專(zhuān)題02有理數(shù)的運(yùn)算（19個(gè)考點(diǎn)梳理題型解讀提升訓(xùn)練）【清單1】倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)；注意：0沒(méi)有倒數(shù)；若ab=1a、b互為倒數(shù)；若ab=1a、b互為負(fù)倒數(shù).等于本身的數(shù)匯總：相反數(shù)等于本身的數(shù)：0倒數(shù)等于本身的數(shù)：1，1絕對(duì)值等于本身的數(shù)：正數(shù)和0平方等于本身的數(shù)：0,1立方等于本身的數(shù)：0,1，1.【清單2】有理數(shù)加法的運(yùn)算律：【清單3】有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；即ab=a+（b）.【清單4】有理數(shù)乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；（2）任何數(shù)與零相乘都得零；（3）幾個(gè)因式都不為零，積的符號(hào)由負(fù)因式的個(gè)數(shù)決定.奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)為負(fù)，偶數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)為正?！厩鍐?】有理數(shù)乘法的運(yùn)算律：（1）乘法的交換律：ab=ba；（2）乘法的結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.（簡(jiǎn)便運(yùn)算）【清單7】有理數(shù)乘方的法則：（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；【清單8】乘方的定義：（1）求相同因式積的運(yùn)算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底數(shù)，相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪；（3）a2是重要的非負(fù)數(shù)，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0；（4）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何次冪都是0；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。【清單9】混合運(yùn)算法則：先乘方，后乘除，最后加減；注意：不省過(guò)程，不跳步驟?！厩鍐?0】科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)即1≤a<10，這種記數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法.10的指數(shù)=整數(shù)位數(shù)1,整數(shù)位數(shù)=10的指數(shù)+1【清單11】近似數(shù)的精確位：一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到那一位.【考點(diǎn)題型一】有理數(shù)加法【答案】C【分析】此題考查有理數(shù)的加法的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于找到規(guī)律．由圖可以看出白色表示正數(shù)，黑色表示負(fù)數(shù)，觀(guān)察圖即可列式．【詳解】解：由圖知：白色表示正數(shù)，黑色表示負(fù)數(shù)，故選：C．【變式11】（2324七年級(jí)下·北京·期中）在四張卡片上寫(xiě)上4個(gè)正整數(shù)，再?gòu)倪@四張卡片中任選兩張，將卡片上的數(shù)字相加，所得的和記為．（1）若i的最大值為4，則這4個(gè)正整數(shù)中，最大的數(shù)字可能為；（2）若i所有可能的值為5，6，7，8，則這4個(gè)正整數(shù)分別是．（寫(xiě)出一組即可）【答案】32、3、3、5或2、3、4、4（任填一組即可）【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法計(jì)算：（1）根據(jù)兩個(gè)正整數(shù)相加的和最大值為4，即可得到答案；（2）分別列出兩正整數(shù)相加為5，6，7，8的所有可能性，進(jìn)而推出最小的兩個(gè)數(shù)一定是2和3，再討論最大的數(shù)為6，5，4即可求解．【詳解】解：（1）∵兩個(gè)正整數(shù)相加的和最大值為4，∴這兩個(gè)正整數(shù)中，最大的數(shù)為3，故答案為：3；（2）相加得5的兩個(gè)正整數(shù)整數(shù)可能為：1，4或2，3；相加得6的兩個(gè)正整數(shù)可能為：1，5或2，4或3、3；相加得7的兩個(gè)正整數(shù)可能為：1，6或2，5或3、4．相加得8的兩個(gè)正整數(shù)可能為：1，7或2，6或3，5或4、4，∵i所有可能的值為5，6，7，8，即不管怎么選取，兩個(gè)正整數(shù)的和的最小值都為5，∴最小的兩個(gè)數(shù)一定是2和3，∵和最大為8，當(dāng)最大的數(shù)為4時(shí)，則另外一個(gè)數(shù)為4，此時(shí)四個(gè)數(shù)為2、3、4、4，符合題意；綜上所述，符合題意的數(shù)為2、3、3、5或2、3、4、4，故答案為：2、3、3、5或2、3、4、4（任填一組即可）【變式12】（2324七年級(jí)上·北京豐臺(tái)·期中）計(jì)算：【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)加法法則，同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，絕對(duì)值相加即可，計(jì)算即可；（2）根據(jù)加法法則，異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，絕對(duì)值較大的數(shù)減去絕對(duì)值較小的數(shù)，計(jì)算即可；．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的加法法則．【變式13】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算下列各題：【答案】(1)(2)(3)(4)18.96【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，同號(hào)兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反數(shù)相加得0；任何數(shù)與0相加仍得原數(shù)．（1）至（6）根據(jù)加法法則計(jì)算即可．【考點(diǎn)題型二】有理數(shù)加法運(yùn)算律【例2】（2324七年級(jí)上·山西呂梁·期中）下列變形中正確使用加法交換律的是（

）【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，根據(jù)加法運(yùn)算律逐一判斷即可．故選：C．【變式21】（2324七年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）下列變形，運(yùn)用加法運(yùn)算律錯(cuò)誤的是（

）【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算律，熟練掌握交換律，結(jié)合律是解題的關(guān)鍵．故選C．【答案】②③【分析】根據(jù)新定義逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可．故①錯(cuò)誤；故②正確；故③正確；∴該運(yùn)算滿(mǎn)足交換律不成立．故④錯(cuò)誤，故答案為：②③【點(diǎn)睛】此題考查了新定義運(yùn)算，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．【答案】（1）7；（2）【分析】本題主要考查了有理數(shù)加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)加法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)有理數(shù)加法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)加法的運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算即可．=7；【變式24】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）用適當(dāng)方法計(jì)算：【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握有理數(shù)加法運(yùn)算法則和加法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型三】有理數(shù)加法應(yīng)用【例3】（2425九年級(jí)上·北京海淀·開(kāi)學(xué)考試）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)下設(shè)有六個(gè)村莊，村莊之間有道路相通，如圖所示，圖中的黑線(xiàn)即代表村莊間連通的道路，道路上標(biāo)志的數(shù)字為該道路的長(zhǎng)度（單位：千米），小宇要為該鄉(xiāng)鎮(zhèn)設(shè)計(jì)自來(lái)水管道線(xiàn)路，為了鋪設(shè)及檢修方便，所有的自來(lái)水管道均要沿著村莊間的道路鋪設(shè)，且要求六個(gè)村莊都能通過(guò)管道相連．請(qǐng)回答：所鋪設(shè)自來(lái)水管道總長(zhǎng)度的最小值為千米．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)加法運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)圖形找到所鋪設(shè)自來(lái)水管道的最短路徑，再列式計(jì)算即可求解，根據(jù)圖形找到所鋪設(shè)自來(lái)水管道的最短路徑是解題的關(guān)鍵．故答案為：．【變式31】（2324八年級(jí)下·北京豐臺(tái)·期末）某校初二（1）班負(fù)責(zé)學(xué)校種植園的黃瓜、茄子兩塊菜地，定期選派學(xué)生完成菜地的打理工作，打理內(nèi)容包括A（施肥），B（除草），C（澆水）三項(xiàng)，要求如下：①其中項(xiàng)目A，B順序可以交換，但項(xiàng)目C必須放在最后完成；②每塊菜地同一時(shí)間只能有一人進(jìn)行打理；③每塊菜地每項(xiàng)完成時(shí)間如下表：時(shí)間（分鐘）

項(xiàng)目菜地ABC黃瓜菜地15129茄子菜地18159現(xiàn)有該班3名同學(xué)打理菜地，小明只負(fù)責(zé)項(xiàng)目A，小亞只負(fù)責(zé)項(xiàng)目B，小紅只負(fù)責(zé)項(xiàng)目C，在不考慮其他因素的前提下，若這3人只完成黃瓜菜地的打理，則需要分鐘；若這3人完成兩塊菜地的打理，則最少需要分鐘．【答案】3645【分析】本題考查有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用，根據(jù)所給規(guī)則合理安排工作順序，即可求解．若要需要最少時(shí)間，小明先給黃瓜菜地施肥，同時(shí)小亞給茄子菜地除草，用時(shí)15分鐘，然后小明給茄子菜地施肥，用時(shí)18分鐘，同時(shí)小亞給黃瓜菜地除草，用時(shí)12分鐘，然后小紅給黃瓜菜地澆水，用時(shí)9分鐘，然后小紅最后給茄子菜地澆水，故答案為：36，45．工序ABCDEFG所需時(shí)間/分鐘99797102若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要的時(shí)間是分鐘．【答案】28【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合題意進(jìn)行正確的推理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：假設(shè)這兩名學(xué)生為甲，乙，工序、須在工序完成后進(jìn)行，工序須在工序、都完成后進(jìn)行，且工序，都需要9分鐘完成，甲學(xué)生做工序，乙學(xué)生做工序，需要9分鐘，然后甲學(xué)生做工序，同時(shí)乙學(xué)生做工序，乙學(xué)生工序完成后接著做工序，此時(shí)需要9分鐘，最后甲學(xué)生做工序，乙學(xué)生同時(shí)做工序，此時(shí)需要10分鐘，即若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要28分鐘．故答案為：28．【變式33】（1819七年級(jí)上·福建廈門(mén)·期中）在抗洪搶險(xiǎn)中，解放軍戰(zhàn)士的沖鋒舟加滿(mǎn)油沿東西方向的河流搶救災(zāi)民，早晨從地出發(fā)，約定向東記為正，向西記為負(fù)（單位：千米）：，，，，，，，．(1)請(qǐng)你幫忙確定地相對(duì)于地的位置；(2)若沖鋒舟每千米耗油升，油箱容量為升，求沖鋒舟當(dāng)天救災(zāi)過(guò)程中至少還需補(bǔ)充多少升油？【答案】(1)地在地的東邊千米；(2)升油．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得和，再根據(jù)向東為正，和的符號(hào)，可判定方向；（2）根據(jù)行車(chē)就耗油，可得耗油量，再根據(jù)耗油量與已有的油量，可得答案．答：地在地的東邊千米；答：沖鋒舟當(dāng)天救災(zāi)過(guò)程中至少還需補(bǔ)充升油．【點(diǎn)睛】此題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型四】有理數(shù)減法【例4】（2324七年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的是(

)【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)減法運(yùn)算法則直接求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，故選：A；【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)減法運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握法則．【變式41】（2223七年級(jí)上·北京東城·期中）下面是小明和小樂(lè)在學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算后的一段對(duì)話(huà)．請(qǐng)你完成下面的運(yùn)算，并填寫(xiě)運(yùn)算過(guò)程中的依據(jù)解=．【答案】；減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；5；絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；．【分析】先根據(jù)減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，然后再利用“異號(hào)的兩個(gè)有理數(shù)的加法法則”進(jìn)行計(jì)算，即可得解．故答案為：；減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；5；絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的減法運(yùn)算與加法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．【答案】26【分析】有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的減法法則，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2425七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）計(jì)算：【答案】(1)(2)12【分析】本題考查了有理數(shù)的減法．先根據(jù)有理數(shù)的減法法則，將減法轉(zhuǎn)化為加法，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可．【考點(diǎn)題型五】有理數(shù)減法應(yīng)用【例5】（2122七年級(jí)上·廣東廣州·期中）某市某天的最高氣溫為5℃，最低氣溫為﹣6℃，那么這天的最高氣溫比最低氣溫高（）A．﹣11℃ B．﹣6℃ C．11℃ D．6℃【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則列式計(jì)算即可．【詳解】解：5﹣（﹣6），＝5+6，＝11（℃），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的減法，是基礎(chǔ)題，熟記減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)減法的應(yīng)用，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義列式計(jì)算即可．故選：C．【變式1】（2324七年級(jí)上·北京西城·階段練習(xí)）某垃圾值守點(diǎn)有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可參與值守時(shí)間段如下表所示：志愿者可參與值守時(shí)間段1可參與值守時(shí)間段2甲乙丙丁已知每名志愿者一天至少要參加一個(gè)時(shí)間段的值守，任意時(shí)刻垃圾值守點(diǎn)同時(shí)最多需要2名志愿者值守，則該值守點(diǎn)這一天所有參與值守的志愿者的累計(jì)值守時(shí)間最最長(zhǎng)為（

）小時(shí)．（假設(shè)志愿者只要參與值守，就一定把相應(yīng)時(shí)間段全部值完）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】本題主要考查簡(jiǎn)單的極端原理，關(guān)鍵是理解清楚每個(gè)人至少參加一個(gè)時(shí)間段的值守，同一時(shí)間值守的人不能超過(guò)兩個(gè)的含義．【詳解】要使時(shí)間最長(zhǎng)，即每人盡量都參加兩次值守，且同一時(shí)間值守的人不能超過(guò)兩個(gè)，故選B．【變式52】（2324七年級(jí)上·北京東城·期中）如果將點(diǎn)B先向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度后，這時(shí)點(diǎn)B表示的數(shù)是，則點(diǎn)B最初在數(shù)軸上表示的數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)，有理數(shù)的加減法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)移動(dòng)的方向和距離，反向列式計(jì)算即可．∴點(diǎn)B最初在數(shù)軸上表示的數(shù)為，故答案為：．【變式1】（2223七年級(jí)上·北京通州·期中）我們給出如下規(guī)定，如果兩個(gè)有理數(shù)的和是8，那么稱(chēng)這兩個(gè)有理數(shù)互為“吉祥數(shù)”．(1)下列各數(shù)對(duì)①5和3；②和13；③和46中，互為“吉祥數(shù)”的數(shù)對(duì)有．（只填寫(xiě)序號(hào)）(2)若一個(gè)有理數(shù)的“吉祥數(shù)”是，求這個(gè)有理數(shù)；(3)在數(shù)軸上，點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離是8，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A表示的數(shù)的“吉祥數(shù)”．【答案】(1)①②(2)11(3)0或16【分析】（1）分別求和計(jì)算，然后根據(jù)“吉祥數(shù)”的概念求解即可；（2）根據(jù)“吉祥數(shù)”的概念列式求解；（3）首先得到點(diǎn)A表示的數(shù)為或，然后根據(jù)“吉祥數(shù)”的概念求解即可．綜上所述，互為“吉祥數(shù)”的數(shù)對(duì)有①②，故答案為：①②；（2）根據(jù)題意得，∴這個(gè)有理數(shù)為11；（3）∵點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離是8∴點(diǎn)A表示的數(shù)為或綜上所述，點(diǎn)A表示的數(shù)的“吉祥數(shù)”為0或16．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加減法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則．如圖，以郵局為原點(diǎn)，以向東方向?yàn)檎较?，?個(gè)單位長(zhǎng)度表示畫(huà)出數(shù)軸．(1)村離A村有多遠(yuǎn)；(2)郵遞員一共騎行了多少千米？【答案】(1)數(shù)軸見(jiàn)詳解，C村離A村有6千米遠(yuǎn)(2)18千米【分析】本題考查了數(shù)軸及有理數(shù)的加法運(yùn)算，根據(jù)題目信息，理解數(shù)量關(guān)系并畫(huà)出數(shù)軸是解題的關(guān)鍵．（1）畫(huà)出數(shù)軸，然后根據(jù)題意標(biāo)注點(diǎn)、、即可；（2）列出算式計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：由題意可得數(shù)軸如圖所示：答：村離村有6千米．答：郵遞員一共騎行了18千米．【考點(diǎn)題型六】有理數(shù)加減混合運(yùn)算【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)加減運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)加法和減法運(yùn)算法則求解即可．【答案】【分析】本題考查的是有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，先化為省略加號(hào)的和的形式，再計(jì)算即可．．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加減，根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握有理數(shù)的加減運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【答案】【分析】本題考查的是有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，把互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)先加，再計(jì)算即可，掌握加法的運(yùn)算律是解本題的關(guān)鍵．【答案】6【分析】本題主要考查有理數(shù)加減法，根據(jù)加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可=6．【答案】25【分析】根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則即可求解．=25．【點(diǎn)睛】此題主要考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算法則．【考點(diǎn)題型七】有理數(shù)加減中的混合運(yùn)算A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的新定義運(yùn)算，根據(jù)新定義運(yùn)算計(jì)算即可求解，理解有理數(shù)的新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．故選：．A．盈利 B．虧損 C．不盈不虧 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】利用有理數(shù)的加法求出已知各數(shù)的和即可求出一周總的盈虧情況．該食品店這一周的盈虧情況是盈285元，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)及有理數(shù)加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法法則．【變式72】（2324七年級(jí)上·北京西城·階段練習(xí)）閱讀下面材料，并完成問(wèn)題：【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）按新定義計(jì)算即可求解；故答案為：，；因?yàn)槭钦麛?shù)部分，所以：綜上所述，的值為或，故答案為：或；故的值為．【答案】今年的小麥總產(chǎn)量與去年相比增產(chǎn)了44【分析】本題考查了有理數(shù)加減的實(shí)際應(yīng)用，正負(fù)數(shù)的意義，將所給數(shù)據(jù)相加，根據(jù)增產(chǎn)為正，減產(chǎn)為負(fù)可得答案．答：今年的小麥總產(chǎn)量與去年相比增產(chǎn)了44．

(1)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明A站是哪一站？(2)請(qǐng)說(shuō)明濟(jì)嘉同學(xué)本次志愿活動(dòng)向東最遠(yuǎn)到哪站？(3)若相鄰兩站之間的平均距離為1.2千米，求這次濟(jì)嘉同學(xué)志愿服務(wù)期間乘坐地鐵行進(jìn)的總路程約是多少千米？【答案】(1)西單站；(2)大望路站；【分析】（1）求出這些數(shù)的和，再根據(jù)和的符號(hào)和絕對(duì)值大小判斷A站所在的位置；（2）分別計(jì)算前1個(gè)、前2個(gè)、前3個(gè)、…、前8個(gè)數(shù)的和，然后由和的符號(hào)是正數(shù)，且絕對(duì)值最大數(shù)來(lái)確定向東最遠(yuǎn)的站點(diǎn)；（3）計(jì)算所有站數(shù)的絕對(duì)值的和，再乘以1.2即可．A站是西單站；【點(diǎn)睛】此題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義、有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解絕對(duì)值、正負(fù)數(shù)的意義是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】有理數(shù)乘法【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的加法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘法法則、有理數(shù)的加法法則進(jìn)行解題即可．∴a，b同號(hào)，故選：B．A．點(diǎn)A左側(cè) B．點(diǎn)A點(diǎn)B之間（不含點(diǎn)A點(diǎn)B）C．點(diǎn)B點(diǎn)C之間（不含點(diǎn)B點(diǎn)C） D．點(diǎn)C右側(cè)【答案】C∴原點(diǎn)在點(diǎn)B點(diǎn)C之間；故選C【答案】D故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，絕對(duì)值的意義，以及有理數(shù)的加法和乘法法則，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．【變式83】（2324七年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·階段練習(xí)）四個(gè)互不相等的整數(shù)和為零，積為9，求這四個(gè)數(shù)中最大的整數(shù)值為．【答案】3【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則判斷出這四個(gè)數(shù)是兩對(duì)相反數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算列式即可判斷出最大的數(shù)．【詳解】解：四個(gè)互不相等的整數(shù)和為零，這四個(gè)數(shù)是相對(duì)相反數(shù)，它們的積為9，這四個(gè)數(shù)中最大的整數(shù)值為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的加法、相反數(shù)的定義，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式84】（2122七年級(jí)上·北京通州·期末）如圖，在數(shù)軸上有一點(diǎn)A，將點(diǎn)A向右移動(dòng)1個(gè)單位得到點(diǎn)B，點(diǎn)B向右移動(dòng)2個(gè)單位得到點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)a、b、c．A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，a、b、c三個(gè)數(shù)的乘積為負(fù)數(shù)．若這三個(gè)數(shù)的和與其中的一個(gè)數(shù)相等，則a的值為．【答案】/0.5【分析】根據(jù)數(shù)軸、結(jié)合題意設(shè)的值為，分情況列出方程，解方程即可．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的乘法、一元一次方程、數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法法則、靈活運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決．【答案】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出、、、的值．(1)請(qǐng)你仿照上面各式的形式，再寫(xiě)出一個(gè)不同的式子：________；(3)不成立，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)材料提示，正數(shù)、負(fù)數(shù)都已經(jīng)有計(jì)算方法，用零表示其計(jì)算過(guò)程即可求解；（2）根據(jù)材料提示，有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解；（3）根據(jù)計(jì)算法則進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算即可求證．（3）解：不成立，理由如下，【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)運(yùn)算的規(guī)律題，理解題目定義新運(yùn)算的運(yùn)算法則，掌握有理數(shù)的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式87】（2024七年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：【答案】(1)(2)1.62【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，計(jì)算時(shí)要注意運(yùn)算符號(hào)的處理．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解．【變式88】（2024七年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：(2)(3)(4)0【分析】本題考查有理數(shù)的乘法，熟知有理數(shù)乘法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可．（4）原式．【考點(diǎn)題型九】有理數(shù)乘法運(yùn)算律【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘法分配律．【答案】4【分析】本題考查了有理數(shù)乘法的分配律，熟練掌握有理數(shù)乘法的分配律的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可求解．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，原式逆用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．．【答案】【分析】根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，注意運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化．【變式94】（2223七年級(jí)上·北京順義·階段練習(xí)）計(jì)算題．【答案】(1)30(2)3(4)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)加減計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)有理數(shù)加減計(jì)算法則求解即可；（3）根據(jù)有理數(shù)乘法結(jié)合律求解即可；（4）根據(jù)有理數(shù)乘法分配律求解即可．；【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減計(jì)算，有理數(shù)乘法運(yùn)算律，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十】有理數(shù)乘法應(yīng)用【答案】C【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意正確列出算式是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意列出算式，然后再根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．故選：C．【變式101】（2223六年級(jí)上·北京·期末）小昕爺爺去年在銀行里存入50000元，存定期兩年，年利率是2.70%，到期時(shí)可以得到利息元．【分析】到期時(shí)，利息＝存入銀行的錢(qián)數(shù)×年利率×2．根據(jù)題意，列出相應(yīng)的式子．【點(diǎn)睛】本題主要考查了存錢(qián)利息，根據(jù)題意列出相應(yīng)的式子是解題的關(guān)鍵．【答案】1900所以成活的樹(shù)苗大約有1900株．故答案為：1900【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式103】（2024·北京西城·二模）在某次比賽中，5位選手進(jìn)入決賽環(huán)節(jié)，決賽賽制為單循環(huán)形式（每?jī)晌贿x手之間都賽一場(chǎng)）．每位選手勝一場(chǎng)得3分．負(fù)一場(chǎng)得0分，平局得1分．已知這次比賽最終結(jié)果沒(méi)有并列第一名，獲得第一名的選手的成績(jī)記為（分），則的最小值為；當(dāng)獲得第一名的選手的成績(jī)恰好為最小值時(shí)，決賽環(huán)節(jié)的平局總數(shù)至少為場(chǎng)．【答案】64【分析】本題考查規(guī)律型，數(shù)字的變化類(lèi)，根據(jù)比賽要求求出總的場(chǎng)次，即可得出所有選手的得分總和的范圍，再分析出每名選手的比賽場(chǎng)次，根據(jù)題意分析出沒(méi)有并列第一名，且需要求第一名選手成績(jī)的最小值，此條件下，可得有一名選手至少贏一場(chǎng)，就可與其他選手拉開(kāi)差距，且此時(shí)第一名的成績(jī)也可以盡可能的小，進(jìn)行計(jì)算即可的出結(jié)論﹒【詳解】解：已知5名選手，兩兩之間只比賽一場(chǎng)，因?yàn)閯賵?chǎng)得分3分，負(fù)一場(chǎng)得分0分，若平局，則兩位選手各得1分，因?yàn)闆](méi)有并列第一名，且需要求第一名選手成績(jī)的最小值，所以當(dāng)10場(chǎng)中9平1勝時(shí)，即有一名選手贏一場(chǎng)，就可與其他選手拉開(kāi)差距，則m的最小值為6；……依次類(lèi)推，可知：所有選手的總分越大時(shí)，平局的場(chǎng)次越少，即在第一名為6分時(shí)，總分越大時(shí)，平局得場(chǎng)次就越小，當(dāng)?shù)谝幻麨?分，其余四位選手均為5分時(shí)，所有選手此時(shí)的總分最大，故平局是數(shù)最少為4場(chǎng)，故答案為：6，4．【變式104】（2024·北京·三模）車(chē)間里有五臺(tái)車(chē)床同時(shí)出現(xiàn)故障．已知第一臺(tái)至第五臺(tái)修復(fù)的時(shí)間如下表：車(chē)床代號(hào)ABCDE修復(fù)時(shí)間（分鐘）83111617若每臺(tái)車(chē)床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失10元，修復(fù)后即可投入生產(chǎn)．（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一臺(tái)機(jī)床，則下列三個(gè)修復(fù)車(chē)床的順序：（2）如果由兩名修理工同時(shí)修復(fù)車(chē)床，且每臺(tái)機(jī)床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟(jì)損失為元．【答案】②1040【分析】本題考查了有理數(shù)的加法和乘法混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，找出方案是解題的關(guān)鍵．（1）因?yàn)橐?jīng)濟(jì)損失最少，就要使總停產(chǎn)的時(shí)間盡量短，顯然先修復(fù)時(shí)間短的，分別根據(jù)題意求解判斷即可；（2）一名修理工修按D，C，B的順序修，另一名修理工修按A，E的順序修，修復(fù)時(shí)間最短，據(jù)此計(jì)算即可．∴經(jīng)濟(jì)損失最少的是②，故答案為：②；（2）一名修理工修按D，C，B的順序修，另一名修理工修按A，E的順序修，故答案為：1040．【考點(diǎn)題型十一】倒數(shù)【例11】（1718七年級(jí)·北京門(mén)頭溝·期末）的倒數(shù)是（）A．8 B．-8 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義即可求解，解題的關(guān)鍵是熟知負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)．【詳解】解：的倒數(shù)為．故選：B．【答案】1【分析】互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加為0，互為倒數(shù)的兩數(shù)積為1，即可求解．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)和倒數(shù)的特性，是?？嫉闹R(shí)點(diǎn)．【答案】－1【分析】利用相反數(shù)、倒數(shù)的性質(zhì)，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義分別求出對(duì)應(yīng)的值，代入原式計(jì)算即可得出正確答案．故答案為：－1．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)的性質(zhì)和絕對(duì)值的意義，熟練掌握以上性質(zhì)是解答此類(lèi)題的關(guān)鍵．【變式113】（2122七年級(jí)上·北京·期中）如圖，在數(shù)軸上的倒數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是．【答案】C【分析】先求得的倒數(shù)，再在數(shù)軸上找對(duì)應(yīng)點(diǎn)．【詳解】解：的倒數(shù)是，B代表的數(shù)是，C代表的數(shù)是，故填：C．【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)軸表示有理數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型．【變式114】（2122七年級(jí)上·北京·期末）小明在學(xué)習(xí)“倒數(shù)”一節(jié)的相關(guān)知識(shí)時(shí)發(fā)現(xiàn)：若5＞2，則＜．于是，他歸納出關(guān)于倒數(shù)的一個(gè)結(jié)論：對(duì)于任意兩個(gè)非零有理數(shù)a，b，若a＞b，則＜．同學(xué)們，你們認(rèn)為小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論（填“正確”或“錯(cuò)誤”），理由是：．【分析】討論兩個(gè)非零有理數(shù)異號(hào)時(shí)，與的大小關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論錯(cuò)誤，【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)、有理數(shù)的大小比較，熟練掌握倒數(shù)的定義（乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)）是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十二】有理數(shù)除法【分析】原式利用除法法則變形，計(jì)算即可求出值．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的除法運(yùn)算法則．【變式121】（1415七年級(jí)上·湖北孝感·階段練習(xí)）兩個(gè)非零有理數(shù)的和為零，則它們的商是(

)A．0 B． C．1 D．不能確定【答案】B【分析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為a，b（a≠0，b≠0），根據(jù)相反數(shù)定義求得a=b，再根據(jù)除法法則計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為a，b（a≠0，b≠0），由題意得，a+b=0，則a=b，∴a÷b=（b）÷b=1，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的除法計(jì)算，相反數(shù)的定義，熟記相反數(shù)的定義及除法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．A．8 B． C．2 D．【答案】B故選：B．A．3或1 B．或0 C．3或 D．或1【答案】C【分析】本題考查絕對(duì)值的定義以及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念，根據(jù)絕對(duì)值的定義以及性質(zhì)分兩種情況討論，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵x，y同號(hào)，故選：C．【答案】C【分析】利用有理數(shù)的加法與除法法則判斷即可．【詳解】解：∵a+b＜0，0，∴a與b同號(hào)，且同時(shí)為負(fù)數(shù)，則a＜0，b＜0，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的除法，以及有理數(shù)的加法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除法，有理數(shù)的大小比較，根據(jù)有理數(shù)的乘法與有理數(shù)的大小比較求出a、b的值，然后相除即可得解．故答案為：．【考點(diǎn)題型十三】有理數(shù)除法的應(yīng)用【例13】（2324七年級(jí)上·北京海淀·階段練習(xí)）數(shù)軸上原點(diǎn)右邊厘米處的點(diǎn)表示的有理數(shù)是32，那么，數(shù)軸上原點(diǎn)左邊18厘米處的點(diǎn)表示的有理數(shù)是．【分析】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，根據(jù)題意先求出1厘米在數(shù)軸上表示個(gè)單位長(zhǎng)度，進(jìn)而求出原點(diǎn)左邊18厘米處的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，再根據(jù)原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵數(shù)軸上原點(diǎn)右邊厘米處的點(diǎn)表示的有理數(shù)是32，(1)請(qǐng)你判斷小明的解答是否正確，若正確，請(qǐng)你運(yùn)用小明的解法解答下面的問(wèn)題；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)正確(2)【分析】（1）正確，利用倒數(shù)的定義判斷即可；（2）求出原式的倒數(shù)，即可確定出原式的值．【詳解】（1）解：正確，理由為：一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的倒數(shù)等于原數(shù)；【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【答案】(1)(2)①；②（2）①?gòu)念?lèi)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，即可求解；②從類(lèi)數(shù)中任意取出個(gè)數(shù)，從類(lèi)數(shù)中任意取出個(gè)數(shù)，從類(lèi)數(shù)中任意取出個(gè)數(shù)，把它們的余數(shù)相加，再除以，根據(jù)余數(shù)判斷即可求解．故答案為：．∴余數(shù)為，屬于類(lèi)，故答案為：①；②．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的應(yīng)用和有理數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義進(jìn)行解答．【考點(diǎn)題型十四】有理數(shù)的乘方A．乘 B．個(gè)相乘 C．個(gè)相乘 D．個(gè)相加【答案】B【分析】根據(jù)乘方的含義：表示個(gè)相乘，即可解答．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，充分理解乘方的含義即可，難度不大．A． B． C． D．【答案】A故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了乘法以及乘方的意義，理解乘方的意義是解題的關(guān)鍵．【變式142】（2223七年級(jí)下·北京朝陽(yáng)·期末）下列各組運(yùn)算中，運(yùn)算后結(jié)果相等的是（

）【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的法則計(jì)算即可．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟記法則是解題的關(guān)鍵．【變式143】（2122七年級(jí)上·北京海淀·期中）《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭．”這句話(huà)的意思是一尺長(zhǎng)的木棍，每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．若按此方式截一根長(zhǎng)為的木棍，第天截取后木棍剩余的長(zhǎng)度是（

）【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)乘方，分別求出第一天、第二天、第三天木棍剩余的長(zhǎng)度，即可找到規(guī)律求解，掌握有理數(shù)乘方的意義找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．∴第天截取后木棍剩余的長(zhǎng)度是，故選：．A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④【答案】D綜上所述，正確的序號(hào)有②③④．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的新定義運(yùn)算，有理數(shù)的乘方運(yùn)算的含義，正確理解新定義，運(yùn)用新定義解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．【答案】6【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，將原式變形求出x和y的值即可得到答案．故答案為：6【考點(diǎn)題型十五】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，關(guān)鍵是熟記有理數(shù)混合運(yùn)算的順序，運(yùn)算法則與運(yùn)算定律．先確定符號(hào)，再根據(jù)有理數(shù)乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算．根據(jù)有理數(shù)的乘除法“先將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算并確定符號(hào)，再按順序計(jì)算”可以解答本題．．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則，是解答本題的關(guān)鍵．【答案】．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【考點(diǎn)題型十六】有理數(shù)四則混合運(yùn)算【答案】9【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則即可解題．【答案】2【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)四則混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．．【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．先算乘法，后算減法，即可求解．【答案】【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算．先計(jì)算平方和括號(hào)里面的乘法，再算加減，最后算括號(hào)外面的即可．【考點(diǎn)題型十七】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【例17】（2324七年級(jí)下·北京·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：【答案】(1)27(2)0【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，(1)按照先乘除，再算加減的順序計(jì)算即可．(2)按照先乘方，再乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里的順序計(jì)算即可．．【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，先算乘方，再