緒論1.1課題研究的目的和意義矩陣的特征值、特征向量是線性代數(shù)課程中的重要組成部分，求解特征值、特征向量問(wèn)題是線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一。由于矩陣的特征值、特征向量在高等代數(shù)、線性代數(shù)的教學(xué)中具有典型性，而考研數(shù)學(xué)作為碩士研究生入學(xué)考試的重要組成部分，其指導(dǎo)思想是既有利于國(guó)家對(duì)高層次人才的選拔，又有利于各個(gè)高校各類(lèi)數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量的提高。通過(guò)研究生考試，正確引導(dǎo)高等學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)向培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的方向進(jìn)行發(fā)展，使得學(xué)生能夠?qū)W以致用，從而對(duì)教學(xué)質(zhì)量的提高起到積極的促進(jìn)作用。本文圍繞考研數(shù)學(xué)大綱矩陣的特征值、特征向量相關(guān)問(wèn)題劃定的考試內(nèi)容范圍對(duì)“考研”數(shù)學(xué)一真題中的相關(guān)題目做一些分析討論，希望給考研學(xué)生以及考研輔導(dǎo)老師有一定的積極作用。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀對(duì)于矩陣的特征值、特征向量相關(guān)問(wèn)題的研究，特別是“考研”數(shù)學(xué)一中真題的研究是必要的。2007年，黃金偉在文獻(xiàn)[1]中給出了矩陣的特征值、特征向量的兩種求解方法：行列互逆變換方法、列初等變換方法。2008年，湯正華在文獻(xiàn)[2]中對(duì)矩陣的特征值、特征向量的定義、性質(zhì)作了討論；王英瑛在文獻(xiàn)[3]中利用矩陣的初等變換理論，詳細(xì)介紹了矩陣特征值和特征向量的求解方法；夏慧明、周永權(quán)在文獻(xiàn)[4]中提出一種基于進(jìn)化策略求解矩陣特征值及特征向量的新方法。2009年，趙院娥、李順琴在文獻(xiàn)[5]中進(jìn)一步研究了幾種矩陣的特征值問(wèn)題。同樣，向以華在文獻(xiàn)[6]中歸納特征值、特征向量相關(guān)問(wèn)題時(shí)，也得出了通過(guò)對(duì)矩陣進(jìn)行行列互逆變換，可同時(shí)求出特征值、特征向量的結(jié)論，并且討論了反問(wèn)題。張紅玉在文獻(xiàn)[7]中通過(guò)n階方陣A的特征值得出一系列相關(guān)矩陣的特征值，再由特征值與正定矩陣之間的關(guān)系，得出正定矩陣的結(jié)論。近年來(lái)，對(duì)矩陣特征值與特征向量的研究已經(jīng)非常深入，本文將對(duì)“考研”數(shù)學(xué)一真題中的矩陣特征值、特征向量的相關(guān)題目進(jìn)行分類(lèi)解析，為老師和考研學(xué)生提供參考。矩陣的特征值、特征向量問(wèn)題與解析最新頒布的全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)考試大綱對(duì)本節(jié)的要求是：理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量。抽象矩陣求特征值常以填空題形式出現(xiàn)，有關(guān)特征向量基本概念的考查以選擇題為主。2.1預(yù)備知識(shí)定義2.1[8]A是一個(gè)n階方陣，如果存在一個(gè)數(shù)λ和一個(gè)n維非零列向量α，使得Aα=λα成立，則稱(chēng)λ為矩陣A的特征值，非零列向量α稱(chēng)為矩陣A的屬于特征值λ的特征向量。定義2.2[9]A為n階方陣，λ為未知量，則矩陣λE稱(chēng)為矩陣A的特征矩陣；其行列式fλ=λE?A為λ的n次多項(xiàng)式，稱(chēng)為矩陣A的特征多項(xiàng)式；性質(zhì)2.1[9]特征值和特征向量的基本性質(zhì)（1）n階矩陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT（2）屬于A的不同特征值的特征向量必定線性無(wú)關(guān)（但屬于相同特征值的特征向量不一定相關(guān)）；（3）屬于同一特征值的特征向量的線性組合仍是屬于該特征值的特征向量；（4）設(shè)λ1,λ2,?,λ1+λ1+?+對(duì)角線的元素的和；λ（5）λ為矩陣A的特征值，α是A的屬于λ的特征向量，則kλ是kA的特征值（kλm是Am的特征值（當(dāng)A可逆時(shí)，λ?1是A?1的特征值，Pλ是PA的特征值，其中P注：α是A的屬于λ的特征向量，則α仍是矩陣kA、Am定理2.1[9]若矩陣A可逆?矩陣A的特征值全不為零。求數(shù)字方陣的特征值與特征向量步驟：（1）計(jì)算特征多項(xiàng)式f（2）特征方程λE?A=0，它的全部根λ1（3）對(duì)每一個(gè)特征值λi1≤i≤n,求出齊次方程組λiE?Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系ai12.2真題解析例2.1（1998年考研數(shù)學(xué)一第4題）若A為n階矩陣，A≠0,A?為A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣，若A有特征值λ，則A分析由于A≠0,故λ≠0.設(shè)α是A對(duì)應(yīng)于λ從而AA?1α而A另一方面Eα所以A即A?2故答案為Aλ評(píng)注抽象矩陣求特征值的結(jié)論：（1）若fx為關(guān)于x的多項(xiàng)式，若λ是矩陣A的特征值，fA是矩陣A的矩陣多項(xiàng)式，則f（2）若矩陣A可逆，A的特征值為λ，則A?1的特征值為1λ,例2.2（2003年考研數(shù)學(xué)四第13題）設(shè)矩陣A=21112111a可逆，向量α=1b1是矩陣A?的一個(gè)特征向量，解矩陣A?的屬于特征值λ的特征向量為α.由于矩陣A可逆，故A?可逆，于是λ≠0,A≠0A?兩邊同時(shí)左乘A，得AAα=即2由此，得方程組3+b=解得b=1或b=?2由于A由3+b=Aλ=所以，當(dāng)b=1時(shí)，λ=1;當(dāng)b評(píng)注設(shè)n階矩陣A的特征值為λ，對(duì)應(yīng)的特征向量為α.當(dāng)題目中涉及特征值和特征向量時(shí)，首先要寫(xiě)出Aα=λα,若只是求特征值時(shí)，λE?A=0或例2.3（2003年考研數(shù)學(xué)一第9題）設(shè)矩陣A求B+2E的特征值與特征向量，其中A?為A的伴隨矩陣，解（方法一）經(jīng)計(jì)算可得APB從而B(niǎo)λ故B+2當(dāng)λ1η所以對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為k其中k1,當(dāng)λ3η所以對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為k其中k3是不為零的任意常數(shù)（方法二）設(shè)A的特征值為λ，對(duì)應(yīng)的特征向量為η，即Aη=λη.由于A=7≠0,所以又因AA?A于是有BB因此，Aλ+2為B由于λE故A的特征值為λ當(dāng)λ1η當(dāng)λ3η由P得P因此，B+2對(duì)應(yīng)于特征值9得全部特征向量為k其中k1,對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為k其中k3是不為零的任意常數(shù)評(píng)注本題（方法一）使用具體矩陣求特征值、特征向量的計(jì)算方法；而（方法二）則使用抽象矩陣有關(guān)特征值、特征向量的結(jié)論求解，復(fù)習(xí)過(guò)程中還應(yīng)注意近幾年對(duì)伴隨矩陣的要求提高了。在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)做到一題多解，并選擇出最優(yōu)的方法，才能考試時(shí)節(jié)約時(shí)間從而提高做題的速度。例2.4（2005考研數(shù)學(xué)一第4題）設(shè)λ1,λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1（A）λ1≠0（C）λ1=0分析（方法一）令k1則kk由于α1k當(dāng)λ2≠0時(shí)，顯然有k1=0,反過(guò)來(lái)，若α1,A否則，α1故應(yīng)選（B）.（方法二）由于α可見(jiàn)α1,故應(yīng)選（B）.評(píng)注本題綜合考查了特征值、特征向量的定義及向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義，所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)注重知識(shí)點(diǎn)定義的復(fù)習(xí)。例2.5（2008年考研數(shù)學(xué)一第13題）設(shè)A為2階矩陣，α1,α2為線性無(wú)關(guān)的2維列向量，Aα分析A記P=α1P所以A和B有相同的特征值λE即λ1=0,故應(yīng)填1.評(píng)注本題的思路是尋找具體矩陣B，使B和抽象矩陣A相似，進(jìn)而利用結(jié)論“相似矩陣有相同的特征值”求解。實(shí)際上，抽象矩陣求特征值還是可利用定義求解。例如本題：Aα1=0=0?α1A故A有特征值1.例2.6（2011年考研數(shù)學(xué)一第21題）設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，A的秩為2，且A1（1）求A的所有特征值與特征向量；（2）求矩陣A.解（1）記α由題設(shè)條件知A所以，A有特征值λ1=又rA=2，故A=0,從而另一個(gè)特征值λ3=0,設(shè)λ3α解得α從而A的特征值分別為?1,1,0,其對(duì)應(yīng)的特征向量分別為（2）由于不同特征值的特征向量正交，則只需將α1r令Q=則Q所以A=Q==評(píng)注（1）要將題目的式子轉(zhuǎn)化為Aα1,α（2）將（1）中所求出的特征向量單位化后組成正交矩陣，套用公式進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算過(guò)程中要細(xì)心，避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤而丟分的情況。例2.7（2017年考研數(shù)學(xué)一第5題）設(shè)α為n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則（）.E?E+E+2E?2分析矩陣不可逆的充要條件就是矩陣的行列式為零或0是其特征值.所判斷的矩陣都是矩陣ααT的多項(xiàng)式，只要推導(dǎo)出ααT的特征值，就可以得到所有矩陣的特征值.注意到ααT的特征值是評(píng)注這里要特別注意ααT的特征值為0,?,0,1,例2.8（2018年考研數(shù)學(xué)一第13題）設(shè)2階矩陣有兩個(gè)不同特征值，α1,α2是A的兩線性無(wú)關(guān)的特征向量，且滿足A2分析此題表面是計(jì)算行列式，實(shí)際上是求矩陣的特征值。設(shè)A的兩個(gè)不同的特征值為λ1,A因?yàn)锳所以λ故λ12評(píng)注利用特征值，特征向量的定義以及對(duì)應(yīng)不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)的理論。矩陣的相似問(wèn)題與解析考研大綱中，要求考生理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，掌握矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法。根據(jù)上述描述，可以看出“相似”和“相似對(duì)角化”是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的概念，所以遇見(jiàn)“相似”的考題，可以發(fā)散性地考慮是否可以與“相似對(duì)角化”有關(guān)。因此，該知識(shí)點(diǎn)是十分重要的。3.1預(yù)備知識(shí)定義3.1[8]設(shè)A,B為n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P則稱(chēng)矩陣B是A的相似矩陣，并稱(chēng)矩陣A與B相似，記為A～B.定義3.2對(duì)于n階方陣A，若存在可逆矩陣P，使其為對(duì)角陣，則稱(chēng)方陣A可對(duì)角化。性質(zhì)3.1[8]設(shè)A,B和C是任意同階方陣，則有（1）反身性：A～A;（2）對(duì)稱(chēng)性：若A～B,則B～A;（3）傳遞性：若A～B,B～C,則A～C;（4）若A～B,則r（5）若A～B,且A可逆，則B也可逆，且B～A.矩陣可對(duì)角化的條件：（1）n階方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；（2）n階方陣A有n個(gè)不同的特征值，則A一定可對(duì)角化；（3）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必可對(duì)角化，且存在正交矩陣P（PT=P定理3.1[8]n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。推論3.1[8]若n階矩陣A有n個(gè)不同的特征值，則A與對(duì)角矩陣相似。3.2真題解析3.2.1抽象矩陣的相似問(wèn)題判斷兩個(gè)抽象矩陣是否相似，只有用定義進(jìn)行驗(yàn)證。例3.1（2016年考研數(shù)學(xué)一第5題）設(shè)A,B是可逆矩陣，且A與B相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.（A）AT與B（B）A?1與（C）A+AT（D）A+A?1分析因?yàn)锳與B相似，所以存在可逆矩陣P使 P?將式子兩端轉(zhuǎn)置便有PT所以（A）正確。將P?P?所以（B）正確。由P?1AP=BP?所以（D）正確。故選擇（C）.評(píng)注由已知寫(xiě)出定義中的公式，然后根據(jù)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，很容易得出答案。3.2.2可對(duì)角化問(wèn)題矩陣是否相似對(duì)角化，是常常遇到的考題，只需推導(dǎo)出滿足可對(duì)角化的條件。例3.2（2012年考研數(shù)學(xué)一第6題）設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且P若P=α1,（A）10002000分析Q==αQ==故應(yīng)選（B）.例3.3（2014年考研數(shù)學(xué)一第14題）證明n階矩陣1111?解因?yàn)榫仃囅嗨频谋匾獥l件是特征值相同，所以先計(jì)算兩個(gè)矩陣的特征值；又一個(gè)是對(duì)稱(chēng)矩陣，所以可以對(duì)角化，故只需證明另一個(gè)矩陣可對(duì)角化即可。為了方便起見(jiàn)，設(shè)A,B分別表示依次兩個(gè)矩陣，因?yàn)锳B?λE所以?xún)蓚€(gè)矩陣有相同的特征值；又Bx=0有n?1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，所以B可對(duì)角化，而A是對(duì)稱(chēng)矩陣，也可對(duì)角化，故A與B評(píng)注在歷年的考研真題中證明題出現(xiàn)的次數(shù)較少，遇到證明題考生可能會(huì)膽怯，其實(shí)證明題相對(duì)于計(jì)算題更不容易丟分，本題可以根據(jù)矩陣相似的條件入手。例3.4（2015年考研數(shù)學(xué)一第21題）設(shè)矩陣A相似于矩陣B,其中A=0求a,b求可逆矩陣P,使P?1解（1）可利用矩陣相似的必要條件求解因?yàn)锳與B相似，所以trA=tr（2）是常規(guī)題。（略）評(píng)注矩陣相似的必要條件很多，用的巧可以化簡(jiǎn)問(wèn)題，做題時(shí)可嘗試，適當(dāng)調(diào)整。例3.5（2017）已知矩陣A=20A與C相似,B與C相似；A與C相似,B與C不相似；A與C不相似,B與C相似；A與C不相似,B與C不相似。分析顯然三個(gè)矩陣的特征值相同，只需判斷A與B哪個(gè)可對(duì)角化即可。因?yàn)?是重特征值，rA?2E=1,rB?2E=2,所以評(píng)注由此題可見(jiàn)特征值相同的矩陣不一定相似，特征值相同只是矩陣相似的必要條件，這個(gè)一定要注意！例3.6（2020年考研數(shù)學(xué)一第21題）設(shè)A為2階矩陣，P=α,Aα證明P為可逆矩陣；若A2α+A解（1）因?yàn)棣潦欠?向量，且不是A的特征向量，所以Aα≠λα,從而P=α,Aα的2列向量不成比例，所以α、Aα（2）根據(jù)A2α所以，AP=P06P?即B=061?1,又λE?B進(jìn)而可知B的兩個(gè)特征值互不相同，從而B(niǎo)可對(duì)角化。又A與B相似，所以A可對(duì)角化。評(píng)注本題考查的知識(shí)比較全面，所以在做題時(shí)應(yīng)該注意知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系。3.2.3不可對(duì)角化問(wèn)題對(duì)于兩個(gè)均不可對(duì)角化的矩陣是否相似的問(wèn)題，是一個(gè)難點(diǎn)，甚至超過(guò)了數(shù)學(xué)一的大綱。但可以利用必要條件否定一些結(jié)果，從而給出正確選項(xiàng)，只可能是選擇題。這里推導(dǎo)一個(gè)必要條件，以便使用。定理3.2如果A,B相似，若λ0是證明若A~B，則A?例3.7（2018年考研數(shù)學(xué)一第5題）下列矩陣中與矩陣1100（A）11?1（C）11?1分析這是關(guān)于相似非對(duì)角矩陣的問(wèn)題。不妨設(shè)選擇的4個(gè)矩陣依次為A,B,C,D,題中的矩陣為J;矩陣的特征值都是1，且rJ?E=2,rr故選擇（A）.評(píng)注2018年的考題為什么反應(yīng)比較難，是因?yàn)樗殉隽藢?duì)角化的范圍。例3.8（2019年考研數(shù)學(xué)一第21題）已知矩陣A=?2?求x求可逆矩陣P使得P解（1）因?yàn)榫仃嘇與B相似，所以trA=x解得x矩陣B的特征多項(xiàng)式為λE所以B的特征值為2,?1,?2.由于A與B相似，所以A的特征值也為2,?1,?2.A的屬于特征值2的特征向量為ξ1A的屬于特征值-1的特征向量為ξ2A的屬于特征值-2的特征向量為ξ3記P1P1B的屬于特征值2的特征向量為η1B的屬于特征值-1的特征向量為η2B的屬于特征值-2的特征向量為η3記P2P2由P1?P1P=P則P?1評(píng)注本題（1）根據(jù)相似的性質(zhì)很容易就能解出答案；而（2）可能會(huì)比較麻煩一點(diǎn)，需要對(duì)A,B分別對(duì)角化，才能求解問(wèn)題。這種題目實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題與解析最新頒布的全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試大綱對(duì)本節(jié)的要求是掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)；會(huì)計(jì)算實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似對(duì)角化的相關(guān)題目。4.1預(yù)備知識(shí)定義4.1[7]設(shè)A,B為兩個(gè)方陣，若存在可逆矩陣Q，使B=QTAQ成立，稱(chēng)A定理4.1如果實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A與B相似，則A與B合同。證明因?yàn)閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A與B相似，則A與B有相同的特征值，從而xTAx與xTBx有相同的正慣性指數(shù)，因此但是，若實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣矩陣A與B合同，則推不出A與B相似。合同的相關(guān)結(jié)論：設(shè)A,B均是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則有（1）A與B合同的充分條件是A與B有相同的特征值；（2）A與B合同的必要條件是rA（3）A與B合同的充要條件是A與B有相同的正負(fù)慣性指數(shù)。矩陣的相似與合同，特別是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的相似與合同是考研中重點(diǎn)和難點(diǎn)。另外，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似對(duì)角化的題目多以綜合計(jì)算或討論題為主，通過(guò)填空題或討論題出現(xiàn)的可能性較小。4.2真題解析例4.1（2001年考研數(shù)學(xué)一第4題）設(shè)A=111111合同且相似；合同但不相似；不合同但相似；不合同且不相似。分析矩陣A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，可求得其特征值為4,0,0,0.B為對(duì)角陣，易得特征值也為4,0,0,0.即A,B有相同的特征值。所以應(yīng)選（A）.評(píng)注實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A,B有相同的特征值，則A,B既相似又合同（實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似必合同）。例4.2(2007考研數(shù)學(xué)一第8題)設(shè)矩陣A=2?1?1?(A)合同，且相似；(B)合同，但不相似；(C)不合同，但相似；(D)既不合同，也不相似。分析根據(jù)相似的必要條件trA=trB,易得A和由λE?A知矩陣A的特征值為3,3,0.故二次型xTAx的正慣性指數(shù)p=2,負(fù)慣性指數(shù)q=0.而二次型xTBx的正慣性指數(shù)也為p=2,負(fù)慣性指數(shù)q=0,所以A故應(yīng)選（B）.評(píng)注由此題可見(jiàn)，選擇題雖然可以使用排除法，但是也建立在一定知識(shí)的基礎(chǔ)上，兩對(duì)稱(chēng)矩陣相似的必要條件是排除選項(xiàng)的關(guān)鍵，再根據(jù)兩矩陣合同的充要條件即可從剩余選項(xiàng)中選出答案。例4.3（2010年考研數(shù)學(xué)一第6題）設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且A2+A=0.若A的秩為3，則（A）1001（C）10000分析設(shè)λ是A的特征值，由于A2+A=0, 所以λ2故A的特征值為?1或0.又A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以A可相似于對(duì)角陣Λ.且r于是Λ=-1故選擇（D）.例4.4（2013年考研數(shù)學(xué)一第6題）矩陣1a1abaa=0,b=2;(B)a=2,b=0;(D)分析因?yàn)?a1aba1a1為對(duì)稱(chēng)矩陣，所以它一定可以對(duì)角化，故其與某對(duì)角陣相似的充分必要條件就是11?21?ba故得a=0,b為任意數(shù)。選（B）.評(píng)注對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣而言，它一定可以對(duì)角化，且與某對(duì)角陣相似的充要條件就是它們的特征值相同，這一點(diǎn)是與一般矩陣不同的地方，這一點(diǎn)一定要引起注意！結(jié)論本文主要探討了“考研”數(shù)學(xué)一真題中的矩陣的特征值、特征向量的相關(guān)問(wèn)題。首先給出了有關(guān)的定理與性質(zhì)等預(yù)備知識(shí)，并且介紹了求解特征值與特征向量的方法。然后分析了近十多年來(lái)年真題中與特征值、特征向量相關(guān)的題目，并且進(jìn)行了分類(lèi)。由此可以發(fā)現(xiàn)，該類(lèi)題目可根據(jù)不同的類(lèi)型選擇不同的方法進(jìn)行求解，掌握其中的規(guī)律并且多付諸于實(shí)踐，當(dāng)遇到該類(lèi)題目時(shí)就會(huì)手到擒來(lái)。希望本文的研究對(duì)于后面考研的同學(xué)，特別是考數(shù)學(xué)一的學(xué)生以及輔導(dǎo)考研老師能有一定的幫助。參考文獻(xiàn)[1]黃金偉.矩陣的特征值與特征向量的簡(jiǎn)易求法[J].福建信息技術(shù)教育,2007(04):34-45?[2]湯正華.?關(guān)于矩陣的特征值與特征向量的探討[J].山東行政學(xué)院山東省經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報(bào),2008(06):91-108[3]王英瑛.?矩陣特征值和特征向量求法的探討[J].?山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)(?自然科學(xué)版),2008(05):45-50?[4]夏慧明,周永權(quán).?求解矩陣特征值及特征向量的新方法[J].?(廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院學(xué)報(bào),2008(11):83-93?[5]趙院娥,李順琴.?矩陣的特征值與特征向量[J].江西科學(xué),2009(10):05-14?[6]向以華.矩陣的特征值與特征向量的研究[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào),2009(03):105-117[7]張紅玉.?矩陣特征值的理論及應(yīng)用[J].?山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009(02):15-01[8]