復(fù)習(xí)課(三)概率古典概型此類(lèi)問(wèn)題主要考查古典概型的求法，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，且常與統(tǒng)計(jì)等問(wèn)題綜合考查．eq\a\vs4\al([考點(diǎn)精要])1．互斥事件與對(duì)立事件的概率(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件；對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生．因此對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況．(2)當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，當(dāng)事件A與B對(duì)立時(shí)，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．(3)求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．2．古典概型的求法對(duì)于古典概型概率的計(jì)算，關(guān)鍵是分清基本事件的總數(shù)n與事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)m，有時(shí)需用列舉法把基本事件一一列舉出來(lái)，再利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事件發(fā)生的概率，這是一個(gè)形象、直觀的好方法，但列舉時(shí)必須按照某種順序，以保證不重復(fù)、不遺漏．[典例]柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)地取出2只，試求下列事件的概率：(1)取出的鞋不成雙；(2)取出的鞋都是左腳的；(3)取出的鞋都是同一只腳的；(4)取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙．[解]用A1，A2；B1，B2；C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標(biāo)為奇數(shù)表示左腳，下標(biāo)為偶數(shù)表示右腳，則從6只鞋中取2只所有的取法有：A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共15種．(1)取出的鞋不成雙的所有取法有：A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，共12種．其概率為P1＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).(2)取出的鞋都是左腳的所有取法有：A1B1，B1C1，A1C1，共3種．其概率為P2＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(3)取出的鞋都是同一只腳的所有取法有：A1B1，B1C1，A1C1，A2B2，A2C2，B2C2，共6種．其概率為P3＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(4)取出的鞋一只左腳的，一只右腳的但不成雙的所有取法有：A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1，共6種．其概率為P4＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).[類(lèi)題通法]在古典概型中，計(jì)算概率的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到基本事件的數(shù)目，這就需要我們能夠熟練運(yùn)用圖表和樹(shù)狀圖，把基本事件一一列出．而有許多試驗(yàn)，它們的可能結(jié)果非常多，以至于我們不可能將所有結(jié)果全部列出，這時(shí)我們不妨找找其規(guī)律，算出基本事件的數(shù)目．eq\a\vs4\al([題組訓(xùn)練])1．如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱(chēng)這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,20)解析：選C從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).故選C.2．某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書(shū)法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書(shū)法社團(tuán)未參加書(shū)法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；(2)在既參加書(shū)法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學(xué)B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．解：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書(shū)法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人，故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45－30＝15(人)，所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15個(gè)．根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè)．因此A1被選中且B1未被選中的概率為P＝eq\f(2,15).幾何概型此類(lèi)問(wèn)題多以選擇題、填空題的形式考查幾何概型、概率的求法，屬于低檔題．eq\a\vs4\al([考點(diǎn)精要])1．幾何概型的基本特征：基本事件的無(wú)限性、每個(gè)事件發(fā)生的等可能性．2．幾何概型的概率計(jì)算公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).[典例](1)在半徑為1的圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)，連成一條弦，則其長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？(2)在半徑為1的圓內(nèi)，過(guò)一條直徑上任意一點(diǎn)作垂直于直徑的弦，求弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率．(3)以半徑為1的圓內(nèi)任一點(diǎn)為中點(diǎn)作弦，求弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率．[解](1)記事件A＝{弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)}，取圓內(nèi)接等邊△BCD的頂點(diǎn)B為弦的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)另一點(diǎn)在劣弧CD上時(shí)，|BE|＞|BC|，而劣弧CD的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的eq\f(1,3)，所以由幾何概率公式得P(A)＝eq\f(1,3).(2)記事件A＝{弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)}，如圖所示，不妨在過(guò)等邊△BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)作垂直于直徑的弦，顯然當(dāng)弦為CD時(shí)就是邊長(zhǎng)，弦長(zhǎng)大于|CD|長(zhǎng)的條件是圓心O到弦的距離小于|OF|，由幾何概率公式得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×2,2)＝eq\f(1,2).即弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是eq\f(1,2).(3)記事件A＝{弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)}，如圖所示，作等邊三角形的內(nèi)切圓，當(dāng)以小圓上任一點(diǎn)為切點(diǎn)作弦時(shí)，弦長(zhǎng)等于等邊三角形的邊長(zhǎng)，所以弦長(zhǎng)超過(guò)內(nèi)接三角形邊長(zhǎng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)弦的中點(diǎn)在小圓內(nèi)，小圓半徑為eq\f(1,2)，所以由幾何概率公式得P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)＝eq\f(1,4).即弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是eq\f(1,4).[類(lèi)題通法]三個(gè)題目都是在圓內(nèi)任意作弦使得弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)，但三個(gè)題目中由于“等可能”的含義不同，得到的概率不同．因而在解決幾何概率問(wèn)題時(shí)，必須找準(zhǔn)觀察角度，明確隨機(jī)選取的含義，判斷好基本事件的等可能性．eq\a\vs4\al([題組訓(xùn)練])1．在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：選A不等式－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化為logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)解析：選B因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0，))B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影部分的面積為eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，故P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).3．在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥eq\f(1,2)”的概率，p2為事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”的概率，p3為事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，則()A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p3＜p1C．p3＜p1＜p2 D．p3＜p2＜p1解析：選B滿足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)(x，y)在正方形OBCA及其邊界上．事件“x＋y≥eq\f(1,2)”對(duì)應(yīng)的圖形為圖①所示的陰影部分；事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”對(duì)應(yīng)的圖形為圖②所示的陰影部分；事件“xy≤eq\f(1,2)”對(duì)應(yīng)的圖形為圖③所示的陰影部分．對(duì)三者的面積進(jìn)行比較，可得p2＜p3＜p1.1．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的紅、藍(lán)球各一個(gè)，若有放回地摸出一個(gè)球并記下顏色為一次試驗(yàn)，試驗(yàn)共進(jìn)行三次，則至少摸到一次紅球的概率是()A.eq\f(1,8) B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(5,8)解析：選B所有的基本事件為：(紅，紅，紅)，(紅，紅，藍(lán))，(紅，藍(lán)，紅)，(藍(lán)，紅，紅)，(紅，藍(lán)，藍(lán))，(藍(lán)，紅，藍(lán))，(藍(lán)，藍(lán)，紅)，(藍(lán)，藍(lán)，藍(lán))，共8個(gè)．三次都是藍(lán)球的基本事件只有1個(gè)，其概率是eq\f(1,8)，根據(jù)對(duì)立事件的概率之間的關(guān)系，所求的概率為1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).選B.2．已知直線y＝x＋b，b∈[－2,3]，則直線在y軸上的截距大于1的概率為()A.eq\f(3,8) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(2,5)解析：選D直線在y軸上的截距大于1，則b∈(1,3]，故所求概率P＝eq\f(3－1,3－－2)＝eq\f(2,5).3．從含有a，b，c的集合中任取一個(gè)子集，所取的子集是含有兩個(gè)元素的集合的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,12)C.eq\f(45,64)D.eqD.\f(3,8)解析：選D所有子集共8個(gè)；其中含有2個(gè)元素的為{a，b}，{a，c}，{b，c}．4．有4根木棍長(zhǎng)度分別為2,5,7,10，從這4根木棍中任取3根，則所取的3根木棍首尾相接能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,5)解析：選A從4根木棍中任取3根，基本事件有(2,5,7)，(2,5,10)，(2,7,10)，(5,7,10)，共4個(gè)，能構(gòu)成三角形的只有(5,7,10)這一個(gè)基本事件，故所求概率P＝eq\f(1,4).5．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC＝150°，若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于1的概率為()A.eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,8)解析：選D分別以A，B，C，D為圓心，1為半徑作圓，圓與菱形ABCD重合部分的面積為2×π×12×eq\f(1,12)＋2×π×12×eq\f(5,12)＝π，而菱形ABCD的面積為8，所以所求概率為eq\f(8－π,8)＝1－eq\f(π,8).6.一只受傷的丹頂鶴向如圖所示(直角梯形)的區(qū)域上空飛來(lái)，其中AD＝eq\r(2)km，DC＝2km，BC＝1km，丹頂鶴隨機(jī)地落在該區(qū)域上任意一處，若落在扇形沼澤區(qū)域ADE以外，丹頂鶴能生還，則該丹頂鶴生還的概率是()A.eq\f(1,2)－eq\f(π,15) B．1－eq\f(π,10)C．1－eq\f(π,6) D．1－eq\f(3π,10)解析：選B過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，在Rt△AFD中，易知AF＝1，∠A＝45°.梯形ABCD的面積S1＝eq\f(1,2)×(2＋2＋1)×1＝eq\f(5,2)，扇形ADE的面積S2＝(eq\r(2))2×π×eq\f(1,8)＝eq\f(π,4)，故丹頂鶴生還的概率P＝eq\f(S1－S2,S1)＝eq\f(\f(5,2)－\f(π,4),\f(5,2))＝1－eq\f(π,10).7．從兩名男生和兩名女生中，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為_(kāi)_______．解析：設(shè)兩名女生為a1，a2，兩名男生為b1，b2，則所有可能的結(jié)果如下：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，b1)，(b2，a1)，(b2，a2)，共12種，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4種情況，所以所求概率為P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA與拋物線y＝x2＋1有交點(diǎn)的概率是________．解析：易知過(guò)點(diǎn)(0,0)與拋物線y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無(wú)需考慮)，集合N中共有16個(gè)元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個(gè)，由古典概型的概率計(jì)算公式知概率為P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)9．任意拋擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則點(diǎn)P(a，b)落在區(qū)域|x|＋|y|≤3中的概率為_(kāi)_______．解析：基本事件為6×6＝36，P(a，b)落在區(qū)域|x|＋|y|≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P＝eq\f(3,6×6)＝eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)10．某電腦公司現(xiàn)有A，B，C三種型號(hào)的甲品牌電腦和D，E兩種型號(hào)的乙品牌電腦，希望中學(xué)要從甲、乙兩種品牌電腦中各隨機(jī)選購(gòu)一種型號(hào)的電腦．(1)寫(xiě)出所有選購(gòu)方案；(2)如果(1)中各種選購(gòu)方案被選中的可能性相同，那么A型號(hào)電腦被選中的概率是多少？(直接寫(xiě)出結(jié)果即可)解：(1)畫(huà)出樹(shù)狀圖如圖：則選購(gòu)方案為：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)．(2)A型號(hào)電腦被選中的情形為(A，D)，(A，E)，即基本事件為2種，所以A型號(hào)電腦被選中的概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).11．已知甲袋中有1只白球、2只紅球，乙袋中有2只白球、2只紅球，現(xiàn)從兩袋中各取一球．(1)求兩球顏色相同的概率；(2)求至少有一只白球的概率．解：將甲袋中1只白球記為a1,2只紅球記為b1，b2；乙袋中2只白球記為a2，a3,2只紅球記為b3，b4，所以“從兩袋中各取一球”所包含的基本事件為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b3)，(a1，b4)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，b3)，(b2，b4)，共有12種．(1)設(shè)A表示“從兩袋中各取一球，兩球顏色相同”，所以事件A包含基本事件(a1，a2)，(a1，a3)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，共6種．所以P(A)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(2)設(shè)B表示“從兩袋中各取一球，至少有一只白球”，所以事件B包含基本事件(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b3)，(a1，b4)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b2，a2)，(b2，a3)，共8種，所以P(B)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).12．有7位歌手(1至7號(hào))參加一場(chǎng)歌唱比賽，由500名大眾評(píng)委現(xiàn)場(chǎng)投票決定歌手名次．根據(jù)年齡將大眾評(píng)委分為五組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050(1)為了調(diào)查評(píng)委對(duì)7位歌手的支持情況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評(píng)委，其中從B組抽取了6人，請(qǐng)將其余各組抽取的人數(shù)填入下表：組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的評(píng)委中各有2人支持1號(hào)歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的評(píng)委中分別任選1人，求這2人都支持1號(hào)歌手的概率．解：(1)由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽到的人數(shù)如下表：組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(2)記從A組抽到的3個(gè)評(píng)委為a1，a2，a3，其中a1，a2支持1號(hào)歌手；從B組抽到的6個(gè)評(píng)委為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1號(hào)歌手．從{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有結(jié)果為：由以上樹(shù)狀圖知所有結(jié)果共18種，其中2人都支持1號(hào)歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4種，故所求概率P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．某校有學(xué)生4500人，其中高三學(xué)生有1500人．為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，采用按年級(jí)分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個(gè)300人的樣本，則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為()A．50人 B．100人C．150人 D．20人解析：選B因?yàn)樵摮闃邮欠謱映闃?，所以?yīng)在高三學(xué)生中抽取1500×eq\f(300,4500)＝100(人)．2．閱讀如圖所示的算法框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為1，則輸出y的值為()A．2 B．7C．8 D．128解析：選C由算法框圖知，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥2，,9－x，x<2.))∵輸入x的值為1，比2小，∴執(zhí)行的程序要實(shí)現(xiàn)的功能為9－1＝8，故輸出y的值為8.3．閱讀下面的算法框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選CS＝10，i＝0，i＝i＋1＝1，S＝S－i＝10－1＝9，不滿足S≤1；i＝i＋1＝2，S＝S－i＝9－2＝7，不滿足S≤1；i＝i＋1＝3，S＝S－i＝7－3＝4，不滿足S≤1；i＝i＋1＝4，S＝S－i＝4－4＝0，滿足S≤1，輸出i＝4.4．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品，現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為()A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1解析：選B記3件合格品為a1，a2，a3,2件次品為b1，b2，則任取2件構(gòu)成的基本事件空間為Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10個(gè)元素．記“恰有1件次品”為事件A，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6個(gè)元素．故其概率為P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6.5.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，△EBC為正三角形．若向正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則它落在△EBC內(nèi)的概率為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：選B正方形的面積為4，S△EBC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，所以，質(zhì)點(diǎn)落在△EBC內(nèi)的概率為eq\f(\r(3),4).6．某班的全體學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A．45 B．50C．55 D．60解析：選B成績(jī)?cè)赱20,40)和[40,60)的頻率分別是0.1,0.2，則低于60分的頻率是0.3.設(shè)該班學(xué)生總?cè)藬?shù)為m，則eq\f(15,m)＝0.3，m＝50.7．一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽，有放回地隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，兩張標(biāo)簽上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(12,25) D.eq\f(9,25)解析：選C基本事件的總數(shù)為25個(gè)，其中兩張標(biāo)簽上的數(shù)字之和為奇數(shù)的情況有：(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，共12個(gè)，所以所求概率為P＝eq\f(12,25).8.甲、乙兩位同學(xué)在高三的5次月考中數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均成績(jī)分別為x甲，x乙，則下列敘述正確的是()A．x甲>x乙；乙比甲成績(jī)穩(wěn)定B．x甲>x乙；甲比乙成績(jī)穩(wěn)定C．x甲<x乙；乙比甲成績(jī)穩(wěn)定D．x甲<x乙；甲比乙成績(jī)穩(wěn)定解析：選C由題意可知，x甲＝eq\f(1,5)×(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x乙＝eq\f(1,5)×(78＋88＋88＋91＋90)＝87.故x甲<x乙．又由方差公式可得seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(81－72)2＋(81－77)2＋(81－78)2＋(81－86)2＋(81－92)2]＝50.4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(87－78)2＋(87－88)2＋(87－88)2＋(87－91)2＋(87－90)2]＝21.6，因?yàn)閟eq\o\al(2,乙)<seq\o\al(2,甲)，故乙的成績(jī)波動(dòng)較小，乙的成績(jī)比甲穩(wěn)定．9．閱讀下列程序：輸入x；Ifx＜0Theny＝eq\f(π,2)x＋3ElseIfx＞0Theny＝－eq\f(π,2)x＋5Elsey＝0EndIfEndIf輸出y.如果輸入x＝－2，則輸出結(jié)果y為()A．3＋π B．3－πC．π－5 D．－π－5解析：選B輸入x＝－2，則x＝－2＜0成立，則y＝eq\f(π,2)×(－2)＋3＝－π＋3，則輸出3－π.10．某農(nóng)科院在2×2的4塊試驗(yàn)田中選出2塊種植某品種水稻進(jìn)行試驗(yàn)，則每行每列都有一塊試驗(yàn)田種植水稻的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,3)解析：選D如圖給4塊試驗(yàn)田分別標(biāo)號(hào)為A1，A2，B1，B2.A1A2B1B2基本事件為：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)共6個(gè)基本事件，其中“每行每列都有一塊試驗(yàn)田種植水稻”的基本事件有：(A1，B2)，(A2，B1)，共2個(gè)．∴P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).11．在面積為S的△ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,9) D.eq\f(9,16)解析：選D設(shè)AB，AC上分別有點(diǎn)D，E滿足AD＝eq\f(3,4)AB且AE＝eq\f(3,4)AC，則△ADE∽△ABC，DE∥BC且DE＝eq\f(3,4)BC.∵點(diǎn)A到DE的距離等于點(diǎn)A到BC的距離的eq\f(3,4)，∴DE到BC的距離等于△ABC高的eq\f(1,4).當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在△ADE內(nèi)時(shí)，P到BC的距離大于DE到BC的距離，∴當(dāng)P在△ADE內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBC的面積大于eq\f(S,4)，∴所求概率為eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,16).12．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒(méi)有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)7人”．根據(jù)過(guò)去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是()A．甲地：總體平均值為3，中位數(shù)為4B．乙地：總體平均值為1，總體方差大于0C．丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3D．丁地：總體平均值為2，總體方差為3解析：選D根據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能有超過(guò)7，選項(xiàng)A中，中位數(shù)為4，可能存在大于7的數(shù)；同理，在選項(xiàng)C中也有可能；選項(xiàng)B中的總體方差大于0，敘述不明確，如果數(shù)目太大，也有可能存在大于7的數(shù)；選項(xiàng)D中，根據(jù)方差公式，如果有大于7的數(shù)存在，那么方差不會(huì)為3.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)解析：抽出的100位居民中平均每天看電視的時(shí)間在[2.5,3.0)(小時(shí))時(shí)間內(nèi)的頻率為0.5×0.5＝0.25，所以這10000位居民中平均每天看電視的時(shí)間在[2.5，3.0)(小時(shí))時(shí)間內(nèi)的人數(shù)是10000×0.25＝2500，抽樣比是eq\f(100,10000)＝eq\f(1,100)，則在[2.5,3)(小時(shí))時(shí)間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是2500×eq\f(1,100)＝25.答案：2514．已知變量x，y的回歸方程為y＝bx＋a，若b＝0.51，eq\x\to(x)＝61.75，eq\x\to(y)＝38.14，則回歸方程為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閍＝38.14－0.51×61.75＝6.6475，所以回歸方程為y＝0.51x＋6.6475.答案：y＝0.51x＋6.647515．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球．從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_(kāi)_______．解析：從4只球中一次隨機(jī)摸出2只球，有6種結(jié)果，其中這2只球顏色不同有5種結(jié)果，故所求概率為eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)16．設(shè)點(diǎn)(p，q)在|p|≤3，|q|≤3中按均勻分布出現(xiàn)，則方程x2＋2px－q2＋1＝0的兩根都是實(shí)數(shù)的概率為_(kāi)_______．解析：已知點(diǎn)(p，q)組成了邊長(zhǎng)為6的正方形，S正方形＝62＝36.由方程x2＋2px－q2＋1＝0的兩根都是實(shí)數(shù)得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，即p2＋q2≥1.所以當(dāng)點(diǎn)(p，q)落在“正方形內(nèi)且單位圓外”的陰影區(qū)域時(shí)，方程的兩根都是正數(shù)．由圖可知，陰影部分面積d＝S正方形－S圓＝36－π.所以原方程兩根都是實(shí)數(shù)的概率為1－eq\f(π,36).答案：1－eq\f(π,36)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開(kāi)始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率．解：(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計(jì)概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)稱(chēng)相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對(duì)”(如，1日與2日，2日與3日等)．這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對(duì)有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8).以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為eq\f(7,8).18．(本小題滿分12分)(廣東高考)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？解：(1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得x＝0.0075，∴直方圖中x的值為0.0075.(2)月平均用電量的眾數(shù)是eq\f(220＋240,2)＝230.∵(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，則0.45＋0.0125×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位數(shù)為224.(3)月平均用電量在[220,240)的用戶有0.0125×20×100＝25(戶)，同理可求月平均用電量為[240,260)，[260,280)，[280,300)的用戶分別有15戶、10戶、5戶，故抽取比例為eq\f(11,25＋15＋10＋5)＝eq\f(1,5)，∴從月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25×eq\f(1,5)＝5(戶)．19．(本小題滿分12分)全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國(guó)網(wǎng)民中影響力的綜合指標(biāo)．根據(jù)相關(guān)報(bào)道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國(guó)性大型活動(dòng)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”融合指數(shù)的數(shù)據(jù)，對(duì)名列前20名的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表所示.組號(hào)分組頻數(shù)1[4,5)22[5,6)83[6,7)74[7,8]3(1)現(xiàn)從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研，求至少有1家的融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的概率；(2)根據(jù)分組統(tǒng)計(jì)表求這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)的平均數(shù)．解：(1)融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為A1，A2，A3；融合指數(shù)在[4,5)內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為B1，B2.從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10個(gè)．其中，沒(méi)有1家的融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的基本事件是：{B1，B2}，共1個(gè)．所以所求的概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).(2)這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)平均數(shù)等于4．5×eq\f(2,20)＋5.5×eq\f(8,20)＋6.5×eq\f(7,20)＋7.5×eq\f(3,20)＝6.05.20．(本小題滿分12分)隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.(1)計(jì)算甲班的樣本方差；(2)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué)，求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率．解：(1)甲班的平均身高為eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(158