⑵如果二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，用配方法比較簡單，否則，因其步驟較為煩瑣，一般不用配方法．【題型探究】題型一：直接開平方法解一元二次方程【例1】．（25-26九年級(jí)上·全國）用直接開平方法解下列方程：(1)；(2)．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26九年級(jí)上·全國）直接開平方法解下列方程：(1)；(2)．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）用直接開平方法解下列方程：(1)(2)．題型二、配方法解一元二次方程【例2】．（25-26九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25九年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)．題型三、根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【例3】．（24-25九年級(jí)上·廣東潮州·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程根的情況（

）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無法確定【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25九年級(jí)上·北京海淀·期中）已知關(guān)于的方程．(1)求證：方程必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)取的整數(shù)時(shí)，存在兩個(gè)有理數(shù)根，求的值和這兩個(gè)有理數(shù)根．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25九年級(jí)上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(1)求k的取值范圍；(2)若這個(gè)方程有一個(gè)根為2，求k的值．題型四、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【例4】．（25-26九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26九年級(jí)上·北京西城·階段練習(xí)）如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26九年級(jí)上·廣東揭陽·階段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B．C．且 D．或題型五、公式法解一元二次方程【例5】．（25-26九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）用公式法解方程：(1)；(2)；(3)．【跟蹤訓(xùn)練2】．（22-23九年級(jí)上·全國·期中）用公式法解下列方程．(1)；(2)；(3)．題型六、因式分解法解一元二次方程【例6】．（24-25九年級(jí)上·全國·期末）解一元二次方程：(1)(2)．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26九年級(jí)上·云南昆明·開學(xué)考試）解方程：(1)；(2)．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）解下列方程：(1)(2)題型七、換元法解一元二次方程【例7】．（24-25九年級(jí)上·廣東·期末）已知實(shí)數(shù)、滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程可化為，即：解得．∵，∴上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化，根據(jù)以上閱讀材料為內(nèi)容，解決下列問題：(1)若四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積為120，直接寫出這四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)．(2)已知實(shí)數(shù)、滿足，求的值．【跟蹤訓(xùn)練1】．（2025九年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）請(qǐng)運(yùn)用“整體換元法”解方程：(1)．(2)．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25九年級(jí)上·貴州銅仁·期末）閱讀下列材料：解方程，解：設(shè)，則原方程化為，解得，．當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得．原方程的解為：，，，．以上解一元二次方程的方法叫做換元法，通過換元法達(dá)到了降次或者簡化方程的目的，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．(1)請(qǐng)用上述方法解下列方程：；(2)已知實(shí)數(shù)，滿足，求的值．題型八：用合適的方法解一元二次方程【例8】．（24-25九年級(jí)上·寧夏銀川·期中）解方程：(1)（用配方法）；(2)（用公式法）；(3)；(4)．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26九年級(jí)上·全國·期中）用適當(dāng)方法解下列方程∶(1)．(2)．(3)．(4)．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26九年級(jí)上·四川成都）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【跟蹤訓(xùn)練3】．（25-26九年級(jí)上·新疆·階段練習(xí)）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．題型九：解一元二次方程的綜合問題【例9】．（24-25九年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí)）【閱讀感知】我們知道，解如的方程可以通過因式分解將其轉(zhuǎn)化為：，這樣就可以得到：或從而求出方程的解．類似的，我們也可以利用因式分解來解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通過提公因式法把它轉(zhuǎn)化為：，從而得到或，再解方程就可以得到【理解應(yīng)用】（1）將因式分解得______（2）解方程：【知識(shí)拓展】（3）試求方程組的解【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26九年級(jí)上·江蘇南京·開學(xué)考試）關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若，求的值；(3)若方程有一個(gè)根不小于5，求的取值范圍．【跟蹤訓(xùn)練2】．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·自主招生）已知關(guān)于的方程．(1)若兩根異號(hào)，且正根的絕對(duì)值較大，求整數(shù)的值；(2)若等腰的一邊長為，另兩邊的長恰好是方程的兩個(gè)根，求的周長【高分演練】一、單選題1．（24-25九年級(jí)上·云南曲靖·期中）用公式法解方程時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的值依次是（

）A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，，2．（24-25九年級(jí)上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程時(shí)，下列變形正確的是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年級(jí)上·江蘇無錫·期中）關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則滿足（）A． B． C．，且 D．，且4．（25-26九年級(jí)上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）用配方法解方程，配方后的方程是（

）A． B．C． D．5．（25-26九年級(jí)上·山東青島·開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算“”：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)（）A．10 B．4 C．4或 D．4或或106．（24-25八年級(jí)下·安徽淮北）已知關(guān)于x的一元二次方程的解是，，則另一個(gè)關(guān)于x的方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，7．（23-24九年級(jí)下·廣東深圳·開學(xué)考試）關(guān)于的方程，下列解法完全正確的是（

）甲乙丙丁兩邊同時(shí)除以（x-1）得到3．移項(xiàng)得1）=0，，或，．整理得，，，，，．整理得，配方得，，，．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．（24-25八年級(jí)下·浙江嘉興·階段練習(xí)）對(duì)于一元二次方程，下列說法：①若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；②若是一元二次方程的根，則；③存在實(shí)數(shù)，使得；④若是方程的一個(gè)根，則一定有成立其中正確的有（

）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③二、填空題9．（24-25九年級(jí)上·北京海淀·期中）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．10．（22-23九年級(jí)上·江蘇·期中）已知三角形的兩邊長分別是4和7，第三邊長是方程的根，則第三邊的邊長是．11．（24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成．12．（22-23九年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）關(guān)于的方程的解是，（、、均為常數(shù)，），則方程的解是．13．（21-22九年級(jí)下·安徽宣城·自主招生）為方程的兩個(gè)根，則代數(shù)式的值為．14．（25-26九年級(jí)上·重慶·開學(xué)考試）已知在正比例函數(shù)中，的值隨著的增大而增大，且關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為．三、解答題15．（25-26九年級(jí)上·甘肅臨夏·階段練習(xí)）解方程：(1)(2)；(3)(4)．16．（25-26九年級(jí)上·江蘇南京·開學(xué)考試）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．17．（25-26九年級(jí)上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)若為等腰三角形，，另外兩條邊是方程的根，求的周長．18