專題24.1圓（舉一反三講義） 【人教版】TOC\o"13"\h\u【題型1圓的認(rèn)識(shí)】 2【題型2判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】 3【題型3利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑】 3【題型4與圓有關(guān)的概念】 4【題型5利用圓的基本性質(zhì)求角度】 5【題型6利用圓的基本性質(zhì)求長度】 6【題型7利用圓的基本性質(zhì)求坐標(biāo)】 7【題型8利用圓的基本性質(zhì)求最值】 8知識(shí)點(diǎn)1圓的定義及表示方法1.定義：（1）描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，其固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．“圓”是指“圓周”（一條封閉曲線）而不是“圓面”．（2）集合性定義：將圓心為O、半徑為r的圓看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合．確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素圓心：確定圓的位置，圓的表示方法以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．圓的特性（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長（半徑r）；（2）所有到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上；（3）圓上任意兩點(diǎn)和圓心構(gòu)成的三角形是等腰三角形．知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系為點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)3圓的有關(guān)概念弦與直徑連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦（如圖中AB），經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（如圖中AC）．2.弧、半圓、劣弧、優(yōu)弧、圓心角（1）圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱?。?）圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．（3）弧（4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．3.同心圓、等圓與等弧圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓．能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓．在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．同圓或等圓的半徑相等．【題型1圓的認(rèn)識(shí)】【例1】（2425九年級(jí)上·江蘇南京·開學(xué)考試）下列說法：①同一圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等；②如果某幾個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這幾個(gè)點(diǎn)共圓；③半徑確定了，圓就確定了，其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式11】到點(diǎn)A的距離等于2厘米的點(diǎn)的軌跡是．【變式12】下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（

）A．以點(diǎn)O為圓心 B．以10cmC．以點(diǎn)O為圓心，10cm長為半徑 D．經(jīng)過已知點(diǎn)【變式13】如圖所示，在四邊形ABCD，∠B=∠D=90°，求證：A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．【題型2判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【例2】（2025九年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）矩形ABCD中，AB=8，BC=35，點(diǎn)P在邊AB上，且BP=3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（

A．點(diǎn)B、C均在圓P外 B．點(diǎn)B在圓P外、點(diǎn)C在圓P內(nèi)C．點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外 D．點(diǎn)B、C均在圓P內(nèi)【變式21】（2425九年級(jí)上·浙江溫州·期中）若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是1,2，點(diǎn)P的坐標(biāo)是5,4，那么點(diǎn)P在（填“圓內(nèi)”“圓上”或“圓外”）．【變式22】（2425九年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）已知⊙O的半徑是方程x2?5x?24=0的根，且點(diǎn)A到圓心O的距離為6，則點(diǎn)A在（A．⊙O上 B．⊙O內(nèi) C．⊙O外 D．無法確定【變式23】（2425九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在等邊△ABC中，點(diǎn)A在以BC邊為直徑的圓．（填“上”“內(nèi)”或“外”）【題型3利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑】【例3】（2425九年級(jí)上·貴州遵義·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA長為半徑作圓，若使點(diǎn)C在⊙P內(nèi)且點(diǎn)B在⊙P外，則⊙P的半徑可以是（

A．32 B．2 C．125 【變式31】（2425九年級(jí)上·廣東汕頭·階段練習(xí)）圓外一點(diǎn)到圓的最大距離是8，最小距離是2，則這個(gè)圓的半徑為（

）A．6 B．3 C．8 D．4【變式32】已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以點(diǎn)B為圓心r為半徑作圓，且⊙B與邊CD有唯一公共點(diǎn)，則r的取值范圍為（

A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r<4 【變式33】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D為AB的中點(diǎn)．以A為圓心，r為半徑作⊙A，若B、C、D三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在⊙A內(nèi)，則⊙A的半徑r的取值范圍是（

A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4【題型4與圓有關(guān)的概念】【例4】下列說法中，正確的是（

）A．長度相等的兩條弧是等弧 B．優(yōu)弧一定大于劣弧C．不同的圓中不可能有相等的弦 D．直徑是一個(gè)圓中最長的弦【變式41】如圖，在⊙O中，（1）半徑有：．（2）直徑有：．（3）弦有：．（4）劣弧BC對(duì)應(yīng)的優(yōu)弧是，它們剛好拼成一個(gè)完整的圓．【變式42】小明在半徑為5的圓中測量弦AB的長度，下列測量結(jié)果中一定是錯(cuò)誤的是（

）A．4 B．5 C．10 D．11【變式43】（2425九年級(jí)上·安徽淮南·期中）下列命題中，正確的是（

）①半圓是弧；②弦是圓上兩點(diǎn)之間的部分；③半徑是弦；④在同圓或等圓中，直徑是最長的弦；⑤在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上．A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤【題型5利用圓的基本性質(zhì)求角度】【例5】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，若∠BOD=84°，則∠ACO的度數(shù)為（）A．38° B．46° C．44° D．48°【變式51】（2425九年級(jí)上·四川綿陽·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，∠BCD=30°，則∠ABC等于（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式52】（2425九年級(jí)上·天津·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，連接CD，則∠ACD=（

）A．15° B．10° C．12° D．50°【變式53】（2425九年級(jí)下·甘肅張掖·期中）如圖，已知點(diǎn)A，D，C在⊙O上，連接OA,OC,AD,CD，若四邊形AOCD是菱形，則∠AOC的度數(shù)是（

）A．150° B．120° C．90° D．60°【題型6利用圓的基本性質(zhì)求長度】【例6】（2425九年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，在⊙O中，直徑MN=20，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都分別在半徑OP、OM及⊙O上，且∠POM=45°，則AB=（）A．4 B．25 C．26【變式61】（2425九年級(jí)上·廣東惠州·期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD⊥AB，垂足為D，已知CD=4，OD=3，則AB的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．10【變式62】（2425八年級(jí)上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中∠B=75°，DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)M，AE=CE，以點(diǎn)C為圓心CA長為半徑作弧，交DE于點(diǎn)F，連結(jié)CF交AB于點(diǎn)G．若CG=FG=2，則AB長為（

）A．2 B．4 C．23 D．【變式63】如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，若DE:AD=1:4，則BE:AB=（

）．A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4【題型7利用圓的基本性質(zhì)求坐標(biāo)】【例7】（2025·寧夏銀川·模擬預(yù)測）小超同學(xué)在平面直角坐標(biāo)系中畫的奔馳車車標(biāo)如圖所示，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為0，4，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為【變式71】（2425九年級(jí)下·湖北宜昌·階段練習(xí)）如圖，直線l與⊙O相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【變式72】（2025·遼寧大連·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B；再分別以點(diǎn)O，B為圓心，大于12OB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C，D，直線CD與AB相交于點(diǎn)E．若OA=2，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

A．?2,1 B．?3,1 C．?1,3【變式73】（2025·山東淄博·一模）對(duì)于點(diǎn)P和線段AB，給出如下定義：若將線段AB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)可以得到⊙O的弦A1B1（A1，B1分別是A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段AB是⊙O的以點(diǎn)P為中心的“和諧線段”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P?1,1，A?2,3，B?1,2的，連接A．0,1 B．0,?1 C．1,0 D．?1,0【題型8利用圓的基本性質(zhì)求最值】【例8】（2425九年級(jí)上·海南·期中）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，動(dòng)點(diǎn)E,F分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿AB,CD向終點(diǎn)B,D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E,F作直線l，過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為（

）A．52 B．32 C．5【變式81】（2425九年級(jí)下·河北邢臺(tái)·期末）如圖，A、B為⊙O上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），D為AC的中點(diǎn)．若⊙O的半徑為2，則BD的最大值為（

）A．1+5 B．C．3 D．25【變式82】（2425九年級(jí)下·安徽宿州·期中）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=5，BC=12