內(nèi)蒙古赤峰市、呼和浩特市校際聯(lián)考2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等腰中，在線段斜邊上任取一點(diǎn)，則線段的長度大于的長度的概率（）A B.C. D.2．在三棱錐中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱上，且滿足，若，則（）A. B.C. D.3．設(shè)函數(shù)，則（）A.4 B.5C.6 D.74．球O為三棱錐的外接球，和都是邊長為的正三角形，平面PBC平面ABC，則球的表面積為（）A. B.C. D.5．曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.5 B.6C.7 D.87．已知是拋物線上的一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A. B.C. D.8．直線的傾斜角為（）A B.C. D.9．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為，則此直線的方程為（）A. B.C. D.10．曲線為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來實(shí)現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①曲線C關(guān)于點(diǎn)(0，0)對稱；②曲線C關(guān)于直線y＝x對稱；③曲線C的面積超過4π.A.0 B.1C.2 D.311．如圖，、分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，則橢圓方程為（）A. B.C. D.12．已知，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，則___________.14．已知，，，若，則______.15．已知雙曲線，（，）的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點(diǎn)，且有軸，則直線的斜率是___________，雙曲線的漸近線方程為___________.16．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為______（結(jié)果用數(shù)值表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）記函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：為自然對數(shù)的底數(shù)）.18．（12分）一個(gè)長方體的平面展開圖及該長方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請將字母F，G，H標(biāo)記在長方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）：（2）若且有下面兩個(gè)條件：①；②，請選擇其中一個(gè)條件，使得DF⊥平面，并證明你的結(jié)論19．（12分）過原點(diǎn)O的圓C，與x軸相交于點(diǎn)A(4,0)，與y軸相交于點(diǎn)B(0,2)(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l過B點(diǎn)與圓C相切，求直線l的方程，并化為一般式20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）如圖，在四棱錐中P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值22．（10分）已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計(jì)算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C2、B【解析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得故選：B.3、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.4、B【解析】取中點(diǎn)為T，以及的外心為，的外心為，依據(jù)平面平面可知為正方形，然后計(jì)算外接球半徑，最后根據(jù)球表面積公式計(jì)算.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為T，的外心為，的外心為，如圖由和均為邊長為的正三角形則和的外接圓半徑為，又因?yàn)槠矫鍼BC平面ABC，所以平面，可知且，過分別作平面、平面的垂線相交于點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，且四邊形是邊長為的正方形，所以外接球半徑，則球的表面積為，故選：B5、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設(shè)，，，∴離心率.故選：C.6、B【解析】求出樣本的中心點(diǎn)，再利用回歸直線必過樣本的中心點(diǎn)計(jì)算作答.【詳解】依題意，，則這個(gè)樣本的中心點(diǎn)為，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為6.故選：B7、D【解析】設(shè)點(diǎn)，取，可得，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，則，，取，則，可得，因?yàn)?，可得，解得，則，因此，.故選：D.8、C【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C9、D【解析】求出直線的斜率，利用斜截式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，由題意可知，所求直線的方程為.故選：D.10、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對稱性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(diǎn)(－x，－y)代入后依然為，故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱；②將點(diǎn)(y，x)代入后依然為，故曲線C關(guān)于y＝x對稱；③曲線C在四個(gè)象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線C上離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內(nèi)曲線C的面積小于，則曲線C的總面積小于4π.故③錯(cuò)誤.故選：C.11、A【解析】設(shè)橢圓方程為，設(shè)該橢圓的焦距為，則，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可得出，可得出，，結(jié)合已知條件求得的值，可得出、的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】設(shè)橢圓方程為，設(shè)該橢圓的焦距為，則，由圖可知，點(diǎn)第一象限，將代入橢圓方程得，得，所以，點(diǎn)，易知點(diǎn)、，，，因?yàn)椋瑒t，得，可得，則，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為為，則，，因此，橢圓的方程為.故選：A.12、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】依題意，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由的導(dǎo)數(shù)為，將代入，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.14、【解析】根據(jù)題意，由向量坐標(biāo)表示，列出方程，求出，，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，若，則，解得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由向量坐標(biāo)表示求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.15、①.②.【解析】由題意，不妨設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，由可得，代入雙曲線方程，可得，因此，即得解【詳解】如圖所示，不妨設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，，由于代入進(jìn)入，可得，漸近線方程為故答案為：，16、12【解析】通過二次展開式就可以得到.【詳解】的展開式中含含項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：12三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減（2）證明見解析【解析】（1）先求導(dǎo)，然后對導(dǎo)數(shù)化簡整理后再解不等式即可得單調(diào)性；（2）要證明，通過求函數(shù)的極值可證明，要證，根據(jù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，再通過換元從求函數(shù)的最值上證明.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，令，得?所以時(shí)，或；時(shí)，.所以在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞減，此時(shí)不可能存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，.令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，.所以要使存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，即，解得.因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，則，即.不妨設(shè)，則，則，要證，即證，即證，即，.即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以成立.綜上有.【關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛】解決本題的第（1）問的關(guān)鍵是對導(dǎo)函數(shù)的分子因式分解；解決第（2）問的關(guān)鍵一是分步證明，二是研究函數(shù)的單調(diào)性，三是轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，四是換元思想的運(yùn)用.18、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）由展開圖及直觀圖直接觀察可得；（2）選擇②，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DF⊥平面.【小問1詳解】如圖，【小問2詳解】若選擇①，若此時(shí)有平面，則由平面可得，而平面，而平面，故，因?yàn)?，則平面，由平面可得，故此時(shí)矩形為正方形，，矛盾.選擇條件②，使得平面，下面證明如圖，連接,在長方體中，平面，而平面，故，而，故矩形為正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.19、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則分別代入原點(diǎn)和，得到方程組，解出即可得到；（2）由（1）得到圓心為，半徑，由于直線過點(diǎn)與圓相切，則分別討論斜率存在與否，運(yùn)用直線與圓相切的條件：，解方程即可得到所求直線方程.【詳解】(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則分別代入原點(diǎn)和，得到，解得則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)由(1)得到圓心為，半徑，由于直線過點(diǎn)與圓相切，當(dāng)時(shí)，到的距離為2，不合題意，舍去；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，由直線與圓相切，得到，即有，解得，故直線，即為點(diǎn)睛：本題考查直線與圓位置關(guān)系，考查圓的方程的求法和直線與圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題；圓的方程有一般形式與標(biāo)準(zhǔn)形式，在該題中利用待定系數(shù)法將其設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)形式，列、解出方程組即可；當(dāng)直線與圓相切時(shí)等價(jià)于圓心到直線的距離等于半徑，已知直線上一點(diǎn)寫出直線的方程需注意斜率不存在的情形.20、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）利用平面與平面垂直的性質(zhì)得出直線與平面垂直，進(jìn)而得出平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為且平面中，所以平面又平面所以又，且所以平面【小問2詳解】解：由（1）知，平面且所以、、兩兩垂直因此以原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，，，設(shè)所以，，，，由（1）知，平面所以為平面的法向量且因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為所以解得：所以，又，，所以，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為：，所以，令，則令，則，，即設(shè)平面與平面夾角為則所以平面與平面夾角的余弦值為.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理來證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得平面與平面所成角的余弦值.【小問1詳解】由于平面，所以，由于,所以平面.【小問2詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)平面與平面所成角為，則.22、（1）證明見解析；（2）在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn).【解析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過C作，再以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算判斷作答.【小問1詳解】在三棱柱中，四邊形是平