.2.3&1.2.4&1.2.5相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)的比較大小【考點(diǎn)歸納】【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一.相反數(shù)⒈相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。注意：⑴相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的；⑵相反數(shù)只有符號(hào)不同，若一個(gè)為正，則另一個(gè)為負(fù)；⑶0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0。知識(shí)點(diǎn)二.相反數(shù)的性質(zhì)與判定⑴任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè)；⑵0的相反數(shù)是0；⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a，b互為相反數(shù)，則a+b=0知識(shí)點(diǎn)三.相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)，是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（0除外）在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相反數(shù)對(duì)應(yīng)原點(diǎn)；原點(diǎn)表示0的相反數(shù)。說(shuō)明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。知識(shí)點(diǎn)四.相反數(shù)的求法⑴求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號(hào)“-”即可求得（如：5的相反數(shù)是-5）；⑵求多個(gè)數(shù)的和或差的相反數(shù)時(shí)，要用括號(hào)括起來(lái)再添“-”，然后化簡(jiǎn)（如；5a+b的相反數(shù)是-（5a+b）?；?jiǎn)得-5a-b）；⑶求前面帶“-”的單個(gè)數(shù)，也應(yīng)先用括號(hào)括起來(lái)再添“-”，然后化簡(jiǎn)(如：-5的相反數(shù)是-（-5），化簡(jiǎn)得5)知識(shí)點(diǎn)五.相反數(shù)的表示方法⑴一般地，數(shù)a的相反數(shù)是-a，其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。當(dāng)a>0時(shí)，-a<0（正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）當(dāng)a<0時(shí)，-a>0（負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）當(dāng)a=0時(shí)，-a=0，（0的相反數(shù)是0）知識(shí)點(diǎn)六.絕對(duì)值⒈絕對(duì)值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記作|a|。2.絕對(duì)值的代數(shù)定義⑴一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；⑵一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；⑶0的絕對(duì)值是0.可用字母表示為：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0?？蓺w納為①：a≥0，<═>|a|=a（非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身；絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。）②a≤0，<═>|a|=-a（非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)；絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）3.絕對(duì)值的性質(zhì)任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，也就是說(shuō)絕對(duì)值具有非負(fù)性。所以，a取任何有理數(shù)，都有|a|≥0。⑴0的絕對(duì)值是0；絕對(duì)值是0的數(shù)是0.即：a=0<═>|a|=0；⑵一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值最小的數(shù)是0.即：|a|≥0；⑶任何數(shù)的絕對(duì)值都不小于原數(shù)。即：|a|≥a；⑷絕對(duì)值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；⑸互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；⑹絕對(duì)值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；⑺若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于0，則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。（非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0）知識(shí)點(diǎn)七.有理數(shù)大小的比較⑴利用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小：數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比較，左邊的總比右邊的小；⑵利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小：兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而??；異號(hào)兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)八.絕對(duì)值的化簡(jiǎn)當(dāng)a≥0時(shí)，|a|=a；②當(dāng)a≤0時(shí)，|a|=-a【題型歸納】題型一：相反數(shù)的定義【例1】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)）5月2日的世界泳聯(lián)跳水世界杯總決賽上，中國(guó)跳水女將全紅嬋與陳芋汐憑借出色的表現(xiàn)獲得女子雙人10米跳臺(tái)的冠軍．10的相反數(shù)是（

）A．10 B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）的相反數(shù)是（）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·周測(cè)）如圖，在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)和點(diǎn) B．點(diǎn)和點(diǎn) C．點(diǎn)和點(diǎn) D．點(diǎn)和點(diǎn)題型二：化簡(jiǎn)多重符號(hào)【例2】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)）化簡(jiǎn)下列各數(shù)：（1）．（2）．（3）．（4）．【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25七年級(jí)上·湖南懷化·期中）下面各組數(shù)中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互為相反數(shù)的是（填序號(hào)）．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)）（1）；（2）；（3）；（4）．題型三：相反數(shù)的應(yīng)用【例3】．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）小夢(mèng)做題時(shí)，畫(huà)了一個(gè)數(shù)軸，在數(shù)軸上原有一個(gè)點(diǎn)，其表示的數(shù)是，由于粗心，小夢(mèng)把數(shù)軸的原點(diǎn)標(biāo)錯(cuò)了位置，使點(diǎn)正好落在了的相反數(shù)的位置，要把數(shù)軸畫(huà)正確，原點(diǎn)應(yīng)（）A．向右移6個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右移3個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左移6個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左移3個(gè)單位長(zhǎng)度【跟蹤訓(xùn)練1】．（23-24七年級(jí)上·山東濱州·期末）若與互為相反數(shù)，則等于（

）A．0 B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】．（23-24七年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，這個(gè)正方體相對(duì)表面上所標(biāo)的數(shù)字互為相反數(shù)，則的值為（

）A． B． C．5 D．4題型四：絕對(duì)值的概念和求法【例4】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定是正數(shù) B．絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)一定相等C．負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù) D．有理數(shù)的絕對(duì)值一定大于0【跟蹤訓(xùn)練1】．（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）的絕對(duì)值是（）A． B．2024 C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)）寫(xiě)出下列各數(shù)的絕對(duì)值：，，，．題型五：絕對(duì)值的幾何意義【例5】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)軸表示的意義是表示6的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，式子在數(shù)軸上的意義是表示6的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離．類(lèi)似的，式子在數(shù)軸上的意義是．【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25七年級(jí)上·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知，且，則．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25七年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）可以理解為5與3兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；可以表示5與兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．則：與兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為題型六：化簡(jiǎn)絕對(duì)值【例題6】．．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·周測(cè)）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示．請(qǐng)化簡(jiǎn)下列式子：（1）．（2）．【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25七年級(jí)上·安徽滁州·期中）下列結(jié)論：①若為有理數(shù)，則；②若，則；③若，則；④若，則，則其中正確的結(jié)論的是（填序號(hào)）．【跟蹤訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)上·山西忻州·期末）數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A． B． C． D．題型七：有理數(shù)的比較大小【例7】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)）比較大小：（1）0；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；

（6）．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26七年級(jí)上·北京）比較有理數(shù)的大小：①；②；③；④0．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）比較大小：；；．（填“>”“<”或“=”）題型八：絕對(duì)值、有理數(shù)的綜合問(wèn)題【例8】．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）材料閱讀：在學(xué)習(xí)絕對(duì)值時(shí)，我們知道了絕對(duì)值的幾何含義，如表示在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；所以表示、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；，所以表示在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．綜上，數(shù)軸上兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，且兩點(diǎn)之間的距離可以表示為，則（或）．(1)求________；若，則________；(2)的最小值是________；當(dāng)________時(shí)的最小值是________．【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25七年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）已知有理數(shù)，0，，，，．(1)在數(shù)軸上表示：，，，；(2)比較大?。篲_____；（填“”“”或“”號(hào)）(3)整數(shù)集合：｛______…｝．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25七年級(jí)上·北京·期中）如圖，觀察數(shù)軸，解答下列問(wèn)題：(1)A點(diǎn)表示的有理數(shù)是______，表示有理數(shù)的點(diǎn)是______；(2)用數(shù)軸上的點(diǎn)分別表示有理數(shù)和6；(3)將這五個(gè)數(shù)，6，，0，用“”連接的結(jié)果是：______．【跟蹤訓(xùn)練3】．（24-25七年級(jí)上·四川樂(lè)山·期末）閱讀材料點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB．也就是說(shuō)，表示與之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為與兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．比如可以寫(xiě)成，它的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離．再舉個(gè)例子：等式的幾何意義可表示為：在數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)的距離等于，這樣的數(shù)可以是或．解決問(wèn)題：(1)．(2)若，則______；若，則______．(3)表示數(shù)軸上有理數(shù)所對(duì)的點(diǎn)到和所對(duì)的兩點(diǎn)距離之和．請(qǐng)你利用數(shù)軸，找出所有符合條件的整數(shù)，使得．【高分演練】一、單選題1．（24-25七年級(jí)上·廣西梧州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)B．－4和互為相反數(shù)C．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)D．任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示2．（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列化簡(jiǎn)，正確的是（）A． B．C． D．3．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·周測(cè)）如圖，四個(gè)有理數(shù)m，n，p，q在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M，N，P，Q．若，則m，n，p，q四個(gè)有理數(shù)中，絕對(duì)值最大的一個(gè)是（

）A．p B．q C．m D．n4．（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．（24-25七年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）把有理數(shù)、、0、用“”連接正確的是（

）A． B．C． D．6．（24-25八年級(jí)上·四川樂(lè)山）下面說(shuō)法正確的有（

）（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等；（2）一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于本身，這個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)；（3）若，則；（4）若，則．A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）7．（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）我們知道，的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，可以理解為，進(jìn)一步地，數(shù)軸上，表示數(shù)的點(diǎn)到表示數(shù)的點(diǎn)的距離可以用表示，例如：表示和的兩點(diǎn)之間的距離是．根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，當(dāng)取最小值時(shí)，求出所有滿足條件的整數(shù)有（

）個(gè)A． B． C． D．二、填空題8．（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）若的相反數(shù)為9，則的值為．9．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，且點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)A表示的數(shù)為．10．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)）化簡(jiǎn)下列各式：（1）； （2）；（3）； （4）．11．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示．則ab，．12．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)）給出數(shù)軸比較變式為畫(huà)數(shù)軸比較（1）若，用“”連接，其結(jié)果是．（2）若表示數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，且，則用“”把，連接起來(lái)為．三、解答題13．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）比較下列各組數(shù)的大小：(1)和；(2)和；(3)和；(4)和．14．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)）化簡(jiǎn)下列各數(shù)：(1)； (2)； (3)；(4)； (5)； (6)15．（25-26七年級(jí)上·湖北武漢·開(kāi)學(xué)考試）如圖，有理數(shù)a，b滿足，且．(1)在數(shù)軸上標(biāo)出表示數(shù)a，b，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的大致位置；(2)試將a，b，，，1，用“”將它們連接起來(lái)；(3)若，請(qǐng)直接寫(xiě)出不小于且小于b的整數(shù)．16．（2025七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，數(shù)軸上每一小段的長(zhǎng)度為1，點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c、d，(1)若a與d互為相反數(shù)，則；(2)若，則c0（填“大于”或“小于”）；a、b、c、d中，可能互為相反數(shù)的是．17．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)）已知為有理數(shù)，且它們?cè)跀?shù)軸上的位置如下圖所示．