.3角的平分線(xiàn)【考點(diǎn)歸納】【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：角平分線(xiàn)AD是角平分線(xiàn)∠BAD＝∠CAD＝12∠(1)三角形三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)為三角形的內(nèi)心；(2)內(nèi)心到三角形三邊距離相等知識(shí)點(diǎn)二：角平分線(xiàn)的輔助線(xiàn)類(lèi)型類(lèi)型1過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作一邊的垂線(xiàn)原理：1.角平分線(xiàn)上一點(diǎn)到角兩邊的距離相等；2.兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.作法：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥ON于點(diǎn)B.結(jié)論：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP類(lèi)型二過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)原理：1.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；2.等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線(xiàn)合一”)作法：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥OP，交ON于點(diǎn)B.結(jié)論：△OAB是等腰三角形類(lèi)型三1.過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作邊的平行線(xiàn)；2.過(guò)邊上的點(diǎn)作角平分線(xiàn)的平行線(xiàn)原理：(1)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)兩直線(xiàn)平行，同位角相等；(3)等角對(duì)等邊.作法：(1)過(guò)點(diǎn)P作PQ∥ON，交OM于點(diǎn)Q；(2)過(guò)點(diǎn)P作PQ∥OB，交NO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q.結(jié)論：△OPQ為等腰三角形類(lèi)型四1.在被平分的角的長(zhǎng)邊上截取與短邊相等的線(xiàn)段；2.延長(zhǎng)被平分的角的短邊至與長(zhǎng)邊相等原理：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.作法一：截長(zhǎng)法在AC上截取AE＝AB，連接DE，結(jié)論：△ABD≌△AED；作法二：補(bǔ)短法延長(zhǎng)AB至點(diǎn)F，使AF＝AC，連接DF，結(jié)論：△AFD≌△ACD【題型探究】題型一：角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理【例1】．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)）如圖，是的角平分線(xiàn)，于點(diǎn)，的面積是10，若，則點(diǎn)到的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．作于，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作于，∵是中的角平分線(xiàn)，，，∴，∵的面積是10，若，∴，∴，∴，即點(diǎn)到的距離是4，故選：C．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26八年級(jí)上·黑龍江佳木斯）如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)D，若，則點(diǎn)D到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角的平分線(xiàn)性質(zhì)定理解答即可．本題考查了角的平分線(xiàn)性質(zhì)定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，平分，交于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，為點(diǎn)D到的距離，故點(diǎn)D到的距離也為．故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26八年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，為的角平分線(xiàn)，于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可知，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短，可知，從而得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：為的角平分線(xiàn)，于點(diǎn)，，，，，的長(zhǎng)度不可能為1，故選：D．題型二：角平分線(xiàn)的判定定理【例2】．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，，垂足分別為，．求證：平分．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的判定定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，先根據(jù)“斜邊直角邊”證明，可得，再根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理得出答案.【詳解】證明：，．在和中，，．，∴平分．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，為的中點(diǎn)，平分．(1)求證：平分；(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查角平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）作，垂足為，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理以及判定定理即可證明．（2）證明得，同理可證，則題目可證．【詳解】（1）證明：作，垂足為，平分，，，，，，，，平分；（2）證明：由（1）可知：，在和中，，，，同理可證：，即．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，、兩點(diǎn)分別在射線(xiàn)、上，點(diǎn)在的內(nèi)部，且，，，垂足分別為，，且．(1)求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)的長(zhǎng)為．【分析】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定．（1）證明，可得，結(jié)合已知即可證得結(jié)論；（2）由，可得，從而可得，證明，可得，從而可得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，在和中，，∴，∴，又∵，，∴平分．（2）解：由（1）得，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．題型三：作角平分線(xiàn)（尺規(guī)作圖）【例3】．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）用尺規(guī)作圖：作出已知角的平分線(xiàn)．已知：如圖，，求作：射線(xiàn)，使．（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了作一個(gè)角的平分線(xiàn)，先以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，即射線(xiàn)，使．【詳解】解：如圖，射線(xiàn)即為所求．【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25八年級(jí)下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，在農(nóng)田中，農(nóng)戶(hù)計(jì)劃在田埂上安裝一個(gè)灌溉水泵以提高灌溉效率，現(xiàn)要求灌溉水泵到田埂和田埂的距離相等，請(qǐng)利用尺規(guī)找出點(diǎn)的位置．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【答案】作圖見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的作法和性質(zhì)，根據(jù)角平分線(xiàn)的作法作出的角平分線(xiàn)，交于，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知點(diǎn)到田埂和田埂的距離相等，故點(diǎn)即為所求，掌握角平分線(xiàn)的作法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)即為所求．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在中，，是邊上的高．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線(xiàn)，交于點(diǎn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若，求的度數(shù)．【答案】(1)圖見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查作圖-基本作圖、直角三角形的性質(zhì)．（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的作圖方法作圖即可；（2）由題意得，，由角平分線(xiàn)的定義得，則．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：在中，，，，是的角平分線(xiàn)，，是邊上的高，，．題型四：角平分線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用【例4】．（24-25八年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫(kù)，要求油庫(kù)到這三條公路（）的距離都相等，則油庫(kù)的位置可以設(shè)計(jì)在（

）A．三條中線(xiàn)的交點(diǎn) B．三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)C．三條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)【答案】B【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，依照題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．要使到三邊的距離相等，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，即可得出油庫(kù)的位置在角平分線(xiàn)的交點(diǎn)處，依此畫(huà)出圖形，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：三條公路兩兩相交，要求油庫(kù)到這三條公路的距離都相等，油庫(kù)在角平分線(xiàn)的交點(diǎn)處，畫(huà)出油庫(kù)位置如圖所示．故選：B．【跟蹤訓(xùn)練1】．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，三條公路、、兩兩相交，計(jì)劃建一座加油站，滿(mǎn)足到三條公路的距離相等，則可供選址的地方有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，加油站要到三條公路的距離都相等，可知加油站必須是三條相交直線(xiàn)所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，而相鄰兩外角平分線(xiàn)有個(gè)交點(diǎn)，內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)有個(gè)，據(jù)此即可求解，掌握叫佛系的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵加油站要到三條公路的距離都相等，∴加油站必須是三條相交直線(xiàn)所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，而相鄰兩外角平分線(xiàn)有個(gè)交點(diǎn)，內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)有個(gè)，∴加油站可供選址的地方有個(gè)，故選：．【跟蹤訓(xùn)練2】．（23-24八年級(jí)上·北京·期中）為進(jìn)一步美化校園，我校計(jì)劃在校園綠化區(qū)增設(shè)3條綠化帶，如圖所示，綠化帶，綠化帶交綠化帶于，交綠化帶于．若要建一噴灌處到三條綠化帶的距離相等，則可供選擇的噴灌處修建點(diǎn)有（

）A．4處 B．3處 C．2處 D．1處【答案】C【分析】由角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到角邊的距離相等，兩同旁?xún)?nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)滿(mǎn)足條件；這樣的點(diǎn)有2個(gè)，可得可供選擇的地址有2個(gè)．【詳解】解：∵和的平分線(xiàn)的交點(diǎn)到、、距離相等，∴這兩個(gè)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)滿(mǎn)足條件；∵和的平分線(xiàn)的交點(diǎn)到、、距離相等，∴這兩個(gè)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)滿(mǎn)足條件；∴滿(mǎn)足這條件的點(diǎn)有2個(gè)；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)．注意掌握角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，小心漏解．題型五：角平分線(xiàn)的綜合性問(wèn)題【例5】．（25-26八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫）如圖，四邊形中，，，于D．(1)求證：平分；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線(xiàn)、構(gòu)造全等三角形成為解題的關(guān)鍵．（1）如圖：作于E，易得；再證明可得，最后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)以及已知條件可得，再證明可得，最后根據(jù)線(xiàn)段的和差即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：作于E，∵，，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，，∴平分．（2）解：∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴．【跟蹤訓(xùn)練1】．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A，B兩點(diǎn)分別在射線(xiàn)上，點(diǎn)C在的內(nèi)部且，，，垂足分別為D，E，且．(1)求證：平分；(2)如果，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)8【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線(xiàn)的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法，熟記到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，得到，所以，再根據(jù)已知條件，得到平分，由此得到證明；（2）設(shè)，根據(jù)題意，得到，所以，再根據(jù)已知條件，得到，求出，由此得到答案．【詳解】（1）證明：∵，,∴，在和中，∴,∴，∴點(diǎn)C在的平分線(xiàn)上，∴平分；（2）設(shè)，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25七年級(jí)下·四川成都·期末）如圖，，，，，交于點(diǎn)H，連接(1)求證：；(2)求；用含的式子表示(3)求證：平分【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）由，利用，即可證明；（2）由，可得，繼而求得；（3）首先作于M，于N，由，可得，即可證得平分【詳解】（1）證明：，，即，在和中，，；（2）解：，，又，；（3）證明：過(guò)點(diǎn)C作于M，于N，，，，平分【高分演練】一、單選題1．（25-26八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）用尺規(guī)作圖作角平分線(xiàn)，下列作法錯(cuò)誤的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查用尺規(guī)作圖作角平分線(xiàn)．根據(jù)作圖痕跡，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A．如圖，由作圖可知，，，在和中，，∴，∴，∴是的角平分線(xiàn)，∴選項(xiàng)A作法正確，不符合題意；B．如圖，由作圖可知，，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴是的角平分線(xiàn)，∴選項(xiàng)B作法正確，不符合題意；C．如圖，由作圖可知，，，，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的角平分線(xiàn)，∴選項(xiàng)C作法正確，不符合題意；D．如圖，由作圖可知，，，不能得出是的角平分線(xiàn)，∴選項(xiàng)D作法錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．2．（25-26八年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，平分，于點(diǎn)C，點(diǎn)D在上，若，，則的面積為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)P作于E，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，即可解答．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作于E，∵平分，，，∴，∴，故選：B．3．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)是（

）A．1 B．3 C．5 D．6【答案】D【分析】本題考查了三角形的面積公式，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，作交于，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可得，再由計(jì)算即可得解，熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作交于，，∵平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，故選：D．4．（24-25八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，的平分線(xiàn)AD交BC于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，若，，則DE的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等這一性質(zhì)，利用已知線(xiàn)段長(zhǎng)度求出相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度．根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可知角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即由和的長(zhǎng)度求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵是的平分線(xiàn)，，∴（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）．∵∴∴．故選：A．5．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，已知，平分，點(diǎn)P在上，于點(diǎn)D，，點(diǎn)E是射線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)．過(guò)P作于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)，得，根據(jù)垂線(xiàn)段最短即可得最小值．【詳解】解：過(guò)P作于點(diǎn)H，∵平分，，∴，∵，∴，∵，∴的最小值為，故選：B．6．（24-25八年級(jí)下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且中邊上的高也為3，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的定義，角平分線(xiàn)的判定定理，過(guò)點(diǎn)D作于H，則，由角平分線(xiàn)的判定定理可得平分，則．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于H，∵中邊上的高為3，∴，∵，∴，又∵，，∴平分，∵，∴，故選：D．7．（24-25八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，中，和的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，若，則、、的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，等高三角形，能夠熟練運(yùn)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知三個(gè)三角形的高相等，故底之比等于面積之比，由此可得答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，如圖，∵和的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，∴，，∴，設(shè)，∵，，，∵，∴，故選：B．8．（24-25七年級(jí)下·遼寧丹東·期末）如圖，是的平分線(xiàn)，是中線(xiàn)，、相交于點(diǎn)，于，若，，若的面積是，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)作于，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)推出，求出，由三角形的面積公式得到的面積的面積，得，即可求出．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，∵是的平分線(xiàn)，，∴，∵是中線(xiàn)，，的面積是，∴，的面積的面積，∵的面積的面積的面積，∴，∵，，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形中線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的面積，掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（24-25八年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖，在中，，于點(diǎn)D，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接．以下結(jié)論：①；②；③平分；④點(diǎn)E是的中點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)同角的余角相等判斷①；證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，判斷②；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，判斷③；根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)判斷④．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故①結(jié)論正確；∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故②結(jié)論正確；∵，∴，∵，∴，，，即平分，故③結(jié)論正確；如圖，過(guò)點(diǎn)作于，∵平分，，，∴點(diǎn)不是的中點(diǎn)，故④結(jié)論錯(cuò)誤；則正確結(jié)論的序號(hào)是①②③，故選：C．二、填空題10．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，已知的周長(zhǎng)是21，分別平分和，于D，且，的面積是．【答案】42【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)及三角形面積的求法，熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．過(guò)O作于E，于F，連接，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，再由的面積是，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)O作于E，于F，連接，∵分別平分和，，∴，即，∵的周長(zhǎng)是21，∴，∴的面積是．故答案為：4211．（25-26八年級(jí)上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在中，為的角平分線(xiàn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．若的面積是，，，則．

【答案】2【分析】本題主要考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：在中，為的角平分線(xiàn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．∴，∴，∵面積是，，，∴，解得．故答案為：2．12．（25-26八年級(jí)上·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）兩把相同的長(zhǎng)方形直尺按如圖所示方式擺放，記兩把直尺的接觸點(diǎn)為，其中一把直尺邊緣和射線(xiàn)重合，另一把直尺的下邊緣與射線(xiàn)重合，連接并延長(zhǎng)．若，則的度數(shù)為．【答案】/25度【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的判定定理，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解是解題的關(guān)鍵；根據(jù)兩把長(zhǎng)方形直尺相同，表明點(diǎn)P到射線(xiàn)的距離相等，由角平分線(xiàn)的判定定理知，射線(xiàn)是角平分線(xiàn)，即可求解．【詳解】解：∵兩把長(zhǎng)方形直尺相同，∴點(diǎn)P到射線(xiàn)的距離相等，∴射線(xiàn)是的平分線(xiàn)，∴，故答案為：．13．（25-26八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在中，是的平分線(xiàn)，，垂足為點(diǎn)．若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定；根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)證明，根據(jù)其性質(zhì)進(jìn)而即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，∵是的平分線(xiàn)，，垂足為點(diǎn)E，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)是．故答案為：．14．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·期中）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，連接，，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】該題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，根據(jù)，平分，，得出，證明，得出，證明，得出，即可得，從而求出．【詳解】解：∵，平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：6．三、解答題15．（25-26八年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，的外角的平分線(xiàn)與內(nèi)角的平分線(xiàn)交于點(diǎn)．(1)延長(zhǎng)至點(diǎn)，求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查的是角平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)F，于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出，，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定得出平分；（2）設(shè)，根據(jù)角平分線(xiàn)定義得出，即可得出，求出，即可求出，即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)F，于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，如圖所示：又∵平分，平分，∴，，∴，又∵，，∴平分．（2）解：設(shè)，由（1）知，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴．16．（25-26八年級(jí)上·吉林松原·階段練習(xí)）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，連接，，若，求的長(zhǎng)．【答案】6【分析】該題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，根據(jù)，平分，，得出，證明，得出，證明，得出，即可得，從而求出．【詳解】解：∵，平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．17．（24-25八年級(jí)上·廣東肇慶·期中）如圖，已知，垂足為，，垂足為，，．求證：(1)平分；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線(xiàn)的判定定理，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)“”定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定即可求證；（）證明，根據(jù)全等得出，即可求證．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴點(diǎn)在角平分線(xiàn)上，∴平分；（2）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵