方體中，點，分別在上，且，則與的位置關(guān)系是____________．【答案】平行【詳解】解：連接并延長，交于點M，易得，所以，所以M為AD中點，連接BF并延長，交AD與點N，易得，所以，所以N為AD中點，所以M，N重合，所以，所以故答案為：平行同類題型演練1．已知直線m，n是平面的兩條斜線，若m，n為不垂直的異面直線，則m，n在平面內(nèi)的射影（

）A．不可能平行，也不可能垂直 B．可能平行，但不可能垂直C．可能垂直，但不可能平行 D．可能平行，也可能垂直【答案】D【詳解】如圖，在正方體中，即為，為，底面為平面，則m，n在平面內(nèi)的射影和垂直；如圖，在正方體中，即為，為，底面為平面，則m，n在平面內(nèi)的射影和平行；綜上，m，n在平面內(nèi)的射影可能平行，也可能垂直.故選：D.2．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為CC1，D1C1的中點，則下列直線中與直線相交的是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】A【詳解】連接，則，由，可得四邊形為平行四邊形，∴，，所以，即四邊形為梯形，故直線與直線相交，直線與直線為異面直線，直線與直線為異面直線，直線與直線為異面直線.故選：A.3．若空間三條直線、、滿足，，則直線與（

）A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是異面直線 D．一定相交【答案】B【詳解】，則、所成的角為直角，又因為，所以，、所成的角為直角，即.故選：C.題型2：直線與平面的位置關(guān)系典型例題例題1．如果直線，和平面滿足，，那么．()【答案】錯誤【詳解】根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系可得，若滿足a∥α，b∥α，則a∥b或a，b相交，或a，b異面，故原命題錯誤.故答案為：錯誤例題2．已知，且，那么直線與平面的位置關(guān)系是（

）A．必相交 B．必平行C．相交或平行 D．平行或在平面內(nèi)【答案】D【詳解】因為，且，那么直線b在內(nèi)或平行.故選：D例題3．（多選）若存在直線和直線，滿足與不平行，則下列說法正確的是（

）A．內(nèi)一定存在直線與平行 B．可能與平面平行C．內(nèi)一定存在直線與垂直 D．可能與平面垂直【答案】BCD【詳解】依題意可得l與平面相交，則內(nèi)一定不存在直線與l平行，故A錯；l可能與平面平行或l可能與平面垂直，故BD正確；不論l與平面平行或相交，內(nèi)一定存在直線與l垂直，C正確．故選：BCD同類題型演練1．已知直線a∥平面α，直線b?平面α，則（）A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)與b異面C．a(chǎn)與b相交 D．a(chǎn)與b無公共點【答案】D【詳解】因為直線a∥平面α，所以直線a與平面α無公共點，而直線b?平面α，所以a與b平行或異面，所以兩者無公共點．故選：D.2．“直線與平面沒有公共點”是“直線與平面平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】若直線與平面沒有公共點，那直線與平面只能平行，故充分條件成立；若直線與平面平行，則直線與平面沒有公共點，故必要性也成立，所以“直線與平面沒有公共點”是“直線與平面平行”的充分必要條件.故選：C3．已知直線m、n，平面，在下列命題中，真命題的個數(shù)是______．（1）若，，則；（2）若，，則．【答案】0【詳解】（1）由，，可得或，故錯誤；（2）由，，可得或m、n異面，故錯誤.故答案為：0.4．在長方體所有的表面所在的平面中，與直線平行的平面有______．【答案】平面【詳解】如圖，長方體所有的表面所在的平面中，與直線平行的平面為平面；故答案為：平面.題型3：平面與平面的位置關(guān)系典型例題例題1．平面∥平面，，則直線和的位置關(guān)系（

）A．平行 B．平行或異面 C．平行或相交 D．平行或相交或異面【答案】B【詳解】∵平面平面，∴平面與平面沒有公共點，∵，，∴直線，沒有公共點∴直線，的位置關(guān)系是平行或異面，故選：B.例題2．，是兩個平面，，是兩條直線，下列四個命題中正確的是（

）A．若，,則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】C【詳解】A項：若，，則或，故選項A不正確；B項：若，，則或m與n異面，故選項B不正確；C項：若，則與沒有公共點，又因為，所以m與沒有公共點，所以，故選項C正確；D項：若，，，則或與相交，故選項D不正確.故選：C.例題3．已知直線，和平面，，若，，，，則，的位置關(guān)系是________．【答案】平行或相交【詳解】若a∥b，則α，β相交或平行；若a，b相交，則α，β平行；故答案為：平行或相交.同類題型演練1．設(shè)為平面，點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過點有且只有一條直線與平行 B．過點沒有直線與平行C．過點有且只有一個平面與平行 D．過點有無數(shù)個平面與平行【答案】C【詳解】因為點，故過點有無數(shù)條直線與平行，故錯誤；過點有且只有一個平面與平行，故正確，錯誤.故選：.2．已知平面，且，，則直線a，b的關(guān)系為（

）A．一定平行 B．一定異面C．不可能相交 D．相交、平行或異面都有可能【答案】C【詳解】由平面，且，可知直線a，b沒有公共點，故它們一定不相交，即可能是平行或異面．故選：C．3．在空間中，給出下列說法：①平行于同一個平面的兩條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個平面是平行平面；③若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則；④過平面的一條斜線，有且只有一個平面與平面垂直.其中正確的是（

）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【答案】B【詳解】①平行于同一個平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則與可能平行，也可能相交，不正確；易知④正確.故選B.題型4：異面直線典型例題例題1．異面直線指的是（

）A．兩條不相交的直線 B．兩條不平行的直線C．不同在某個平面內(nèi)的兩條直線 D．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線【答案】D【詳解】由異面直線定義知：異面直線是不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.故選：D.例題2．在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面，其中母線，是弧的中點，是的中點，則（

）A．，與是共面直線 B．，與是共面直線C．，與是異面直線 D．，與是異面直線【答案】D【詳解】在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面，其中母線，是的中點，是的中點，如圖，，，，在中，是的中點，是的中點，，與是共面直線，若AC與EF是共面直線,則在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線，故選：D．例題3．如圖，在三棱臺的9條棱所在直線中，與直線是異面直線的共有________條.【答案】3【詳解】空間直線的位置關(guān)系有平行、相交、異面，即不平行也不相交則異面，由圖可知九條棱中，，，，，與相交，沒有直線與平行，所以與直線是異面直線的共有3條，分別為，，，故答案為：3同類題型演練1．如圖所示，長方體中，，P是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線BP異面的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在長方體中，，當(dāng)是與的交點時，平面，與相交，A不是；當(dāng)點與重合時，平面，與相交，B不是；當(dāng)點與重合時，因為長方體的對角面是矩形，此時，C不是；因為平面，平面，而平面，因此與是異面直線，D是.故選：D2．正方體中，與面ABCD的對角線AC異面的棱有（

）．A．4條 B．6條 C．8條 D．10條【答案】B【詳解】如圖，在正方體中，與面的對角線異面的棱有，，，，，，共6條．故選：B3．已知直線．如果直線同時滿足條件：①與異面；②與成定角；③與的距離為定值．那么這樣的直線有__________條．【答案】無數(shù)【詳解】如圖所示：，異面，則平面內(nèi)任意一條與平行的直線都滿足要求，故答案為：無數(shù)題型5：異面直線所成角典型例題例題1．若直線，為異面直線，則與所成的角的大小可以為()【答案】錯誤【詳解】異面直線所成的角的大小范圍為大于小于等于，故不可能取135°．故答案為：錯誤例題2．在正方體中，異面直線與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】異面直線與夾角等于與夾角；連接，則為異面直線AB1與BD所成的角，為正三角形，所以，所以異面直線與夾角為.故選：B例題3．已知異面直線和所成的角為，為空間一定點，則過點且與，所成角都是的直線有且僅有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【詳解】在直線上取線段，過作，過作平面平面，且使平面平分，顯然，在平面的兩側(cè)能分別取得點，使，．過作、，則直線就是滿足條件的直線，所以滿足條件的直線有兩條，故選B．例題4．已知四面體中，、、分別為、、的中點，且異面直線與所成的角為，則_________.【答案】或【詳解】如圖，因為、、分別為、、的中點，故，，故與所成的角即與所成的角為，且與相等或者互補，故或.故答案為：或例題5．如圖，圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，母線長，過的中點作的垂線交圓于點，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題知B在直角梯形中，因為B為的中點，，所以，連接，易證四邊形為矩形，所以，所以為異面直線與所成的角，在中，，所以,連接，在中，由，，得；在中，，所以，故選：B.同類題型演練1．如圖，在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，則EF和AC所成的角等于A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【詳解】如圖所示，取BC的中點G，連接FG，EG．，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，，，且，．為EF與AC所成的角．又，．又，，，為等腰直角三角形，，即EF與AC所成的角為45°．故選：B．2．在正方體中與成角的面對角線的條數(shù)是（

）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【詳解】如下圖所示：由圖可知，和均為等邊三角形，與成且相交的面對角線有：、、、，共條；由于，，，，所以，與成且異面的對角線有：、、、，共條.其中，面對角線、與垂直，.綜上所述，在正方體中與成角的面對角線的條數(shù)是.故選：C.3．在正方體中，P為的中點，則直線PB與所成的角的正切值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【詳解】連接與交于，因為是正方體，且P為的中點，所以，所以為直線PB與所成的角.設(shè)正方體的棱長為2，則在中，，，所以所以直線PB與所成的角的正切值為故選：A4．如圖所示，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】連接，由棱柱的性質(zhì)得，所以是異面直線與所成角或其補角；由正三棱柱的性質(zhì)及，得，，，在中，由余弦定理，得，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.5．異面直線a與b成60°角，若，則c與b所成的角等于__________【答案】60°【詳解】∵異面，，∴c與b相交或異面.當(dāng)c與b相交時，根據(jù)異面直線a與b所成角的概念可知c與b所成的角為60°角；當(dāng)c與b異面時，自空間不在上的一點分別作的平行線,∵，∴,根據(jù)異面直線所成角的定義，相交直線所成的不超過直角的角既是異面直線a與b所成的角，又是異面直線c與b所成的角，根據(jù)異面直線a與b成60°角，故異面直線c與b所成的角為60°角.故答案為：60°.題型6：由異面直線所成角求參數(shù)典型例題例題1．在空間四邊形中，，，，分別是，，，的中點．若，且與所成的角為，則的長為（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【詳解】如圖，連接，在中，因為為中點，所以，，在中，因為為中點，所以，，因為與所成的角為，所以或，當(dāng)時，為等邊三角形，所以，當(dāng)，由余弦定理可得，即，所以的長為1或.故選：C.例題2．在長方體中，底面是邊長為1的正方形，異面直線與所成角的大小為，則該長方體的表面積與體積的比值是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，連結(jié)，則，，，異面直線與所成角是，，解得：，所以長方體的表面積，體積,所以該長方體的表面積與體積的比值.故選：D例題3．如圖，已知空間四邊形兩對角線和的長分別為8和10，所成的角為，依次連接各邊中點所得四邊形的面積是_________;【答案】【詳解】因為，，，分別為，，，中點，所以，，且，，所以四邊形為平行四邊形，因為與所成角為，所以平行四邊形的一個內(nèi)角為，所以.故答案為：.例題4．如圖，在空間四邊形中，，，分別是，的中點．若異面直線與所成的角為，求的長．【答案】或4.【詳解】如圖所示：取的中點E，連接．因為M，N分別是的中點，所以且，且，從而（或其補角）即為與所成的角．又異面直線與所成的角為，所以或，當(dāng)時，由余弦定理可知.當(dāng)時，由余弦定理可知例題5．已知四棱錐，底面為正方形，邊長為3，平面.(1)若，求四棱錐的體積；(2)若直線與的夾角為，求的長.【答案】(1)12(2)【詳解】（1）∵PD⊥平面ABCD，平面，∴點到平面的距離為，，∵，,∴，∵底面ABCD為正方形，邊長為3，∴底面ABCD的面積為9，∴四棱錐P-ABCD的體積，（2）∵，∴直線AD與BP的夾角的平面角為，∵直線AD與BP的夾角為60°，∴，設(shè)，則，，在中，，，，由余弦定理可得∴，∴.同類題型演練1．在長方體中，與所成的角為30°，則A． B．3 C． D．【答案】D詳解：如圖所示，連接，，是異面直線與所成的角，即，在中，，在中，有，即.故選D.2．在空間四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點，若，且與所成的角為60°，則的長為（

）A．1或 B．或 C．1或 D．或【答案】C【詳解】連接EF，F(xiàn)G，EG，如圖，依題意，，且，因與所成的角為60°，則或，當(dāng)時，是正三角形，，當(dāng)時，，所以的長為1或.故選：C3．某圓柱的高為2，其正視圖如圖所示，圓柱上下底面圓周及側(cè)面上的點A，B，D，F(xiàn)，C在正視圖中分別對應(yīng)點A，B，E，F(xiàn)，C，且，異面直線所成角的余弦值為，則該圓柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，圓柱的直觀圖如圖所示，連接，設(shè)圓柱底面圓的圓心為O，半徑為r，由知，E為的中點，C為的中點，連接，則，即異面直線所成角為或其補角，連接，由正視圖知，則，在中，，即，在中，有，而異面直線所成角的余弦值為，即，在中，由余弦定理得：，即，解得，該圓柱的軸截面矩形對角線，又圓柱的軸截面矩形是其外接球截面大圓的內(nèi)接矩形，則該圓柱的外接球的半徑，所以該圓柱的外接球的表面積為.故選：A4．已知四面體中，，E、F分別為、的中點，且異面直線與所成的角為，則___________.【答案】或【詳解】取中點，連接，因為分別為的中點，所以，，所以異面直線與所成的角即為或其補角，當(dāng)異面直線與所成的角為時，，且，所以為等邊三角形，所以；當(dāng)異面直線與所成的角為的補角時，，且，所以，所以，綜上可知，長為或，故答案為：或.5．如圖所示，四面體A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝2.求EF的長度.【答案】1或【詳解】取BC的中點M，連接ME，MF，如圖.則ME∥AC，MF∥BD，∴ME與MF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成的角為60°，∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.當(dāng)∠EMF＝60°時，；當(dāng)∠EMF＝120°時，取EF的中點N，則MN⊥EF，.故EF的長度為1或.題型7：空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系的綜合問題典型例題例題1．在正方體中，，分別是線段，的中點，則異面直線，所成角余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示：F是線段的中點，連接交于F，由正方體的性質(zhì)知，知異面直線，EF所成角即為直線，EF所成角，故或其補角是異面直線EF與所成角.設(shè)正方體邊長為2，在直角中，，，故故選：C例題2．在正方體中，直線是底面所在平面內(nèi)的一條動直線，記直線與直線所成的角為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖：過作的平行線，過作該平行線的垂線，垂足為，則，所以，設(shè)正方體的棱長為，則，，所以,當(dāng)且僅當(dāng)與重合時，取得等號，所以的最小值是.故選：.例題3．手工課可以提高學(xué)生的動手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力，使學(xué)生在德、智、體、美、勞各方面得到全面發(fā)展.某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個直三棱柱和一個長方體的組合圖形.其直觀圖如圖所示，，，，，分別是棱，，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分別取棱，的中點G，H，連接AH，HQ，NH，MG，GH.易證四邊形APQH是平行四邊形，四邊形MNHG是平行四邊形，則，，故是異面直線PQ與MN所成的角或其補角.因為，，所以，，，則，故異面直線PQ與MN所成角的余弦值是.故選：B例題4．如圖所示，在正方體中，點在線段上運動，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最小值是___________.【答案】【詳解】在正方體中，，四邊形是平行四邊形，，與成角可化為與成角，由正方體的特征可知三角形是正三角形，故當(dāng)與重合時，，當(dāng)與重合時，與平行而不是異面直線，，由余弦函數(shù)的圖像可知，在單調(diào)遞減，所以最小值是.故答案為：同類題型演練1．如圖，在正方體中，點E為棱的中點，則異面直線AC與DE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：取的中點F，連接，，，則因為點E，F(xiàn)分別為，的中點，所以，所以，所以或其補角為AC與DE所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以，故選：C2．在正方體中，E為的中點，平面與平面的交線為l，則l與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：延長，交直線于點M，延長交于點，連接，則直線即為交線，又，則即為l與所成的角，設(shè)正方體棱長為1，因為E為的中點，，所以為的中點，為的中點，點為的中點，為的中點，則，又，所以，所以，則，，，所以，即l與所成角的余弦值為.故選：D.3．已知某圓錐的側(cè)面積等于底面的3倍，直線是底面所在平面內(nèi)的一條直線，則該直線與母線所成的角的余弦值的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，母線長為，因為圓錐的側(cè)面積等于底面的3倍，所以，即，因為直線與直線所成角的范圍為，所以當(dāng)直線與底面圓相切時，直線與母線所成角最大為，則該直線與母線所成的角的余弦值的最小值為；當(dāng)直線過底面圓的圓心時，由線面角的定義可知，此時直線與母線所成角最小，則該直線與母線所成的角的余弦值的最大值為，即該直線與母線所成的角的余弦值的取值范圍為.故選：A4．（多選）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AM與BN是平行直線B．直線BN與MB1是異面直線C．直線MN與AC所成的角為60°D．平面BMN截正方體所得的截面面積為【答案】BCD【詳解】對于A，假設(shè)直線與是平行直線，則四邊形為平面圖形，平面平面，且平面平面，平面平面，，則，與矛盾，故A錯誤；對于B，平面，平面，平面，由異面直線的定義可得，直線與是異面直線，故B正確；對于C，連接，，可得，為直線與所成的角，而，可得直線與所成的角為，故C正確；對于D，連接，可知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，棱長為2，，，，等腰梯形的高為，，故D正確．故選：BCD．題型8：平