考研理學(xué)碩士2025年量子物理模擬試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.下列哪個(gè)量在量子力學(xué)中具有確定的值？(A)經(jīng)典粒子的位置和動(dòng)量(B)自旋為1/2的粒子的z分量角動(dòng)量與x分量角動(dòng)量(C)處于定態(tài)的粒子體系的位置坐標(biāo)與動(dòng)量(D)處于非定態(tài)的粒子體系的概率密度2.一個(gè)電子被限制在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維無(wú)限深勢(shì)阱中，若使其能量增加一倍，則勢(shì)阱的長(zhǎng)度L將：(A)增加一倍(B)減少一半(C)保持不變(D)無(wú)法確定3.在量子力學(xué)中，波函數(shù)ψ的歸一化條件是：(A)∫|ψ|2dτ=1(B)∫ψ*ψdτ=1(C)∫|ψ|dτ=1(D)∫ψ*ψdτ=04.根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，不可能同時(shí)精確地測(cè)定一個(gè)粒子的：(A)位置和動(dòng)量(B)能量和動(dòng)量(C)位置和能量(D)自旋z分量和自旋x分量5.一維定態(tài)薛定諤方程的形式為：ψ''+(8π2?2/m)(E-V)ψ=0，其中V為勢(shì)能，E為能量，m為粒子質(zhì)量，?為約化普朗克常數(shù)。該方程適用于：(A)任意一維運(yùn)動(dòng)的粒子(B)僅適用于自由粒子(C)僅適用于處于勢(shì)阱中的粒子(D)僅適用于做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的粒子二、填空題（每小題4分，共20分。將答案填在題中的橫線上）6.德布羅意假設(shè)指出，與實(shí)物粒子相伴隨的波叫__________波，其頻率ν與粒子能量E的關(guān)系為__________。7.波函數(shù)ψ(x,t)的平方|ψ(x,t)|2的物理意義是__________。8.一維無(wú)限深勢(shì)阱中，粒子處于基態(tài)（n=1）時(shí)，在勢(shì)阱寬度的一半處發(fā)現(xiàn)粒子的概率為__________。9.薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它的作用是__________。10.自旋量子數(shù)為s的粒子，其角動(dòng)量z分量的可能取值為__________。三、計(jì)算題（共35分）11.（10分）一個(gè)質(zhì)量為m的粒子，在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)阱寬度為a。求粒子處于第一激發(fā)態(tài)（n=2）時(shí)，在x=a/4處的概率密度，并說明在何處概率密度最大。12.（10分）一個(gè)質(zhì)量為m的粒子，在勢(shì)能為V?的無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)。試用薛定諤方程證明，粒子能量E=(π2?2/2ma2)n2（n為1,2,3...）。13.（15分）已知一維運(yùn)動(dòng)的粒子處于如下波函數(shù)態(tài)：ψ(x)=A[cos(kx)-sin(kx)]，其中A為歸一化常數(shù)，k為波數(shù)。求：(1)粒子的動(dòng)量p；(2)粒子的能量E（假設(shè)勢(shì)能為零）；(3)該波函數(shù)是否已歸一化？若未歸一化，求出歸一化常數(shù)A。四、證明題（共20分）14.證明在不顯含時(shí)間的薛定諤方程中，如果V(x)不顯含時(shí)間，則能量算符?=(-?2/2m)?2+V(x)具有本征值E，其本征函數(shù)ψ滿足：i?(dψ/dt)=?ψ。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.B4.A5.A二、填空題6.物質(zhì)；E=hν7.在x處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率8.1/89.描述粒子狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律10.ms,ms-1,...,ms+1（m為整數(shù)）三、計(jì)算題11.解：(1)粒子處于n=2態(tài)時(shí)，波函數(shù)為：ψ?(x)=√(2/a)sin(πx/a)。在x=a/4處，概率密度為：|ψ?(a/4)|2=|√(2/a)sin(π/2)|2=2/a。概率密度最大的位置在勢(shì)阱中心，即x=0處，其值為：|ψ?(0)|2=|√(2/a)sin(0)|2=0。（注：嚴(yán)格來(lái)說，在無(wú)限深勢(shì)阱中，ψ(x)在x=0處取值為0，但在x=0處鄰域內(nèi)，概率密度可不為零。此處指n=2態(tài)時(shí)，在x=a/2處概率密度最大，值為2/a。若理解為在[0,a]區(qū)間內(nèi)概率密度最大值，則為2/a，出現(xiàn)在x=a/2處。按標(biāo)準(zhǔn)解法，應(yīng)指明最大值位置。）12.證明：(1)一維無(wú)限深勢(shì)阱中，粒子勢(shì)能V(x)=0(0<x<a)，否則V(x)=∞。考慮0<x<a區(qū)間內(nèi)，薛定諤方程為：(-?2/2m)ψ''(x)=Eψ(x)。設(shè)ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)。代入方程，考慮邊界條件ψ(0)=0,ψ(a)=0，可得：B=0,sin(ka)=0。故k=π/n，n=1,2,3...。能量E=?2k2/2m=(π2?2/2ma2)n2。13.解：(1)對(duì)ψ(x)求導(dǎo)：ψ'(x)=A[-ksin(kx)-kcos(kx)]=-Ak√(sin2(kx)+cos2(kx))=-Ak。動(dòng)量算符為p=-i??/?x，作用于ψ(x)：pψ(x)=-i?A[cos(kx)-sin(kx)]=?kA[sin(kx)+cos(kx)]=?p。故動(dòng)量p=?k。(2)能量算符為?=-?2/2m?2/?x2+V(x)=-?2/2m(k2cos(kx)-k2sin(kx))+0=-?2k2/2m。能量E=-?2k2/2m。(3)歸一化條件：∫|ψ|2dx=1?！襕A2(cos2(kx)-sin2(kx))]dx=A2∫(cos(2kx))dx=A2(0)/2=0。此波函數(shù)未歸一化。為歸一化，需使積分結(jié)果為1?？紤]原函數(shù)ψ(x)是奇函數(shù)（ψ(-x)=-ψ(x)），其平方|ψ(x)|2是偶函數(shù)。∫[-x⁰]A2(cos2(kx)-sin2(kx))dx=A2∫[x⁰]cos(2kx)dx=A2(0)/2=0。∫[x^a]A2(cos2(kx)-sin2(kx))dx=A2∫[x^a]cos(2kx)dx=A2[?sin(2kx)]_x=a=A2[?sin(2ka)-?sin(0)]。由于sin(2ka)不一定為零（除非a是π/(2n)），該積分不為1。說明該形式的波函數(shù)ψ(x)=A[cos(kx)-sin(kx)]在0到a區(qū)間內(nèi)無(wú)法通過簡(jiǎn)單歸一化常數(shù)A使其滿足ψ*ψ在整個(gè)定義域（通常理解為-∞到+∞）積分為1的標(biāo)準(zhǔn)條件。這表明給定的ψ(x)形式可能不完整或定義域有誤。若假設(shè)其定義在0到a區(qū)間且需歸一化，則歸一化常數(shù)為A=√(1/∫[x^a]cos2(2kx)dx)。但此積分計(jì)算復(fù)雜且結(jié)果依賴于k和a的關(guān)系。通常此類題目會(huì)給出可直接歸一化的形式或定義在全空間的函數(shù)。按標(biāo)準(zhǔn)解法，應(yīng)指出該函數(shù)無(wú)法直接歸一化，或假設(shè)題目有誤，或需要補(bǔ)充信息（如定義在全空間且滿足特定條件）。此處按通常教學(xué)中的處理方式，指出其不能直接歸一化，并給出正確的歸一化常數(shù)形式。若假設(shè)題目意在考察積分能力，可計(jì)算該特定積分，但結(jié)果不為1。若假設(shè)題目意在考察歸一化概念，則應(yīng)提供可歸一化的函數(shù)。此處選擇指出其無(wú)法直接歸一化。若必須給出歸一化常數(shù)的表達(dá)式，則為A=√(1/∫[x^a]cos2(2kx)dx)。14.證明：已知哈密頓算符?=(-?2/2m)?2+V(x)，其中V(x)不顯含時(shí)間?？紤]算符作用在波函數(shù)ψ(x,t)上：?ψ=[(-?2/2m)?2+V(x)]ψ=(-?2/2m)?2ψ+V(x)ψ。根據(jù)含時(shí)薛定諤方程：i?(?ψ/?t)=(-?2/2m