5.3用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式分層練習(xí)考察題型一直接代入法1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．【詳解】解：把和代入得：，解得：，這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：．2．如圖，若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，則拋物線的解析式為．【詳解】解：把代入得：，，拋物線開口向下，，拋物線的解析式為：．故本題答案為：．3．已知二次函數(shù)（其中是自變量），當(dāng)時(shí)，，則的值為A．1 B．2 C． D．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，則，解得：；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，則，解得：，的值為．故本題選：．考察題型二待定系數(shù)法——設(shè)一般式1．已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過、、，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【詳解】解：設(shè)過、、的二次函數(shù)的解析式為：，將、、代入得：，解得：，這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：．2．已知點(diǎn)，在同一條拋物線上，與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9，且經(jīng)過點(diǎn)，求這個(gè)拋物線的解析式．【詳解】解：設(shè)拋物線解析式為：，根據(jù)題意得：，解得：，這個(gè)拋物線解析式為：．3．一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）若另外三點(diǎn)，，，，，也在該二次函數(shù)圖象上，求的值．【詳解】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，三點(diǎn)，，解得：，二次函數(shù)的解析式為：；（2）二次函數(shù)為，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，，，，，也在該二次函數(shù)圖象上，，，．考察題型三待定系數(shù)法——設(shè)頂點(diǎn)式1．已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的解析式可能為A． B． C． D．【詳解】解：．，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，不合題意；．，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，不合題意；．，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，不合題意；．，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，符合題意．故本題選：．2．已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象形狀和開口方向與拋物線相同，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為．【詳解】解：圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可以設(shè)函數(shù)解析式是，又拋物線形狀及開口方向與拋物線相同，，這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：．故本題答案為：．3．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且當(dāng)，有最大值，求該二次函數(shù)的解析式．【詳解】解：由題意可知：該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：，將點(diǎn)代入得：，解得：，該二次函數(shù)的解析式為：．4．二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，圖象經(jīng)過．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）結(jié)合圖象，直接寫出當(dāng)時(shí)的取值范圍．【詳解】解：（1）設(shè)該二次函數(shù)的表達(dá)式為：，把代入得：，解得：，該二次函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）如圖，當(dāng)，，當(dāng)，，而時(shí)，有最大值2，時(shí)，．考察題型四待定系數(shù)法——設(shè)交點(diǎn)式1．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，求拋物線的解析式．【詳解】解：拋物線過點(diǎn)，，可設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)代入上式得：，拋物線的解析式為：．2．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)在該二次函數(shù)上．①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)時(shí)，的最小值為，求的取值范圍．【詳解】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)代入得：，解得：，，該二次函數(shù)的解析式為；（2）①當(dāng)時(shí)，則，解得：，；的值為1或5；②，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值，的取值范圍是．3．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，求的面積．【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，且，，，設(shè)拋物線的解析式為：，將代入得：，，拋物線的解析式為：；（2），，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將代入得：，，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，，．4．已知：二次函數(shù)中的和滿足如表：0123453008（1）可求得的值為；（2）求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）畫出函數(shù)圖象；（4）當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為．【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)和所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，，故本題答案為：3；（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：，把代入得：，解得：，，即這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：；（3）函數(shù)圖象如圖所示：（4）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為，故本題答案為：．考察題型五綜合題1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；（3）已知點(diǎn)，點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上若，直接寫出的取值范圍．【詳解】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，該二次函數(shù)的表達(dá)式為：；（2），拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，的最小值為2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，的取值范圍為，故本題答案為：；（3）點(diǎn)，點(diǎn)且，對(duì)稱軸為直線，，解得：，的取值范圍為．2．如圖，拋物線與軸正半軸，軸負(fù)半軸分別相交于點(diǎn)，，且，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)，為拋物線上兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且到對(duì)稱軸的距離分別為3個(gè)單位長度和4個(gè)單位長度，點(diǎn)為拋物線上點(diǎn)，之間（不含點(diǎn)，）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．【詳解】解：（1）取，則，，，把點(diǎn)代入拋物線的解析式得：，解得：（舍去）或，拋物線的解析式為：，，；（2）點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為3個(gè)單位，或，，或，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為4個(gè)單位，或，，或，又在的左側(cè)，，的坐標(biāo)為，或，，①若，的坐標(biāo)為，，則，②若，的坐標(biāo)為，，則．3．已知二次函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為2；當(dāng)時(shí)，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【詳解】解：（1）①，時(shí)，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②中含有頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最大值7，，當(dāng)時(shí)，有最小值為，當(dāng)時(shí)，；（2）時(shí)，的最大值為2；時(shí)，的最大值為3，拋物線的對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，，拋物線開口向下，時(shí)，=2；時(shí)，=3，，，，，二次函數(shù)的表達(dá)式為．4．已知二次函數(shù)（為常數(shù)）．（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式．（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．（3）若二次函數(shù)在時(shí)有最大值8，求的值．【詳解】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，函數(shù)的表達(dá)式為：；（2），拋物線開口向上，頂點(diǎn)為，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是3，最小值0；（3），拋物線的對(duì)稱軸為直線，二次函數(shù)在時(shí)有最大值8，時(shí)，或，，或，的值是1或．5．已知二次函數(shù)．（1）二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為8，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（3）若，對(duì)于二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，，，，當(dāng)，時(shí)，均滿足，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍．【詳解】解：（1）由題意可得：對(duì)稱軸是直線，故本題答案為：1；（2）①當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，有最小值為，當(dāng)時(shí)，有最大值為，，，二次函數(shù)的表達(dá)式為：，②當(dāng)時(shí)，同理可得有最大值為，有最小值為，，，二次函數(shù)的表達(dá)式為：，綜上，二次函數(shù)的表達(dá)式為：或；（3），對(duì)稱軸為直線，時(shí)，隨的增大而增大，時(shí)，隨的增大而減小，和時(shí)的函數(shù)值相等，，時(shí)，均滿足，，，．1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知二次函數(shù)，為矩形，，在拋物線上，當(dāng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也在另一個(gè)二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為．【詳解】解：如圖，過作軸于，過作軸于，連接、，設(shè)，，又，四邊形是矩形，與中點(diǎn)重合，，而，，消去、得：，，（舍去）或．故本題答案為：．2．如圖，已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，直線是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）設(shè)點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，，可以設(shè)拋物線的解析式為：，將代入得：，，拋物線的函數(shù)解析式為：；（2）如圖，點(diǎn)是關(guān)于直線成軸對(duì)稱，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，即為點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的距離之和最短，設(shè)直線的解析式為：，直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，，解得：，直線的解析式為：，，直線為：，聯(lián)立方程，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．3．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最小值為．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，求的值．【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，，該拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，，解得：，；（2）由（1）知：拋物線為，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，不能取最小值，即，在對(duì)稱軸的同側(cè)，分兩種情況討論：①，即時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，解得：或，，；②時(shí)，在對(duì)稱軸右側(cè)隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，，整理得：．當(dāng)時(shí)，，整理得：，與不一致，不合題意，舍去；綜上，．4．已知拋物線，拋物線的頂點(diǎn)的為．（1）若函數(shù)圖象經(jīng)過，對(duì)稱軸