第13章三角形第二節(jié)與三角形有關的線段第1課時三角形的邊目錄：一、核心知識管理二、易錯點辨析三、考點例題精析與變式練習題四、基礎拔高練習核心知識點梳理知識點1三邊關系定理及推論1.三邊的關系：內容數(shù)學表達式（設三邊為a,b,c，且a>b>c）理論依據(jù)定理：兩邊之和大于第三邊b+c>a（只需驗證最短兩邊和＞最長邊）兩點之間線段最短推論：兩邊之差小于第三邊ab<c（只需驗證最長邊最短邊＜第三邊）不等式性質推導2.核心應用公式：1.第三邊取值范圍：已知兩邊長a,b（a>b），則第三邊c滿足：ab<c<a+b；2.周長取值范圍：已知兩邊長a,b（a>b），則周長L滿足：2a<L<2(a+b)；3.等腰三角形邊長驗證：分“已知邊為腰”和“已知邊為底邊”兩類討論，需同時滿足三邊關系。知識點2三角形的穩(wěn)定性三角形的三邊一旦確定，三角形九確定，三角形的形狀再不發(fā)生改變，這就是三角形的穩(wěn)定性。即三角形具有穩(wěn)定性。二、易錯點辨析誤區(qū)1：“驗證三邊關系時需逐一檢查所有組合”（實際只需驗證最短兩邊和＞最長邊）；誤區(qū)2：“等腰三角形周長計算直接相加”（需先驗證分類后的邊長是否符合三邊關系，排除無效解）。三、考點例題精講與變式練習考點一：三角形概念的理解【例1】（2024?廣州荔灣期中）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A.2cm，3cm，5cmB.3cm，4cm，8cmC.5cm，6cm，10cmD.5cm，6cm，11cm【分析】利用“最短兩邊和＞最長邊”的簡便方法判斷，避免逐一驗證三邊。【解答】A：2+3=5，不滿足“和＞第三邊”，排除；B：3+4=7＜8，排除；C：5+6=11＞10，滿足條件；D：5+6=11，不滿足“和＞第三邊”，排除。故選：C．【方法總結】判斷時優(yōu)先找出最長邊，只需驗證較短兩邊之和是否大于最長邊即可快速得出結論。【變式練習1】（2024?杭州西湖期中）三條線段的長度比為3:4:5，且總長為36cm，則這三條線段（）A.能組成銳角三角形B.能組成直角三角形C.能組成鈍角三角形D.不能組成三角形【分析】先根據(jù)比例求出實際邊長，再驗證三邊關系并判斷三角形類型?！窘獯稹?每份長度=36÷(3+4+5)=3cm，三邊長為9cm、12cm、15cm；?驗證三邊關系：9+12=21＞15，滿足構成條件；又∵92+122=81+144=225=152，故為直角三角形。故選：B．【方法總結】掌握三角形三邊之間的關系即可?？键c二：等腰三角形的邊長計算【例2】（2024?武漢洪山期中）已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm和11cm，則該三角形的周長為（）A.21cmB.27cmC.21cm或27cmD.16cm【分析】先求第三邊的整數(shù)取值范圍，再找最小整數(shù)解計算周長。【解答】?設第三邊為c，由三邊關系得：74＜c＜7+4，即3＜c＜11；?第三邊為整數(shù)，最小取值為4；?周長最小值=4+7+4=15。故選：A?！痉椒偨Y】先通過三邊關系確定第三邊范圍，再結合“整數(shù)”“最小/最大”等限制條件取值，最后計算周長?！咀兪骄毩?】（2024?南京鼓樓期中）等腰三角形的周長為20cm，設腰長為xcm，則腰長x的取值范圍是（）A.0＜x＜10B.5＜x＜10C.x＞5D.x＜10【分析】三角形的分類及相關定義?！窘獯稹拷猓河醚L表示底邊長，結合“底邊長＞0”和三邊關系列不等式組。故選：B．【方法總結】熟練掌握三角形三邊之間的關系即可?？键c三：第三邊范圍與周長計算【例3】（2024?成都錦江期中）已知△ABC的兩邊長分別為4和7，第三邊的長為整數(shù)，則△ABC的周長的最小值為（）A.15B.16C.17D.18分析】先求第三邊的整數(shù)取值范圍，再找最小整數(shù)解計算周長?！窘獯稹拷猓?設第三邊為c，由三邊關系得：74＜c＜7+4，即3＜c＜11；?第三邊為整數(shù)，最小取值為4；周長最小值=4+7+4=15．答案：A【方法總結】方法總結：先通過三邊關系確定第三邊范圍，再結合“整數(shù)”“最小/最大”等限制條件取值，最后計算周長。。【變式練習3】（2024?北京海淀期中）下列說法正確的是（）①三邊分別為5、5、6的三角形是等腰三角形；②若三條線段滿足a+b>c，則一定能組成三角形；③等邊三角形是特殊的等腰三角形；④三角形的兩邊之差一定小于第三邊。A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④【分析】利用等腰三角形的定義和性質及三角形三邊關系解決問題。【解答】①有兩邊相等（5=5），是等腰三角形，正確；②缺少“a+c>b且b+c>a”，如2+3>4，但2+4>3和3+4>2需同時滿足，錯誤；③等邊三角形滿足“兩邊相等”，是特殊等腰三角形，正確；④符合三邊關系推論，正確。。故選：B。【方法總結】掌握等腰三角形的定義及性質，熟練應用三角形三邊關系?？键c四：三角形的穩(wěn)定性【例4】1．如圖，在生活中，我們經(jīng)常會看見如圖所示的情況，在電線桿上拉兩條鋼筋，來加固電線桿，這是利用了三角形的（）穩(wěn)定性 B．靈活性 C．對稱性 D．全等性【分析】利用三角形的穩(wěn)定性?！窘獯稹窟@是利用了三角形的穩(wěn)定性．故選：A?！痉椒偨Y】掌握等腰三角形的穩(wěn)定性即可。【變式練習4】雙人漫步機是一種有氧運動器材，通過進行心血管健康的有氧運動，如慢跑、快走等，可以增強人體的心肺功能，降低血壓、改善血糖．這種設計應用的幾何原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間線段最短 C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短【分析】利用三角形的穩(wěn)定性。【解答】解：∵雙人漫步機采用如圖所示的三角形支架方法固定，∴這種方法應用的幾何原理：三角形的穩(wěn)定性．故選：A?！痉椒偨Y】掌握等腰三角形的穩(wěn)定性即可?；A拔高練習時間：60分鐘總分：100分選擇題（本大題共8小題，總分32分）題號12345678答案BABBADCC二、填空題（本大題共5小題，總分20分）9．7＜x＜11．10．4（答案不唯一）．11．8．12．3．13．15．三、解答題（本大題共5小題，總分48分）14．已知三條線段的長分別是3，7，m，若它們能構成三角形，求整數(shù)m的最大值．解：由三角形的三邊關系可知：7﹣3＜m＜7+3，即4＜m＜10，因此整數(shù)m的最大值是9．15．若△ABC的三邊長分別為a，b，c，其中a和c滿足a?4+c2解：∵由題意得，a?4+∴a?4+∴a﹣4＝0且c﹣2＝0，∴a＝4，c＝2，又∵在△ABC中，根據(jù)三角形的三邊關系可得，a﹣c＜b＜a+c，∴2＜b＜6，∵b為最長邊，∴4＜b＜6，∴最長邊b的最大整數(shù)值為5．16．已知a，b，c是△ABC的三邊．（1）若a＝2，b＝5．求第三邊c的取值范圍；（2）若a＝2，b＝5，第三邊c為奇數(shù)，判斷△ABC的形狀；（3）化簡：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|．解：（1）∵a＝2，b＝5，∴5﹣2＜c＜2+5，∴3＜c＜7；（2）∵3＜c＜7，第三邊為奇數(shù)，∴第三邊c＝5，∴該三角形為等腰三角形；（3）∵a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，∴原式＝a+b﹣c﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）＝a+b﹣3c．17．如圖，已知D、E是△ABC內的兩點，問AB+AC＞BD+DE+EC成立嗎？請說明理由．解：AB+AC＞BD+DE+EC成立，理由如下：延長DE交AB于點F、延長DE交AC于G，在△AFG中：AF+AG＞FG①，在△BFD中：FB+FD＞BD②，在△EGC中：EG+GC＞EC③，∵FD+ED+EG＝FG，∴①+②+③得：AF+FB+FD+EG+GC+AG＞FG+BD+EC，即：AB+FD+EG+AC＞FG+BD+EC，AB+AC＞FG﹣FD﹣EG+BD+EC，∴AB+AC＞BD+ED+EC．18．如圖，數(shù)軸上，點A，B表示的數(shù)分別為a，b，P為負半軸上任意一點，它表示的數(shù)為x．（1）計算|a?b|+a+b2（2）嘉淇認為：當﹣2≤x＜0時，PO+PA＜AB，則以PO，PA，AB的長為邊長不能構成三角形，若以PO，PA，AB的長為邊長能構成三角形，請直接寫出x的取值范圍．解：（1）由題意，得a＝﹣2，b＝1，|a?b|+a+b2（2）由題意知PO＝﹣x，